§ 1.21. ГРАФИКИ ЗАВИСИМОСТИ КООРДИНАТ ОТ ВРЕМЕНИПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
Графики зависимости координат от времени сложнее графиков скорости и ускорения. Им нужно уделить большое внимание.
б)
Рис. 1.57
а)
Выражения для координат (1.19.2) представляют собой квадратичные функции времени, если в этих уравнениях аг Ф 0 и а„ Ф 0.
х у
Поэтому их графиками являются параболы (или части парабол).
Рассмотрим прямолинейное движение по наклонному желобу.
Пусть шар начинает скатываться из состояния покоя (и0 = 0). Будем рассматривать движение центра шара. Оно, как было установлено еще Галилеем, является равноускоренным. Выберем начало координат в точке, откуда началось движение. Если ось X направить вниз вдоль желоба (рис. 1.57, а), то координаты центра шара при движении будут положительными. При этом vx > 0 и ах > 0, так как д и а имеют такое же направление, что и ось X. Графиком x(f) служит парабола OA (рис. 1.58) с вершиной в точке О.Если же ось X направить вдоль желоба вверх (рис. 1.57, б), ах < < 0, vx < 0 и координата центра шара х < 0. Графиком будет парабола ОВ с вершиной в точке О (см. рис. 1.58).
Оба случая движения описывают- .2
. Теперь рас
О
a„t
ся уравнением х =
смотрим скатывание шаров, соответствующее рисунку 1.59, а, б. Здесь у0 = 0, поэтому зависимость координаты от времени имеет ВИД JC = Х0 +
2
axt
+ —. Движению с > 0 соответствует парабола DC (рис. 1.60). При движении, изображенном на рисун- а)
б)
Рис. 1.59
У,
^іі
02 X /с D У К О t Е Рис. 1.60
ке 1.59, б, х02 < 0. Это движение графически описывается параболой ЕК (рис. 1.60). Оба движения являются равноускоренными.
Если ось X направить вверх по желобу (рис. 1.61, а, б), то движениям шара соответствуют графики 1 и 2 (рис. 1.62). Обратите внимание на следующую особенность всех графиков (см. рис. 1.58, 1.60, 1.62): они начинаются вершинами парабол (и0 = 0), а далее идут все круче и круче, так как скорость возрастает, и за равные промежутки времени координата точки из-меняется все быстрее и быстрее.
Графики равнозамедленного движения изображаются аналогично. В этом а) б)
Рис.
1.62случае тело имеет начальную скорость, направленную вверх вдоль желоба. Такое движение продолжится до остановки (и = 0). (После остановки шар начнет скатываться вниз и его движение станет равноускоренным.) Так как модуль скорости уменьшается, то а направлено противоположно и0, т. е. вниз вдоль желоба.
Можно рассмотреть все случаи рав- нозамедленного движения в зависимости от выбора направления оси X и значения начальной координаты х0. Так, движениям, изображенным на рисунке 1.63, а, б, соответствуют графики на рисунке 1.64, а, б. а) б)
б)
X
х
а) Х02
v0 >0; ах< 0
v0< 0; ах> 0
Рис. 1.65
О Если мы будем рассматривать дальнейшие движения шаров после остановки, то получим полные графики их движения, которые изображены на рисунке 1.65, а, б. Действительно, шар имел начальную скорость, направленную вверх по желобу. Сначала он поднимается равнозамедленно, а потом начинает скатываться равноускоренно. Его координата (см. рис. 1.63, а) уменьшается по модулю до нуля, затем становится положи-тельной, а далее вновь будет уменьшаться до нуля, после чего начинает принимать отрицательные значения (график изображен на рисунке 1.65, а). Для случая, соответствующего рисунку 1.63, б, имеем следующее: координата шара сначала уменьшается до нуля, затем принимает отрицательные значения, а потом (после остановки) начинает возрастать. График для этого движения изображен на рисунке 1.65, б.
Построение графиков зависимости координаты от времени при а = const сводится к построению отрезков парабол. Для лучшего усвоения этих графиков полезно повторить соответствующий раздел курса математики.