§1.11. ТЕОРЕМА ГАУССА
Закон Кулона — основной закон электростатики. Из него следует основная теорема электростатики — теорема Гаусса.
Поток напряженности электрического поля
Предварительно введем новую физическую величину — поток напряженности электрического по- л я.
Напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади. Именно для этой величины формулируется теорема Гаусса.Выделим в поле элемент площадью AS. Он должен быть на-столько малым, чтобы напряженность электрического поля во всех его точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль Я к элементу. Направление этой нормали выбирается произвольно (рис. 1.36). Угол между векторами Е и п обозначим через а. Тогда по определению потоком напряженности электрического поля Е называется произведение площади AS поверхности на проекцию напряженности электрического поля на нормаль к элементу:
AN = EnAS = Е • AS cos а. (1.11.1)
а*,:"® т^РЩ
Гаусс Карл Фридрих (1777—1855) — великий немецкий математик, физик и астроном, создатель абсолютной системы единиц в физике. Разработал теорию электростатического потенциала и доказал важнейшую теорему электростатики (теорема Гаусса). Создал теорию построения изображений в сложных оптических системах. Одним из первых пришел к мысли о возможности существования неевклидовой геометрии. Кроме того, Гаусс внес выдающийся вклад практически во все разделы математики.
Поток может быть положительным или отрицательным в зависимости от значения угла а.
/
Е
Рис. 1.38
Рис. 1.36
Рис. 1.37
Наглядно поток напряженности поля можно интерпретировать как величину, пропорциональную числу силовых линий, пронизывающих этот элемент. Линии, пронизывающие элемент AS, пронизывают также элемент AS0, представляющий
собой проекцию AS на плоскость, перпендикулярную вектору Е (см.
рис. 1.37). Поток напряженности можно записать в форме: (1.11.2)AN = Е cos а • AS = EAS,
О' так как AS0 = AS cos а.
Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью ASt, вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы (рис. 1.38):
(1.11.3)
Так же определяется поток через замкнутую поверхность. За положительную нормаль к любому элементу замкнутой поверхности принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная не внутрь поверхности, а наружу.
Теорема Гаусса для точечного заряда
Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и зарядом внутри этой поверхности.
Вначале рассмотрим простой частный случай. Вычислим поток вектора Е в однородной среде через сферическую по- верхность, в центре которой расположен точечный заряд q (рис. 1.39).
Напряженность поля в каждой точке на поверхности сферы одна и та же по модулю, а проекция Еп равна:
En = k\. (1.11.4)
є г
Поток вектора Е через поверхность сферы равен:
N=lEniASi=EnJJASi =
і і
= Е • 4jc r2 = k^. (1.11.5)
і є
Этот результат, надо ожидать, справедлив и для любой зам-кнутой поверхности, содержащей заряд q. Ведь любую поверхность или S2 (рис. 1.39) пронизывает то же число силовых линий, что и поверхность S. Таким образом, согласно теореме Гаусса, поток напряженности через замкнутую поверх-ность пропорционален электрическому заряду внутри этой поверхности.
Теперь дадим более строгое доказательство теоремы для одного точечного заряда, охватываемого произвольной замкнутой поверхностью площадью S (рис. 1.40). Выделим на этой поверхности малый элемент ее AS. Поток напряженности через этот элемент равен:
AN = E AS = k-^ cos a • AS, (1.11.6)
П ? T
где r — расстояние от элемента AS до заряда q, т.
е. модуль радиуса-вектора, указывающего положение элемента AS относительно заряда q. Согласно (1.11.2),AS cos a = AS0,
где AS0 — проекция площадки AS на плоскость, перпендикулярную радиусу-вектору г. Так как AS очень мала, то ASQ фак-тически есть проекция AS на поверхность сферы. Следова-тельно, уравнение (1.11.6) можно переписать так:
a AS0
AN = (1.11.7)
Для дальнейшего доказательства необходимо использовать понятие телесного угла.
Рассмотрим сферу радиусом г. Представим себе внутри этой сферы конус, вершина которого находится в центре сферы (рис. 1.41). Этот конус вырежет на сфере некоторую часть поверхности площадью S. Область пространства, ограниченную поверхностью конуса, называют телесным углом. Мерой телесного угла Л служит отношение площади S к квадрату радиуса г сферы:
(1.11.8)
г*
Нетрудно видеть, что значение телесного угла не зависит от радиуса сферы, так как площадь S вырезаемой им площадки пропорциональна квадрату радиуса. За единицу телесного угла принят стерадиан (ср) — это телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы элемент, площадь которого равна квадрату радиуса сферы. Полный телесный угол, охватывающий все пространство вокруг точки, равен:
S 47t г2
О™™ = 4 = ^ = 4lt СР- (1-11.9)
ПОЛИ г Г * v Рис. 1.41? ASn
Выражение
в формуле (1.11.7) есть не что иное, как
значение телесного угла AQ, под которым виден элемент поверхности AS0 (или, что то же самое, элемент AS) из точки, где расположен заряд q: AS
_о 2 '
AQ
(1.11.10) Подставляя выражение (1.11.10) в уравнение (1.11.7), по-лучим:
АN = k^Aa. (1.11.11)
Суммируя подобные выражения для всех элементов ASt поверхности S, получим полный поток напряженности через замкнутую поверхность:
і і
так как ^АЦ = 4л ср согласно (1.11.9). Итак, теорему Гаусса і
(1.11.12)
N-J^AN^kfq
Если замкнутая поверхность не содержит внутри себя электрического заряда, то поток напряженности через нее равен нулю (рис.
1.42). Силовые линии, идущие от заряда q, либо не пересекают ее совсем, либо же пересекают четное число раз. При этом число линий, выходящих из поверхности, равно числу линий, входящих в нее, и поэтому N = 0. (Выходящие из поверхности линии вносят положительный вклад в поток, а вхо- Рис. 1.42 дящие — отрицательный.)можно записать следующим образом:
Обобщение теоремы Гаусса
Теорема Гаусса легко обобщается на случай любого числа точечных зарядов. Поток напряженности через поверхность площадью S для каждого заряда определяется формулой (1.11.12). Вследствие принципа суперпозиции полей полный поток равен сумме потоков от всех зарядов. Поэтому, суммируя выражения (1.11.12) для всех зарядов, найдем:
N = kT^qi- (1.11.13)
і
Если алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности равна нулю, то и N = 0.
Теорему Гаусса можно обобщить и для случая, когда заряд распределен в пространстве непрерывно. Это мы рассмотрим в следующем параграфе.
Коэффициент k в формуле (1.11.13) равен единице в абсо-лютной системе единиц и в СИ. Поэтому теорема Гаусса в СИ не содержит множителя 4л:
(1.И.14)
і
Теорема Гаусса связывает поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность с полным зарядом внутри этой поверхности.