§ 1.25. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1
Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло | своего пути. Найдите время падения t и высоту h, с которой упало тело.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой
Согласно условию задачи, Ah = h - ht, где h1 — путь тела при свободном падении за время t1 = t - т (т = 1 с).
Тогда можно записать:.2
, _ g(t ~ Т) П\ о Кроме ТОГО, 3
Отсюда
h и и S(t~ г)2 gt2
— h - п1 или s—— = -я- f= V3T ~ 5 4 c
Тз-72
g З^;2
Тело упало с высоты h = ^ = = (5 • 5,42) м ~ 146 м.
(7з - 72)
Задача 2
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью и0 = 20 м/с. Какой путь прошло тело за 3 с полета? Найдите модуль и направление скорости в конце этого промежутка времени.
Решение. Чтобы найти скорость v, воспользуемся формулой для проекции скорости vy: vy = vQy + ayt. Ось Y направим верти-кально вверх (см. рис. 1.80). Тогда vy = v0 - gt = -10 м/с. Модуль скорости v = 10 м/с. Так как проекция скорости отрицательна, то скорость v направлена противоположно направлению оси Y, т. е. вниз. Направление скорости тела изменилось, поэтому пройденный путь будет складываться из максимальной высоты подъе- ма Лтах = Н и участка траектории Н - у, на который опустилось тело:
s = Н + (Н - у) = 2Н - у.
Время подъема на максимальную высоту можно определить из условия vy — 0. Отсюда
Уа
t = — = 2 с.
ПОД g
Максимальная высота подъема
H-vJ^-Zp- 20 м.
Найдем координату тела у спустя время t = 3 с после начала движения:
gt2
у = v0t - = 15 м.
Пройденный телом путь
s = 2Н - у = 25 м. 1. Задача 3
С башни высотой h = 10 м в горизонтальном направлении бросают камень со скоростью v1 = 23 м/с. Одновременно с поверхности Земли под углом а = 30° к горизонту бросают второй камень со скоростью v2 = 20 м/с навстречу первому. Определите, на каком расстоянии I от подножия башни находится точка бросания второго камня, если камни столкнулись в воздухе.
Решение.
Выберем систему координат XOY так, чтобы скорости бросания камней лежали в этой плоскости. Начало координат расположим на поверхности Земли. Ось Y направим вверх так, чтобы она проходила через точку бросания первого камня. Ось X направим вправо (рис. 1.81).Координата у в зависимости от времени меняется следующим образом:
V2
В соответствии с условием задачи и рисунком 1.81 уравне-ния координат первого и второго тел можно записать так:
2 2 , gt gt Уі = л - ~2~ иу2 = v2tsin а - .
В момент встречи тел: у1 = у2, или
, gt2 . gt2 h - -g- = v2tsm а - •
Отсюда
t = —І—. (1.25.1)
u2sm а
Теперь воспользуемся формулой зависимости координаты х от времени:
.2 a t
* = *0 + U0
Согласно условию задачи и в соответствии с выбранной системой координат XOY:
= и х2 = I - v2tcos а. При столкновении камней хх = х2, или v-^t = I - v2tcos а. Отсюда
1 = (v1 + v2cos a)t.
Заменяя в этой формуле время выражением (1.25.1), получим
h
I = (і>. + Vycos а) : = 40,4 м.
1 г u2sin а
Упражнение 4
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Через какой промежуток времени оно будет на высоте 25 м?
К стене на нити подвешена линейка длиной 25 см. Под линейкой в стене имеется маленькое отверстие. На какой высоте h над отверстием должен находиться нижний край линейки, если после пережигания нити линейка, свободно падая, закрывала собой отверстие в течение 0,1 с? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с2.
С какой высоты упало тело, если в последнюю секунду падения оно прошло путь, равный 75 м?
Воздушный шар поднимается вверх без начальной скорости с постоянным ускорением и за 20 с достигает высоты 200 м. Спустя
10 с после начала движения от шара без толчка отделился балласт. Через какое время балласт достигнет земли?
Брошенное вертикально вверх тело на высоте 25 м побывало дважды с интервалом времени 4 с. Определите модуль начальной скорости тела, а также модули и направления скоростей тела на высоте 25 м.
Два тела брошены вертикально вверх из одной точки одно вслед за другим с интервалом времени, равным х, с одинаковыми скоростями v0.
Через какое время после бросания первого тела они встретятся?Камень брошен горизонтально. Через 3 с его скорость оказалась направленной под углом 45° к горизонту. Найдите модули начальной скорости и скорости тела спустя 3 с.
Тело брошено с поверхности Земли под углом 30° к горизонту. Найдите модуль начальной скорости, если на высоте 10 м тело побывало дважды с интервалом времени 1 с.
Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 21 м/с. На какой высоте вектор скорости будет составлять с горизонтом угол 30°?
С высоты Н на наклонную плоскость, образующую угол а с гори-зонтом, свободно падает мяч и упруго отражается с той же по модулю скоростью. Найдите расстояние от места первого соударения до второго; затем от второго до третьего и т. д. Определите расстояние между первым и вторым соударениями для случая, когда а = 45° иЯ = 0,5 м.
Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом 30° к горизонту вода с начальной скоростью 10 м/с. Площадь сечения отверстия шланга равна 2 см . Определите массу струи, находящейся в воздухе. Плотность воды 1000 кг/м3.
Два тела брошены одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое — под углом 60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела v0 = 25 м/с. Найдите расстояние между телами спустя время t = 1,7 с.
С поверхности Земли одновременно бросают два тела: одно вертикально вверх, второе — под углом к горизонту. Найдите угол, под которым бросили второе тело, если оба тела упали одновременно, причем высота подъема тела, брошенного вертикально вверх, равна расстоянию, на котором второе тело упало от точки бросания.