1.12. Объяснение законов теплового излучения Вином, Рэлеем, Джинсом. Гипотеза Планка
Теоретическое обоснование вида экспериментальной функции Кирхгофа f (l,T) (см. рис. 1.24), равной излучательной способности абсолютно чёрного тела, т.е. характер зависимости rl от длины волны в различных частях спектра пытались получить Рэлей, Джинс и Вин.
Они руководствовались установившимися тогда представлениями о свете. Как и всякая электромагнитная волна, свет создаётся ускоренно движущимся зарядом. Если температура тела не равна нулю, то его молекулы и атомы участвуют в хаотическом тепловом движении – колебательном в случае твёрдого тела. Такое движение неизбежно приводит к столкновениям молекул. При этом их кинетическая энергия уменьшается Она частично передаётся другим молекулам, частично отбрасывается в виде электромагнитной волны.В момент удара молекулы теряют свои скорости. Предположим, что чем больше скорость молекул, тем больше её изменение в момент удара: медленной молекуле почти нечего терять. Следовательно, величина энергии, излучаемой молекулой в момент удара, определяется её энергией w. Для каждой молекулы эти энергии различны. Число молекул с энергией wi определяется больцмановским распределением, согласно которому концентрация молекул с ростом их энергии экспоненциально убывает:
 , | (1.35) |
где ni –– концентрация молекул, имеющих энергию wi , а n0 –– концентрация всех молекул.
Пусть awñ –– средняя энергия, излучённая в процессе одного удара, то есть средняя энергия одного акта излучения. Свяжем эту энергию с излучательной способностью rν. Очевидно, что rν ~ awñN, где N — число актов излучения в единицу времени на единице поверхности.
Величина N зависит от частоты колебаний молекул.
Их соударения (акты излучения) происходят тем чаще, чем больше частота колебаний. Если молекула будет испытывать удары не только от соседей слева и справа, но и сверху и снизу, то число актов возрастёт: для двумерной цепочки N ~ ν2, а для трёхмерной N ~ ν3 .
Величину awñ найдём так: пусть ni молекул в теле имеют энергию wi и при ударе её излучают. Тогда произведение ni wi будет энергией, излучённой этой частью молекул, а сумма S ni wi даст энергию, излучённую всеми молекулами. Если всю энергию поделить на число молекул, получим среднюю энергию одного акта излучения:
 . | (1.36) |
Чтобы найти две эти суммы, представим каждую из них в виде ряда. Для этого необходимо ввести общую для всех членов ряда величину. Пусть это будет u — сколь угодно малая порция энергии, тогда w0 = 0?u, w1 = 1?u, w2 = 2? u, и так далее. Введём также обозначение 
. Тогда из (1.35) получим
 | (1.37) |
В знаменателе стоит бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем х, сумма которой
 . | (1.38) |
В числителе ряд можно просуммировать по формуле бинома Ньютона:
 . | (1.39) |
Следовательно
 . | (1.40) |
Возвращаясь к введённому выше значению x, получаем среднюю энергию одного акта излучения
 . | (1.41) |
Тогда излучательная способность с поверхности (двумерная цепочка)
rn ~  . | (1.42) |
Задача нахождения rn как функции от частоты была решена, но давала совпадение с опытом лишь в области низких частот. Действительно, согласно (1.42), излучательная способность должна монотонно возрастать с увеличением частоты, которая входит только в числитель.
Ситуацию иллюстрирует рис. 1.26, на котором показана перенесённая с рис. 1.24 опытная кривая, проведённая сплошной линией. Пологая ветвь её теперь повёрнута к началу координат. Пунктирная линия 1 соответствует уравнению (1.42). Казалось бы, практическое совпадение двух кривых в области малых частот свидетельствует о правомочности описанного выше механизма излучения электромагнитной волны. Вместе с тем противоположный ход опытной и теоретической кривых свидетельствует, что этот механизм не имеет места. Резкое расхождение кривых в области высоких частот, начиная с максимума, получило название ультрафиолетовой катастрофы.
Действительно, катастрофу терпели все представления о свете, построенные на строгой и стройной системе Максвелловских гипотез, неоднократно раннее подтверждённых опытом.
Выход в 1900 году нашёл Макс Планк. Анализируя причины столь резкого расхождения с опытом, он не обнаружил изъянов в исходных позициях. Планк обратил внимание лишь на один момент, содержащий произвольное допущение: при нахождении суммы (1.36) была введена величина u — любая, сколь угодно малая порция энергии. Предположив, что она не произвольна, а пропорциональна частоте:
| u = hn, | (1.43) |
Планк тем самым изменил уравнение (1.42), в котором теперь частота вошла и в знаменатель, в показатель степени экспоненты:
rn ~  . | (1.44) |
Кривая 2, соответствующая формуле Планка (1.44), тоже изображена на рис. 1.26. В области малых частот она практически совпадает с пунктирной кривой 1, полученной по (1.42). При больших частотах возрастание показателя степени в знаменателе приводит к резкому уменьшению rn.
На рисунке эта часть кривой изображена штрих-пунктирной линией. Вся же кривая, заданная (1.44), есть кривая с максимумом, полностью повторяющая опытную. Из формулы Планка нетрудно получить и закон смещения Вина, и закон Стефана—Больцмана (подумайте, как это сделать!).
Предположение Планка о том, что минимальная порция излучения пропорциональна частоте, оправдалась опытом, а сама порция энергии была названа квантом. Планк считал, что только в момент излучения световая энергия квантована, а далее свет распространяется волной, основное свойство которой — непрерывность. Отказаться от сложившихся представлений о свете, как об электромагнитной волне, Планк не смог. Но идея о квантах световой энергии была использована сначала Эйнштейном для объяснения законов фотоэффекта, а затем Нильсом Бором для построения его модели атома.