§3.12. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи на применение газовых законов очень разнообразны. Для их решения нельзя указать какой-либо один определенный прием. Полезными могут оказаться следующие советы.

1. Если согласно условию задачи один из трех параметров (р, V или Т) постоянный, то при Т = const надо применять закон Бойля—Мариотта (3.5.2), при р = const — закон Гей-Люссака (3.7.7), а при V — const — закон Шарля (3.10.2) или (3.10.3).

Если изменяются все три параметра, то следует воспользоваться уравнением состояния в форме (3.9.9) или (3.9.5).

Уравнение состояния (3.9.9) применяется в тех случаях, когда известна масса газа и часть макроскопических параметров в определенном состоянии газа и надо найти неизвестные величины.

Для определения давления смеси газов, не вступающих в химические реакции, используют закон Дальтона (3.8.2).

Во многих задачах требуется построение графиков, изображающих разного рода процессы.

При решении большинства задач надо четко представлять себе, каково начальное состояние системы и какой процесс переводит его в конечное состояние.

Задача 1

Как измерить медицинским термометром температуру тела человека, если температура окружающего воздуха +42 °С?

Решение. Можно предварительно охладить термометр в холодильнике. Если холодильника нет, то нужно подержать термометр 5—8 мин под мышкой, извлечь его и сразу же стряхнуть. Термометр покажет температуру тела, так как ртуть в термометре сожмется при контакте с телом до объема, соответствующего температуре тела.

Задача 2

Газ в цилиндрическом сосуде разделен на две равные части подвижным поршнем, имеющим массу т и площадь сечения S. При горизонтальном положении цилиндра давление газа в каждой половине сосуда равно р.

Решение. При горизонтальном положении цилиндра объем каждой его части обозначим через V (эти объемы равны). При вертикальном положении цилиндра объем верхней части станет равным V + AV, а нижней V ~ AV. Давление в нижней час- ти цилиндра станет равным + ^г . Согласно закону Бойля— Мариотта

Pl(V + AV) = + ^ у? ¦- AV) = pV.

Исключив из этих равенств ^, получим квадратное уравнение для Pl:

2 S

Отсюда

Второй корень квадратного уравнения отрицателен и потому лишен физического смысла.

Задача 3

Поршневой насос при каждом качании захватывает воздух объемом F0. При откачке этим насосом воздуха из сосуда объемом V насос совершил п качаний. Затем другой насос с тем же рабочим объемом V0 начал нагнетать воздух из атмосферы в тот же сосуд, совершив также п качаний. Какое давление установится в сосуде? Температуру воздуха во время работы насоса считать постоянной.

Решение. Согласно закону Бойля—Мариотта при откачке воздуха из сосуда после первого качания давление в сосуде

poV

станет равным Рі = у + у , где р0— атмосферное давление. После второго качания будет выполняться равенство PlV =

( v Л2

= p2(V + У0) и, следовательно, р2 = р01 у + у ] , и т. д. После п

( V Y

качании в сосуде установится давление рп = + у J ¦

При нагнетании воздуха в сосуд после п качаний давление станет равным

PonVo \( V Y , nVc Р -"

,РonVo \( V Лп , п"о

При любом п р > р0, так как во время нагнетания воздуха при каждом качании насос захватывает воздух, имеющий атмосферное давление р0, а при откачке при каждом качании удаляется воздух при давлении, меньшем р0.

Задача 4

В запаянной с обоих концов цилиндрической трубке находится воздух при нормальных условиях. Трубка разделена подвижным поршнем на две части, объемы которых V1 и V2 относятся как 1 : 2. До какой температуры t1 следует нагреть воздух в меньшей части трубки и до какой t2 охладить в большей, чтобы поршень делил трубку на две равные части, если нагревание и охлаждение в обеих частях трубки производятся

при условии j, = const?

V

Решение.

1 1 начальных объемов у- = ^ эти объемы составляют Vl = ^ V0 и

2

V2 = ^ V0, где V0 — объем всей трубки. Конечные объемы обеих

частей одинаковы и равны V3 = ^ V0.

Согласно закону Гей-Люссака для воздуха в меньшей части трубки выполняется соотношение

її = 1°

а для воздуха в большей части

Vs V

где Т0 = 273 К — температура, соответствующая начальным условиям. Отсюда

тоуз 3

Т1 = = = 410 К, или « +137 °С; v і 1

T0v3 з

Т2 = -у-1 = | Г0 в 205 К, или t2 = -68 °С.

