§ 1.28. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ

При движении точки по окружности радиус R, очевидно, — постоянная величина. Это позволяет ввести новые величины, наилучшим образом описывающие данное движение: положение характеризовать углом, а вместо обычных скоростей и ускорений ввести угловую скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость

Проведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис.

Рис. 1.86

Рис. 1.87

X

При движении точки угол ф изменяется. Обозначим изменение угла за время At через Дф. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол ф0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87): (1.28.1)

Ф = Фо + АФ- Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы. Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени. Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = ^ ,

а другой точки — на угол 45° = j, то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза.

Если при равномерном обращении за время At радиус-вектор повернулся на угол Дф, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Дф поворота радиуса-вектора к промежутку времени At, за который этот поворот произошел.

Дф _ гіф

dt "

(0= lim --і

Обозначим угловую скорость греческой буквой со (омега).

В СИ угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад.

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с.

Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка

делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно ~ .

Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

Т=-. (1.28.3)

п

Полному обороту точки на окружности соответствует угол Аф = 2л. Поэтому, согласно формуле (1.28.2), (1.28.4)

2л 0 ?0 — -jf = 2 кп. Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с-1, винта вертолета — 4—6 с-1, ротора газовой турбины — 200—300 с-1.

Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Аф за время At. Оно равно Аф = соАt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: Ф = Фо + (oAt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что At ~ t - t0 = t. Тогда угол поворота равен (1.28.5)

ф = ф0 + cot. По этой формуле можно найти положение точки на окруж-ности в любой момент времени.

Угловое ускорение

В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:

Р- Ит (Ь28-6>

д<_>о At at

Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если (3 = const, то co(f) = со0 + Р(< - ?0), где со0 — угловая скорость в начальный момент времени ?0. При tQ = 0

со(?) = со0 + (3f. (1.28.7)

Эта формула подобна формуле проекции скорости vx = v0x + + axt при прямолинейном движении точки.

Соответственно угол поворота

В t2

Ф(?) = ф0 + co0f + Ц-. (1.28.8)

Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х =

.2 a t

= Xn+ VcJ +

0 ' Ох 1 ¦

Связь между линейной и угловой скоростями

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.

(рис. 1.88): s = AiA2 = ДфR. Модуль линейной скорости движения

V = = ^ГГ-Я = Ю-Я- т> оо

At At Рис. 1.88

Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности: и = соR.

(1.28.9) Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0.

Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окруж- 2

ности. Так как а = -=- и v = соR, то л 2

(1.28.10)

а = ^ = со 2R. л 1. Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ус-корение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускоре-ние любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с2.

Связь линейного ускорения с угловым

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:

Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружнос-ти модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению.

Упражнение 5

Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч.

Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с. Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?

Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом.

Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту. Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?

Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом г. Полотно дороги

-- составляет угол а с горизонтальной плоскостью. Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью V.

Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м. Чему равно нормальное ус-корение точки через 5 с после начала движения?

Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.

Груз Р начинает опускаться с постоянным ус-корением а = 2 м/с2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение aj будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения?

Маховик приобрел начальную угловую ско-рость а> — 2к рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился. Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.

Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноуско- Рис. 1.89? ренно. Через ?j = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость Uj = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, ка-сательное и полное ускорения этой точки в момент времени t2 = 15 с.

Шкив радиусом Л = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением р = 3 рад/с2. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с2?

Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением Р = 0,04 рад/с2. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?