§ 3.16. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ
Благодаря тому, что сила сопротивления растет с увеличением скорости, любое тело в вязкой среде при действии на него какой-либо постоянной силы, например силы тяжести, в конце концов начинает двигаться равномерно.
Модуль этой постоянной скорости зависит от модуля постоянной силы, действующей на тело, и от того, как быстро сила сопротивления растет с ростом скорости (т.
е. от коэффициента сопротивления). Так, при падении шарика в вязкой жидкости (например, глицерине) уже при малых скоростях сила сопротивления достигает заметного значения. Эту силу можно считать прямо пропорциональной скорости. Тогда уравнение движения шарика будет иметь такой вид:ma = F-k1 v, (3.16.1)
где F — модуль постоянной силы, равной векторной сумме силы тяжести mg и архимедовой силы FA.
В самом начале движения сила сопротивления очень мала (скорость мала) и ускорение а почти равно g, если архимедова сила невелика. В дальнейшем скорость движения увеличивается и с ней вместе растет сила сопротивления. Наконец, при
F = (3.16.2)
ускорение тела обращается в нуль, и начиная с этого момента тело будет двигаться с постоянной скоростью:
vy=^. (3.16.3)
Чем тяжелее тело при прочих равных условиях, тем больше установившаяся скорость.
При падении тел в воздухе сила сопротивления становится заметной при достаточно больших скоростях. При скорости, близ- кой к установившейся, сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Пренебрегая архимедовой силой (она в воздухе мала), запишем уравнение движения тела в этом случае так: (3.16.4)
та = mg - k2v\v\ Здесь слагаемое -k2v\v\f соответствующее силе сопротивления воздуха, представляет собой вектор с модулем k2v2, направленный противоположно направлению движения, т. е. направлению скорости.
Скорость становится постоянной, когда она достигает значения
(3.16.5) Уравнение (3.16.4) можно решить только в численном виде. Оказывается, что дальность стрельбы в реальных случаях во много раз меньше, чем она должна быть без учета сопротивления воздуха: вместо 65 км для пушки калибром 305 мм (корабельное орудие) она составляет 20 км, а для пушки калибром 76 мм (полевое орудие) — всего 6—8 км.
В воздухе тяжелые тела падают с большей устано-вившейся скоростью, чем легкие. Соответственно они должны пролетать большее расстояние, прежде чем их скорость станет постоянной. Так, капли дождя имеют установившуюся скорость порядка нескольких метров в секунду, а авиационная бомба — несколько сотен метров в секунду. Такая большая скорость до-стигается лишь при падении с высоты 5—6 км.