§1.26. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ
Характерные особенности этого движения содержатся в его названии: равномерное — значит с постоянной по модулю скоростью (и = const), по окружности —
значит траектория — окружность.
Равномерное движение по окружности
До сих пор мы изучали движения с постоянным ускорением.
Однако чаще встречаются случаи, когда ускорение изменяется.Вначале мы рассмотрим простейшее движение с переменным ускорением, когда модуль ускорения не меняется. Таким движением, в частности, является равномерное движение точки по окружности: за любые равные промежутки времени точка проходит дуги одинаковой длины. При этом скорость тела (точки) не изменяется по модулю, а меняется лишь по направлению.
Мы по-прежнему будем считать тело настолько малым, что его можно рассматривать как точку. Для этого размеры тела должны быть малы по сравнению с радиусом окружности, по которой движется тело.
Среднее ускорение
Пусть точка в момент времени t занимает на окружности положение А, а через малый интервал времени At — положение А1 (рис. 1.82, а). Обозначим скорость точки в этих положениях через ииУ]. При равномерном движении v1 = v.
Для нахождения мгновенного ускорения сначала найдем среднее ускорение точки. Изменение скорости за время At рав- но Av и = и1 - и (см. рис. 1.82, а).
По определению среднее ускорение равно
Av а — —.
СР At
Центростремительное ускорение
Задачу нахождения мгновенного ускорения разобьем на две части: сначала найдем модуль ускорения, а потом его направление. За время At точка А совершит перемещение ААг = А г.
Рассмотрим треугольники ОААг и АгСВ (см. рис. 1.82, а). Углы при вершинах этих равнобедренных треугольников равны, так как соответствующие стороны перпендикулярны. Поэтому треугольники подобны. Следовательно,
\Av\ = |Лг|
V г
Разделив обе части равенства на At, перейдем к пределу при стремлении интервала времени At —» 0: (1.26.1)
1 Иш Иш №.
v &t_>0 At г At^0 At Предел в левой части равенства есть модуль мгновенного ус-корения, а предел в правой части равенства представляет собой модуль мгновенной скорости точки. Поэтому равенство (1.26.1) примет вид:
1 1
- а = - и.
V г
Отсюда (1.26.2)
V
а= —.
г Очевидно, что модуль ускорения при равномерном движении точки по окружности есть постоянная величина, так как v и г не изменяются при движении.о* а) Направление ускорения
Найдем направление ускорения а. Из треугольника А1С5 следует, что вектор среднего ускорения составляет с вектором ско-
JgQO _ ф
рости угол Р = 2 • Но при At —> 0 точка А1 бесконечно близко подходит к точке А и угол а —» 0. Следовательно, вектор мгно-венного ускорения составляет с вектором скорости угол
р = lim 18°;-а « 90°.
а—> 0 ^
Значит, вектор мгновенного ускорения а направлен к центру окружности (рис. 1.82, б). Поэтому это ускорение называется центростремительным (или нормальным ).
Центростремительное ускорение на карусели и в ускорителе элементарных частиц
Оценим ускорение человека на карусели. Скорость кресла, в котором сидит человек, составляет 3—5м/с. При радиусе ка-
2
к v ~
русели порядка 5 м центростремительное ускорение а = — ~
~ 2—5 м/с . Это значение довольно близко к ускорению свободного падения 9,8 м/с2.
А вот в ускорителях элементарных частиц скорость оказывается довольно близкой к скорости света 3 • 108 м/с. Частицы движутся по круговой орбите радиусом в сотни метров. При этом центростремительное ускорение достигает огромных значений: 1014—1015 м/с2. Это в 1013—1014 раз превышает ускорение свободного падения.
Равномерно движущаяся по окружности точка имеет
2
постоянное по модулю ускорение а = —, направленное
по радиусу к центру окружности (перпендикулярно
скорости). Поэтому это ускорение называется центростремительным или нормальным.
Ускорение а при движении непрерывно изменяется по
направлению (сіл. рис. 1.82, б). Значит, равномерное дви-жение точки по окружности является движением с переменным ускорением.