§1.12. СКОРОСТЬ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

Подобно перемещению, скорость является вектором. Она характеризует не только быстроту движения тела, но и направление его движения. Говорят о на-правлении движения пешехода, машины, лодки, самолета, ракеты и т.

Под направлением движения тела в некоторый момент времени принято понимать направление его скорости в этот момент. Скорость v можно изобразить направленным отрезком (стрелкой), длина которого в определенном масштабе характеризует модуль скорости (рис. 1.35).

Средняя скорость

Понятие вектора скорости вводится в принципе таким же способом, как и понятие скорости изменения координаты тела (см. § 1.7). Вектор средней (по времени) скорости равен отношению вектора перемещения А г к интервалу времени At, за который это перемещение совершилось:

^-S- (1Л2Л)

Направление вектора средней скорости совпадает с направ-

ср

лением вектора перемещения Дг (рис. 1.36).

Мгновенная скорость

Средняя скорость, определяемая выражением (1.12.1), сама по себе не играет практически существенной роли. Например, при посадке на Луну космического аппарата или при стыковке космических кораблей необходимо знать не среднюю скорость, а скорость в каждое мгновение, в каждой точке сложной криволинейной траектории — мгновенную скорость. Но чтобы ввести понятие мгновенной скорости произвольного криволинейного движения, надо воспользоваться понятием средней скорости. Прием, используемый здесь, вполне подобен приему, применяемому при введении понятия мгновенной скорости прямолинейного неравномерного движения.

При уменьшении интервала времени At перемещения Arx, Аг2, Аг3 ... точки А, движущейся по криволинейной траектории, уменьшаются по модулю и меняются по направлению

Дг2 Агз

(рис. 1.37). Соответственно средние скорости -д^-, -д^- » -Д?- ••• меняются по модулю и направлению. Но по мере приближения интервала At к нулю отношение ^ приближается к определенному предельному значению.

Итак, мгновенной скоростью называется предел отношения перемещения Дг к интервалу времени At, в течение которого это перемещение произошло, если интервал времени стремится к нулю.

о По определению имеем Д г

(1.12.2)

v = lim —

At -> 0 At Мгновенную скорость, как и в § 1.7, можно записать с по-мощью производной

at =г(*>-

Эта величина характеризует быстроту изменения радиуса-вектора движущейся точки во времени.

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Действительно, при уменьшении интервала At вектор А г уменьшается по модулю и его направление приближается к направлению касательной к траектории, проведенной в точке А. В предельном случае бесконечно малого интервала времени dt вектор перемещения совпадает с бесконечно малым участком траектории, т. е. направлен по касательной к ней. А вектор скорости всегда направлен так же, как и вектор перемещения.

В частности, скорость точки, движущейся по окружности, направлена по касательной к этой окружности. Это нетрудно наблюдать. Если маленькие частички отделяются от вращающегося диска, то они летят по касательной, так как имеют в момент отрыва скорость, равную скорости точек на окружности диска. Вот почему грязь из-под колес буксующей машины летит по касательной к окружности колес (рис. 1.38, а). Также

по касательной летят раскаленные частицы точильного камня, отрывающиеся от вращающегося диска, если коснуться его поверхности стальным резцом (рис. 1.38, б).

Так как изменения координат Ах, А у и Аг являются проек-циями вектора перемещения Аг на соответствующие оси координат (см. § 1.11), то скорости изменения координат

и = lim = lim lim ^ (1.12.3)

1 Af->0 At У At —> О 2 At-X)^

dx dy dz Л

или ^

являются проекциями на оси X, Y и Z вектора скорости v движущейся точки . Формула для мгновенной скорости (1.12.2), по су-ществу, есть символическая запись трех выражений (1.12.3).

Модуль вектора скорости определяется через его проекции по общему для всех векторов правилу:

\v\ = v = Jul + v2y + V2Z . (1.12.4)

У

Направление вектора v определяется его проекциями vx, vy и vz, так же однозначно, как определяется направление вектора г координатами х, у и г конца этого вектора.

В случае движения с постоянной скоростью система уравнений (1.8.1) эквивалентна одному векторному уравнению

r = r0+vt, (1.12.5)

где г — радиус-вектор точки в момент времени t, г0 — начальный радиус-вектор. Это непосредственно следует из того факта, что проекция суммарного вектора равна сумме проекций слагаемых векторов (см. § 1.11).

Подобно радиусу-вектору и перемещению, скорость является вектором. Мгновенная скорость или скорость в точке представляет собой производную радиуса-век- тора по времени.