§ 2.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В этом параграфе мы познакомимся с задачами на применение второго закона Ньютона, для решения которых не нужно знать зависимость сил от расстояний между телами (или частями одного тела) и от их относительных скоростей .

Силы, действующие на тела, считаем постоянными (кроме слу-чаев, о которых идет речь в отдельных качественных задачах).

1.

Не следует забывать, что действие одного тела на другое является взаимным. Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона.

Может оказаться, что направление силы, которую требуется определить, не известно. В процессе решения задачи мы найдем проекции этой силы на координатные оси и по проекциям определим модуль силы и ее направление. Затем сила может быть изображена на рисунке.

Если в задаче говорится о системе нескольких тел, то изо-бражаются силы, действующие на каждое из тел.

Нужно выбрать систему отсчета, относительно которой рассматривается движение тел. Координатные оси целесообразно располагать так, чтобы проекции сил на эти оси определялись наиболее просто. В случае прямолинейного движения удобно одну из осей направить вдоль этой прямой, а другую перпендикулярно ей.

Для каждого тела системы записывается второй закон Ньютона в векторной форме:

ma = F1 + F2 + ... . (2.14.1)

После этого второй закон переписывается для проекций ускорений и сил на оси выбранной системы координат:

max = Flx + F2x + ••• '

may = Fly + F2y + .... (2.14.2)

На том или ином этапе решения задачи вместо проекций векторов, направления которых известны, подставляются модули этих проекций с соответствующими знаками перед ними.

После того как будет приобретен опыт в решении задач, для экономии времени и бумаги можно сразу записывать уравнения движения для проекций и подставлять в них значения модулей проекций, если знаки проекций известны.

Рис. 2.31

Для решения задач о движении системы тел, соединенных тем или иным способом друг с другом, одних уравнений движения недостаточно. Нужно записать еще так называемые кинематические условия. Эти условия выражают соотношения между ускорениями тел системы, обусловленными связями между ними.

В частности, тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют вдоль этой нити одинаковые по модулю ускорения: а1 = о2. При этом нить может быть перекинута через неподвижные блоки.

При наличии подвижного блока (рис. 2.31) ускорение тела А в два раза больше ускорения тела В, так как за одно и то же время тело А пройдет вдвое больший путь, чем тело В.

Массой нитей, связывающих тела, во всех предлагаемых задачах пренебрегают. Лишь в этом случае натяжение нити одинаково во всех сечениях и одинаковы по модулю силы, дейст- в вующие на нить со стороны прикрепленных к ней 1 тел (рис. 2.32).

Действительно, пусть на нить действуют силы Fx и F2. Согласно второму закону Ньютона тна = Fl + + F2. Так как масса нити считается равной нулю s (тн = 0), Ft = -F 2vlF1 = F2.

По третьему закону Ньютона одинаковы по модулю и силы, которыми нить действует на прикрепленные к ней тела. F2 Массой всех блоков, встречающихся в условиях

задач, также будем пренебрегать. В этом случае на- Рис. 2.32 тяжение перекинутой через блок нити можно считать одинаковым по обе стороны блока. В противном случае натяжение нити по обе стороны блока будет различным. За счет различия в натяжении угловая скорость блока, обладающего массой, будет изменяться.

Если в задаче требуется найти не только силы или ускорения, но также координаты (или пройденные пути) тел и их скорости, то кроме уравнений движения нужно использовать кинематические формулы координат и скоростей.

Решение задачи следует сначала получить в общем виде и лишь затем подставить числовые значения в одной определенной системе единиц.

Получив ответ, надо проверить, все ли члены в решении имеют правильные наименования единиц.

Полезно проследить, как будут изменяться найденные величины в зависимости от величин, заданных в условии задачи. Если, к примеру, окажется, что при некоторых значениях заданных в условии величин искомая величина обращается в бесконечность, то это указывает обычно на ошибку в решении или на неприменимость использованной физической модели.

Решение задач на динамику движения тела (материальной точки) по окружности принципиально не отличается от решения задач на прямолинейное движение.

Задача 1

При каких условиях тело (материальная точка) движется с постоянным ускорением? движется прямолинейно?

Решение. Ответ на первый вопрос сразу же следует из второго закона Ньютона:

F

а - т

(под F будем понимать векторную сумму всех сил, действующих на тело). Так как масса тела постоянна, то а не будет изменяться ни по модулю, ни по направлению, если сила F будет постоянной.