Задача 5

В цилиндре под поршнем находится воздух при давлении Pi = 2 • 105Па и температуре = 27 °С. Определите массу т груза, который нужно положить на поршень после нагревания воздуха до температуры t2 = 50 °С, чтобы объем воздуха в цилиндре стал равен первоначальному. Площадь поршня S = 30 см2.

Решение. Так как в процессе нагревания объем воздуха в цилиндре не изменяется, то согласно закону Шарля имеем

Рі Тл

^ = (3.12.1)

Р2 1 2

где

„ _ „ , mg Р2 + -g" •

Подставляя в (3.12.1) выражение дляр2, получим

Pi = mg Т2' Р1 + -д

Отсюда

Р1® f^x \

Задача 6

Найдите среднюю (эффективную) молярную массу сухого атмосферного воздуха, предполагая известный процентный состав воздуха по массе: азот — пг = 75,52%, кислород — п2 = 23,15%, аргон — п3 = 1,28% и углекислый газ— п4 = = 0,05%.

Решение. Для каждого газа можно записать уравнение состояния:

/71, ТПп ТПо ТПд

pxV = RT, p2V = ^ RT, p3V = ^ RT, PiV = j± RT.

Здесь Mi, M2, M3 и M4 — молярные массы соответственно азота, кислорода, аргона и углекислого газа.

Складывая правые и левые части этих уравнений, получим

/ тпл тпп тпп тп. \

(Рг + Р2 +Рз +РЛУ-{щ +М-2+Щ+Ж4УТ' (3.12.2)

Для смеси газов выполняется соотношение

pV=^RT, (3.12.3)

где m = mx + m2 + m3 + m4 — масса воздуха с объемом V, а М — искомая эффективная молярная масса.

Р=Рі+Р2+Рз+Рі-

Сравнивая уравнения состояния (3.12.2) и (3.12.3), получим М =

ТП2 + тп2 + ТПд + ТП^ ТП-у ТП2 ТП§ ТПд

м[ + м2 + м3 + Жі Разделив числитель и знаменатель на m и умножив на 100%, получим выражение для М через процентный состав воздуха по массе

м = і ? 2 і— = 28,966 • 10"3 кг/моль =

Пj П 2 rtg Пд

м[ + м~2 + м~3 + м~4 л-з

= 29 • 10"d кг/моль.

Задача 7

Закрытый с обоих концов цилиндр наполнен газом при давлении р — 100 кПа и температуре t = 30 °С и разделен подвижным теплонепроницаемым поршнем на две равные части длиной L по 50 см. На какую величину AT нужно повысить температуру газа в одной половине цилиндра, чтобы поршень сместился на расстояние I = 20 см, если во второй половине цилиндра температура не изменяется? Определите давление газа после смещения поршня.

Решение. Для газа в части цилиндра с постоянной температурой применим закон Бойля—Мариотта:

pLS = p1(L-l)S, (3.12.4)? где S — площадь основания цилиндра. Для нагреваемой части цилиндра запишем уравнение Клапейрона:

Т Т + АТ • (d.1^.5)

В уравнениях (3.12.4) и (3.12.5)— давление газа после смещения поршня, одинаковое в обеих частях цилиндра вследствие равновесия поршня, а. Т + AT в уравнении (3.12.5) — температура газа в нагретой части цилиндра.

Разделив почленно уравнение (3.12.4) на уравнение (3.12.5), получим

Отсюда

9Т1

AT = jfri = 404 К-

Из уравнения (3.12.4) находимр^х

Pl = = 167 кПа.

Задача 8

Сосуд объемом V = 100 л разделен пополам полупроницаемой перегородкой. В начальный момент времени в одной половине сосуда находился водород, масса которого тп1 = 2 г, а во второй — 1 моль азота. Определите давления, установившиеся по обе стороны перегородки, если она может пропус-кать только водород. Температура в обеих половинах одинакова и постоянна: t = 127 °С.

Решение. Так как водород свободно проходит через перегородку, то он распространяется по всему сосуду. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона для водорода после установления состояния равновесия:

тл

где Мх = 2 • 10~3 кг/моль — молярная масса водорода.

В той части сосуда, в которой вначале был только водород, он и в дальнейшем останется в чистом виде, так что давление в этой части сосуда станет равным

m^RT = = 33 кПа'

Для азота уравнение Менделеева—Клапейрона имеет вид

V

Р2 2 =i?T>

где р2 — давление азота.

