2.14. Основные законы электрической цепи
1. Закон Ома. Помимо хорошо известного закона Ома для участка цепи в физике часто используют этот же закон, но записанный в иной форме, которая носит название дифференциальной. Чтобы перейти к этой форме, выразим сначала силу тока i в проводнике через его длину l и поперечное сечение S (рис.
2.22), используя закон Ома для участка цепи:  . | (2.91) |
Здесь U — разность потенциалов или напряжение на концах проводника; R = rl/S — сопротивление проводника; r — удельное сопротивление материала, из которого изготовлен проводник. Теперь, полагая поле в проводнике однородным (тогда U = El) и вводя обратную удельному сопротивлению величину — удельную проводимость s = 1/r, нетрудно получить выражения для силы и плотности тока в проводнике, как функций напряжённости поля внутри проводника:
i = sES;  . | (2.92) |
Последнее выражение и есть закон Ома в дифференциальной форме. Такое название ничуть не меняет суть закона: он остается опытным законом, только записанным не для всего проводника, а для малой области, взятой в любой точке внутри проводника. В физике он удобен тем, что связывает вектор плотности тока с напряженностью: они направлены одинаково, и плотность тока в любой точке проводника прямо пропорциональна напряжённости электрического поля в этой точке.
Как и все опытные законы, закон Ома имеет ограниченное применение. Так, при увеличении напряжённости поля до значений, когда скорость направленного движения делается сравнимой со скоростью теплового движения, число свободных зарядов в результате столкновений может увеличиваться.
Это явление ?размножения зарядов? особенно заметно в газах. Примером его может служить электрическая искра, где возникает так называемая лавина — резкое увеличение числа носителей.Не подчиняются закону Ома и области контакта между двумя полупроводниками, между металлом и полупроводником. Элементы электрической цепи, в которых нарушается закон Ома, называют нелинейными (закон Ома диктует прямую линейную зависимость между током и напряжением). В электронике, радиотехнике и в современной электротехнике нелинейные элементы и цепи играют весьма существенную роль.
При больших плотностях тока, примерно в миллион раз превышающих обычно используемые, также наблюдается нарушение закона Ома.
2. Закон Джоуля — Ленца. Кроме своего очень широкого диапазона применения закон интересен еще и выводом, который из него следует. Сопоставим найденную по нему теплоту Q, выделившуюся на сопротивлении R при протекании по нему тока i, с работой по перенесению заряда q:
 ;  . | (2.93) |
Заменив в последнем равенстве напряжение через силу тока и сопротивление, получим выражение, эквивалентное первому. Получается, что работа по перемещению заряда в поле целиком идет на выделившееся тепло. Как и закон Ома, закон Джоуля — Ленца является экспериментальным. Его также можно представить в дифференциальной форме, проделав аналогичные процедуры. Предлагаем читателю самостоятельно вывести формулу закона Джоуля — Ленца в дифференциальной форме и показать, что удельная мощность тока прямо пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля в проводнике.
3. Законы полной цепи. Такая цепь изображена на рис. 2.23.
Рассмотрим участок цепи с потенциалами конечных точек j1 и j2.
Участок цепи, где заряды перемещаются под действием сторонних сил, называется внутренним, а точки, разделяющие внешний и внутренний участки цепи — зажимами.
Работа, которую совершают сторонние силы по перемещению единицы заряда, называют электродвижущей силой:
e  . | (2.94) |
По закону сохранения энергии работа сторонних сил расходуется на выделение теплоты как на внешнем, так и на внутреннем участке цепи:
| A* = e q = i2Rt + i2rt, | (2.95) |
где R и r — сопротивление внешнего и внутреннего участков. Сократив на заряд, можно получить привычный для нас закон Ома для полной цепи, где сила тока равна электродвижущей силе, деленной на сумму сопротивлений.
Равенство (2.95) можно записать несколько иначе, если вместо теплоты подставить работу по переносу заряда, выражая её через силы, действующие на него. В любом замкнутом контуре всегда действуют две силы. Одна из них электрическая, равная произведению напряженности поля на находящийся в нём заряд. Работа этой силы была нами найдена в (2.49), где перемещение взято по силовой линии, то есть совпадает с направлением силы.
Если ввести E* — напряженность поля сторонних сил, то аналогично можно найти и работу сторонних сил, всегда действующих в контуре с током: . | (2.96) |
Работа, совершаемая источником тока, будет равна сумме интегралов:
e q  . | (2.97) |
Первый интеграл равен нулю по (2.43) в силу потенциальности электростатического поля, значит:
e  . | (2.98) |
Последнее равенство, так же, как и (2.49), можно записать иначе, если использовать вместо перемещения по силовой линии произвольное перемещение 
:
 = e . | (2.99) |
Следовательно, работа сторонних сил по замкнутому контуру не равна нулю.