Для прямолинейного движения тела необходимо и достаточно, чтобы вектор силы, действующей на тело, был расположен на одной прямой с вектором начальной скорости.

Действительно, в этом случае приращение скорости за малый интервал времени At, равное Av = v - vn

aAt = — At, m будет направлено вдоль действия силы. Вдоль этой линии будет направлена и скорость v. В следующий промежуток времени произойдет тот же процесс. В результате в любой момент времени вектор v скорости тела окажется расположенным на одной прямой с вектором силы.

Задача 2

Груз массой т = 20 кг поднимают вверх с помощью веревки так, что в течение первого промежутка времени Atj = 2 с его скорость меняется от v0 = 2 м/с до v1 = 6 м/с. В последующий промежуток времени Дt2 = 1 с скорость уменьшается до значения v2 = 2 м/с. Найдите модули сил, с которыми веревка действовала на груз в промежутки времени Atj и Дt2, считая эти силы постоянными.

Решение. В течение первого промежутка вре- , мени на тело действуют две силы: сила тяжести FT = mg, направленная вниз, и сила натяжения веревки направленная вверх (рис.

Согласно второму закону Ньютона К

Т

У//ШШШ Рис. 2.33

О

mfl! =Тг+ FT. В проекциях на ось Y это уравнение запишется так:

та.

у

=Т + F 1 ІіЛ -гу

При выбранном направлении оси Y -mg.

ту

Ті„ = Ту F, Отсюда (2.14.3)

Т1 = m(g + а1у). Для нахождения силы надо определить проекцию а1у ускорения с помощью кинематической формулы скорости при движении с постоянным ускорением:

v = v0 + aAt. В проекциях на ось У будем иметь

% = % + "iyAh-

Учитывая, что і\у = vl и v0y = v0, получим

S="?T=2m/c2' (2.14.4)

Проекция а1у > 0; это означает, что ускорение тела а, направлено в положительном направлении оси Y, в данном случае вверх.

Подставляя в уравнение (2.14.3) найденное значение а1у, определим модуль силы Тх: 236 Н.

Т1 = m При решении второй части задачи учтем, что формулы (2.14.3) и (2.14.4) остаются справедливыми. Нужно только индекс «1» заменить на индекс « 2 » и вместо начальной скорости v0 взять скорость vv Тогда

У2-У1 а2 У -MJ--

Проекция а2у = -4 м/с2; это означает, что ускорение тела а2 направлено против положительного направления оси У, т. е. вниз. Искомая сила

Л 116 Н.

Т2-ш

g +

At о i / Задача 3

На невесомом стержне равномерно вращается в вертикальной плоскости груз массой тп = 0,9 кг. Модуль скорости груза v = 3 м/с, длина стержня I = 1 м. Найдите, с какой по модулю силой и в каком направлении стержень действует на груз в тот момент, когда стержень занимает горизонтальное положение.

Решение. На груз действуют две силы: сила тяжести FT = mg, направленная вниз, и сила реакции F со стороны стержня? (рис. 2.34, а). Так как направление силы F нам не известно, то ее на рисунке не изображаем. При равномерном движении по окружности груз имеет лишь нормальное ускорение ап, направ-ленное к оси вращения стержня. Оси координат X и У выберем так, как показано на рисунке 2.34, а.

Так как нам не известны ни модуль, ни направление силы F, то необходимо найти ее проекции на оси координат.

Согласно второму закону Ньютона

та = F + FT. В проекциях на оси координат получим

тах = FX + ^ тау = ?у +

2

В данном случае Fry = -mg, ау = О, FTX = 0 и ах = ап = у

Теперь система уравнений для проекций примет следующий вид:

Fx=^= 8,1 Н, Fy = mg = 8,82 Н.

Найдем модуль силы F:

F= JF2x + Fy « 12 Н.

cos а :

-4 = 0,676, а = 47,5°.

Г

0 шшшшшшшг^

а)

0 шшшигх б)

О5"

Направление силы F определяется углом, который она образует, например, с осью X:

Итак, стержень действует на груз с силой, модуль которой равен 12 Н.