Так как в этой половине находятся водород и азот, то полное давление р согласно закону Дальтона складывается из парциальных давлений и р2, т. е.

uJa ітіїїа.

(т\ ЛИТ Р-Р1+РЛ-{Щ+2УТ

Задача 9

Рис. 3.18

Гелий массой 20 г, заключенный в теплоизолированном цилиндре под поршнем, медленно переводится из состояния 1 с объемом Vy = = 32 л и давлением рх = 4,1 атм в состояние 2 с объемом V2 = 9 л и давлением р2 = 15,5 атм. Какой наибольшей температуры достигнет газ при этом процессе, если на графике зависимости давления газа от объема процесс изображается прямой линией (рис. 3.18)?

Решение. Как следует из рисунка 3.18, давление и объем газа связаны линейной зависимостью: р = aV + b, где а и b — постоянные коэффициенты. Из условий задачи получаем систему уравнений

Pi = + b, р2 = aV2 + b. Решив эту систему относительно а и Ъ, найдем г / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \

1 Рис. 3.19

о

v.і

Уі

Рі -/>2

а = ^—гт- « -0,5 атм/л, м ~ 2

, P2Vl~PlV2 „ Ъ = —Ї7—— = 20 атм. "і ~ V2 Подставив в уравнение Менделеева—Клапейрона вместо р выражение aV + Ъ, получим (3.12.6)

aV2 + bV= RT = const • Т. М График зависимости Т от V представляет собой параболу

(рис. 3.19). Кривая достигает максимума при Fmax = = = 20 л, когда корни квадратного уравнения (3.12.6) совпадают. При этом

Ъ 2

Апах = + Ъ = " » 10 аТМ-

Следовательно,

т PmaxFmax „ ,go „

1 max тй Ш 4Уи

Задача 10

На рисунке 3.20 изображен график изменения состояния идеального газа в координатах р, V. Начертите графики этого процесса в координатах V, Т ир, Т. Решение. Из рисунка 3.20 сле-дует, что давление газа р и его объем V находятся в прямой про-порциональной зависимости P = kV,

(3.12.7) где k — постоянный коэффициент.

О

V

Подставив значение давления (3.12.7) в уравнение Менделеева— Клапейрона, получим Рис.

М

или Mk

(3.12.8) V, і о

а)

б)

т о

Рис. 3.21 Уравнение (3.12.8) — это уравнение параболы, ось симметрии которой совпадает с осью Т. Следовательно, в координатах V, Т искомый график имеет вид, показанный на рисунке 3.21, а. Аналогично получим график этого процесса в координатах р, Т (рис. 3.21, б).

Упражнение 2

Вы надули щеки. При этом и давление, и объем воздуха во рту увеличиваются. Как это согласуется с законом Бойля— Мариотта?

Чтобы измерить температуру человеческого тела, приходится держать термометр под мышкой в течение 5—8 мин.

В то же время стряхнуть его можно практически сразу после измерения температуры. Почему?

Узкая вертикальная трубка длиной L, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути длиной h. Плотность ртути равна р. Трубка расположена открытым концом вверх. Какова была длина I столбика воздуха в трубке, если при перевертывании трубки открытым концом вниз из трубки вылилась половина ртути? Атмосферное давление равно р0.

В ртутный барометр попал пузырек воздуха, вследствие чего барометр показывает давление меньше истинного. При давлении рх = 768 мм рт. ст. уровень ртути расположен на высоте hх = 748 мм, причем длина пустой части трубки I = = 80 мм. Каково атмосферное давление р2, если ртуть стоит на высоте h2 = 734 мм? Плотность ртути р = 1,36 • 104 кг/м3.

Площадь сечения цилиндра автомобильного насоса S = = 10 см2. Определите длину I цилиндра, если известно, что для накачки шины объемом V = 0,02 м3 от давления р0 = = 1 • 105Па до давления р = 3 • 105Па требуется совершить п = 100 качаний. Утечкой и нагреванием воздуха пренебречь.

В цилиндре под поршнем находится воздух. Поршень имеет форму, показанную на рисунке 3.22. Масса поршня т = 6 кг, площадь сечения цилинд-ра S = 20 см2. Атмосферное давление р0 — 105Па. Найдите массу т1 груза, который надо положить на поршень, чтобы объем Vx воздуха в цилиндре уменьшился в 2 раза. Трение не учитывать. Температура постоянна.