Задача 4

На гладкой горизонтальной поверхности расположены три тела массами mv т2 и т3, связанные нерастяжимыми нитями друг с другом (рис. 2.35, о). К телу массой т, прикреплена перекинутая через блок нить, на конце которой находится груз массой т4. Найдите модули ускорений тел системы и сил натяжения Тг, Т2, Т3 всех нитей. Мас-сами нитей и блока пренебречь.

Решение. Силы, действующие на тела, изображены на рисунке 2.35, б. При этом силы, действующие по вертикали на тела массами mv тп2 и тп3, взаимно уравновешиваются и их рассмотрение не требуется для решения задачи.

Ось X направим горизонтально слева направо, а ось У — вертикально вверх.

Уравнения движения для проекций ускорений и сил на оси ХиУ для всех четырех тел будут иметь следующий вид:

т2а2х Т2х + Т3х, тга3х = ггх> miaiy = mSy + т\у

2х

(2.14.5) Вследствие нерастяжимости нитей модули ускорений равны: ах = а2 = а3 = а4= а. Так как массами нитей и блоков пре-

т3 т2 т1

"'3 '"2 '"і

X

ГУ-П—П-п

а) небрегаем, то с учетом положительных направлений осей X и У имеем Т\х = Ті. Тіу = TL = Т2, Т2х = -т2, Т'гх = Тз» Т3х = -т3, (2.14.6) / = ~т4ё> а1х = а> а2х = а• а3х = а' Д4у = ~а-

Уравнения для модулей ускорений и сил с учетом соотношений (2.14.5) и (2.14.6) запишутся следующим образом:

TtlyOL = Т1 — Т2,

т9а = Г, — То,

шіа = ТІ (2.14.7)

-т4а = -m4g + Tv

Складывая три первых уравнения и вычитая из полученной суммы четвертое уравнение, получим

(т1 + т2 + тп3 + т4)а = m4g,

откуда

m.g

а = m + m lm +m • (2.14.8)

тох + то2 + + то4

Подставляя найденное значение а поочередно во все уравнения движения системы (2.14.7), начиная с последнего, получим тох + ТО2 + ТОд Ч - то4 ТП2 + ТОд то.х + ТО2 + ТОд Н - то4 ТОд To = і г— ; m.g.

л m1 + m2 + то3 + то4 4

тох + т2 + ТОд 1 ml + m2 + то3 + то4 то, + тПо

T2 = ^ 2 , л , m4g, (2.14.9)

? m..

Обратите внимание на то, что сила натяжения Тх первой нити не равна силе тяжести m4g, как это было бы для покоящегося тела, а меньше в отношение

nil + too + too

тох + ш2 + Тод + то4

Как и следовало ожидать, Тх> Т2> Т3, так как нити сообщают одинаковые ускорения телам разной массы.

Задача 5

Найдите силы натяжения и Т2 нитей abed и се в устройстве с подвижным блоком, изображенном на рисунке 2.36, а. Массы тел соответственно равны TTij = 3 кг и т2 = 2 кг.

Решение. Так как массой нитей и блоков можно пренебречь, то натяжение нитей одинаково во всех сечениях. Нить abed, огибающая блоки, будет действовать на тело массой т1 и на левую и правую стороны подвижного блока с одинаковой силой Ту (рис. 2.36, б). Нить се, соединяющая тело массой тп2 с подвижным блоком, действует на них с одинаковыми по модулю силами: Т2 = Т2.

Координатную ось Y направим вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона сразу для проекций на ось Y. Учитывая, что Т1у = 7\, Т2у = Т2, Т'2у = -Т2, Fly = -mlg, F2y = -m2g, по- лучим следующую систему уравнений: myaly = Тг- m m2a2y

(2.14.10)

Т2 - m2g, 2ТЛ ~Т2 = 0.

Последнее уравнение написано для подвижного блока с учетом того, что его масса равна нулю.

Система трех уравнений содержит четыре неизвестных: Тг, Т2, а1у и а2у. Необходимо добавить кинематическое условие, связывающее проекции ускорений а1у и а2у. При наличии подвижного блока ах = 2а2. Так как ускорения ах и а2 направлены в противоположные стороны, то а1у = -2а2у.

О

а) Исключая силу натяжения Т2 из системы уравнений (2.14.10) и используя кинематическое условие связи ускорений, получим

-2mla2y = - mxg,

m2a2y = 2Т1 - m2§-

Решая эту систему уравнений, найдем

g(2m1 - m2)

а9„ = —і т = 2,8 м/с2,

гУ 4 т1 + т2 '

3 m-,m9g Ti = -л = 12>6 н-

1 4 т1 + т2

Учитывая, что Т2 = 2Т1, получим Т2 = 25,2 Н. Так как а2у > 0, то ускорение а2 направлено вверх.

Проекция ускорения первого тела aiy = -2а2у ~ -6 м/с2. Модуль ускорения ах ~ 6 м/с2. Знак «минус» у проекции ускорения показывает, что ускорение первого тела направлено про-тивоположно оси Y, т. е. вниз.

Упражнение 7

На шар действует приложенная к его центру сила, совпадающая по направлению со скоростью шара. Модуль силы изменяется с течением времени так, как показано на рисунке 2.37. Какое движение совершает шар и в какой момент времени его скорость максимальна?

Проекция Fx силы, действующей на тело, изменяется со временем так, как показано на рисунке 2.38. Сила направлена вдоль оси X. Начальная скорость и координата тела равны нулю. Начертите графики зависимости проекции скорости vx(t) и координаты x(t) от времени.

При движении тела массой m = 0,1 кг его координата меняется в зависимости от времени следующим образом: х = 15 м/с2 • t2 + + 2 м/с • t. Найдите силу, действующую на тело.

? 1. Груз, подвешенный на нити длиной L, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник). Нить описывает коническую поверхность, составляя с вертикалью угол а. Найдите период Т обращения груза. Чему должна быть равна максимальная сила натяжения нити F, чтобы радиус окружнос-

2 L 0

ти, по которой движется груз, мог достигнуть значения ?

J 5

Во время автомобильной катастрофы машина, двигавшаяся со скоростью v = 54 км/ч, налетела на бетонную стену. При этом передняя часть машины смялась так, что ее длина уменьшилась на 1Х = 0,5 м. Какая постоянная сила должна действовать на пассажира со стороны ремня безопасности, чтобы он не разбил головой ветровое стекло? Расстояние от головы пассажира до ветрового стекла 12 = 0,5 м. Масса пассажира m = 60 кг.

К концу невесомого стержня длиной 1 м прикреплен небольшой шарик массой 0,1 кг; другой конец стержня закреплен на горизонтальной оси. Стержень равномерно вращается в вертикальной плоскости. С какой по модулю силой и в каком направлении шарик действует на стержень при прохождении наивысшей точки траектории, если скорость шарика 6 м/с (3,2 м/с; 1 м/с)?

Невесомый стержень изогнут под углом а =30° (рис. 2.39). На конце участка стержня АВ длиной 80 см закреплен маленький шарик массой 1 кг. Система вращается вокруг вертикального участка стержня так, что скорость шарика равна 2 м/с. С какой по модулю силой и в каком направлении стержень действует на шарик?

Найдите модули ускорения грузов и сил натяжения нитей для системы грузов, изображенной на рисунке 2.40, Массой нитей и блока, а также трением в оси блока пренебречь. Массы грузов соответственно равны 1, 2 и 3 кг.

Рис. 2.39

Рис. 2.41

Рис. 2.40

г

Рис. 2.44

F

Рис. 2.42

Рис. 2.43

О 9. На рисунке 2.41 изображена система движущихся тел, имеющих массы т1 = т, т2 = 4m, т3 = т. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол ос = 30°. Трение отсутствует. Определите силы на-тяжения нитей.

Ю.На рисунке 2.42 показаны графики 1, 2 зависимости модуля силы, удерживающей тело на окружности, от ее радиуса. В одном случае — это гипербола, а в другом — прямая. Как объяснить это кажущееся противоречие?

Конус с углом раствора 2а вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 2.43). В конусе находится шарик массой т, прикрепленный к внутренней поверхности конуса при помощи нити. Радиус окружности, по которой обращается шарик, равен R. Найдите силу натяжения нити Т и силу давления шарика Р на по-верхность конуса. Трение не учитывать.

Как определить направление вращения ротора двигателя кофемол-ки, если ее корпус непрозрачен?

На оси центробежной машины закреплена нить длиной I = 12,5 см, на конце которой находится маленький шарик (рис. 2.44). Найдите угол а между нитью и вертикалью, если машина вращается с частотой У1=1ГЦ(У2 = 2 ГЦ).