Газ нагрет от температуры t1 = 27 °С до температуры t2 = 39 °С. На сколько процентов увеличился его объем, если давление осталось неизменным?

Вертикальный цилиндр, закрытый подвижным поршнем, содержит газ массой т — 0,012 кг. При температуре = = 177 °С объем газа равен Vx = 4 л. При какой температуре t2 плотность этого газа будет равна р2 = 5,3 кг/м3?

Открытую стеклянную колбу, имеющую форму шара радиусом г = 2 см с горлышком длиной I = 10 см и диамет- ром d = 1 см, нагрели до температуры tlt а затем погрузили целиком в воду горлышком вниз. При охлаждении колбы вода вошла в горлышко. Когда температура колбы стала равной 12 = 13 °С, ее начали приподнимать из воды, не переворачивая, так чтобы шарообразная часть оказалась над водой, а горлышко — частично погруженным в воду. При этом, когда уровень воды в горлышке и в сосуде совпал, под водой осталась половина горлышка. Какова была температура t]_, до которой нагрели колбу?

Манометр на баллоне с газом в помещении с температурой t]_ = 17 °С показывает давление р = 240 кПа. На улице показание манометра уменьшилось на Ар = 40 кПа. Найдите температуру наружного воздуха, если атмосферное давление р0 = 100 кПа.

Два сосуда одинаковой вместимости содержат воздух, один при температуре 7\ и давлении pj, другой при температуре 2^2 и давлении р2. Сосуды соединили тонкой трубкой и после выравнивания давлений и температур воздух нагрели до температуры Т. Какое давление установится после нагревания?

Шар-зонд заполнен газом при температуре = 27 °С до давления Рх = 105 кПа. После подъема шара на высоту, где давление р0 = 80 кПа, объем шара увеличился на п = 5% и давление в нем стало отличаться от внешнего на Ар = 5 кПа. Определите температуру воздуха на этой высоте, предполагая, что газ в шаре приобрел температуру окружающего воздуха.

Из баллона со сжатым углекислым газом из-за неисправности вентиля вытекает газ. Вместимость баллона V = = 10 л. При температуре Тj = 263 К манометр показывал давление pj = 9,3 атм, а через некоторое время при температуре Т2 = 295 К манометр показывал давление р2 = = 9,4 атм. Чему равна масса тп газа, вытекшего из баллона за это время?

Газ последовательно переводится из состояния 1 с температурой Тj в состояние 2 с температурой Т2, а затем в состояние 3 с температурой Г3 и возвращается в состояние 1. Определите температуру Г3, если процессы изменения со-

7-2915

О у

Рис. 3.23

стояния происходили так, как это показано на графике (рис. 3.23), а температуры и Т2 известны.

В баллоне вместимостью V — 10 л содержится водород при температуре t = 20 °С под давлением р = 107 Па. Какая масса водорода была выпущена из баллона, если при полном сгорании оставшегося газа образовалось m = 50 г во-ды?

В баллоне вместимостью V = 10 л находился гелий под давлением рх = 10 атм при температуре = 27 °С. После того как из баллона был выпущен газ массой m = 10 г, температура в баллоне была понижена до t2 = 17 °С. Определите давление гелия, оставшегося в баллоне.

Молекулярный водород некоторой массы занимает объем Vl = 1 м3 при температуре Тх = 250 К и давлении рх ~ = 2 • 105Па. Какое давление водород будет создавать при температуре Т2 = 5000 К и объеме V2 = 10 м3, если при столь высокой температуре молекулы водорода полностью диссоциируют на атомы?

Два сосуда объемом V1 = 200 см3 и V2 = 100 см3, наполненные кислородом при температуре t = 2 7 °С под давлением р0 — 760 мм рт. ст., соединены трубкой, внутри которой находится теплоизолирующая пористая перегородка, обеспечивающая одинаковость давлений в сосудах. Затем первый сосуд нагрели до температуры = 100 °С, а второй

охладили до температуры t2 — О °С. Определите установившееся в системе давление.

Изобразите на графиках в координатах р, V; р, Т и V, Т изотермический процесс для одного моля газа при Т =

и Т = 2Тг.

Изобразите на графиках в координатах р, V; р, Т и V, Т изобарный процесс: 1) для р = J5j ир = 2;р1г если v = 1 моль; 2) для р = р1( если v = 3 моль.

21. На рисунке 3.24 показан график изменения состояния идеального газа в координатах р, V. Представьте этот процесс на графиках в координатах V, Тир, Т.