§1.11. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Для дальнейшей работы нам необходимо вспомнить некоторые действия над векторами, известные вам из курса геометрии: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число. Но нам придется сде-лать дополнение к изучавшемуся в геометрии материалу: познакомиться с нахождением проекций вектора при сложении и вычитании векторов.
Сложение векторов
Если заданы два вектора а и Ъ, то их можно сложить по правилам параллелограмма или треугольника (рис.
1.28). Вектор с является их суммой: с = а + Ь. В первом случае суммарный вектор представляет собой диагональ параллелограмма, по-строенного на составляющих векторах как на сторонах (начала всех трех векторов совпадают). Во втором случае поступают так: с концом вектора а совмещают начало вектора Ь. Соединив
X
Рис. 1.29
Рис. 1.28
затем начало первого вектора с концом второго, получают суммарный вектор. Обратите внимание на то, что при сложении векторов модуль результирующего вектора в общем случае не равен сумме модулей слагаемых векторов (длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон). Равенство имеет место лишь при сложении одинаково направленных век-торов.
Для дальнейшего очень важно уяснить, что проекции суммарного вектора на координатные оси равны сумме проекций слагаемых векторові
сх = ах + Ъх, су = ау + Ьу.
Это непосредственно видно из рисунка 1.29.
Если складываются несколько векторов, то правило треугольника легко обобщается на правило многоугольника сложения векторов. Для этого выбирают произвольную точку Айв нее переносят начало первого вектора. Далее к концу первого вектора приставляют начало второго, к концу второго — начало третьего и т. д. Суммарным является вектор АВ , проведенный из начала пер-вого в конец последнего (рис. 1.30).
Умножение вектора на число
Пусть требуется умножить вектор а на число п.
Если число п положительное, то в результате умножения получится новый вектор Ь = па, имеющий то же направление, что и вектор а, но модуль в п раз больший (рис. 1.31, а).Если вектор умножить на отрицательное число k (k < 0), то получится вектор с = ka, направленный противоположно век-тору а (рис. 1.31, б). Модуль вектора с равен с = \k\a, а проекция вектора с равна сх = kax.
а) б) c = ka
Ъ = па Рис. 1.31 Вычитание векторов
Напомним теперь правило вычитания векторов. Когда мы имеем дело с числами, то вычитание одного числа из другого
в)
означает то же самое, что прибавление к уменьшаемому нового числа, противоположного по знаку вычитаемому, например 10 - 6 = 10 + (-6). Подобным образом выполняется и вычитание векторов. Вычесть из вектора а вектор Ъ (рис. 1.32, о) — это то же самое; что прибавить к вектору а вектор -Ъ, отличающийся от вектора Ъ тем, что он направлен в противопо-ложную сторону (знак «минус» указывает здесь противоположность направления): с = а - b — а + (-Ь). Модули векторов Ь и -Ъ равны, а их направления противоположны (такие векторы называют противоположны-ми). Проекции противоположных век-торов имеют противоположные знаки. Сами же векторы не могут быть ни по-ложительными, ни отрицательными. Можно находить разность векто- Рис. 1.32 ров и несколько иначе. Если нарисо- вать векторы а и Ъ выходящими из одной точки (рис. 1.32, б), то разность векторов изобразится вектором с, проведенным из конца «вычитаемого» вектора к концу «уменьшаемого» вектора.
При вычитании векторов вычитаются и их проекции на ко-ординатные оси. Если с = а - Ъ, то сх = ах - Ъх и су = ау - Ъу.
Для проекций на ось X это непосредственно видно на рисун-ке 1.32, в.
Разложение вектора на составляющие
Из правил действия над векторами следует, что любой век-тор можно бесконечным числом способов представить как сумму двух других векторов. Например, вектор а (рис. 1.33) мож-но выразить так:
а = Ъ + с = d + е = ...
При этом векторы Ъ и с, d и е и т.
д. называются составляю-щими вектора а, а само представление вектора а в виде суммы двух других векторов называется разложением векто-ра на его составляющие. В дальнейшем на многих призерах мы убедимся, что разумное разложение векторов уп-рощает решение ряда задач.Радиус-вектор и вектор перемещения
Пусть точка А перемещается на плоскости из положения Аг в положение А2. ЭТИ положения точки в системе координат XOY определяются радиусами-векторами гг и г2(рис. 1.34).
с
Ъ
65
З-Мякишев, 10 кл.
X? 2. »
Вектор перемещения АХА2 (см. рис. 1.34) есть не что иное,
как разность двух векторов Я2 и Ях: АгА2 = Я2 — Яг В процессе
движения точки А ее радиус-вектор изменяется по модулю и направлению. Изменение величины, как об этом уже говорилось, обозначается символом А (дельта), поэтому А Я = Я2 - rv Теперь перемещение можно определить иначе, чем это было сделано в § 1.10.
Перемещением движущейся точки называется изменение ее радиуса-вектора.
Согласно определению, перемещение (см. рис. 1.34) равно
А ? = А1А2=г2-Г1. (1.11.1)
В § 1.3 мы уже говорили, что для математического описания движения необходимо уметь находить положение тела в любой момент времени. Описать движение тела — это значит описать движение его точек. Положение точки можно задать радиусом-вектором. Следовательно, для описания движения надо уметь определять радиус-вектор точки в любой момент времени. Из рисунка 1.34 видно, что если известен радиус-вектор г1 в какой-то момент времени и известно перемещение АЯ, то можно найти радиус-вектор Я2 в любой последующий момент времени: Я2 = г1 + А Я. Обычно радиус-вектор в начальный момент времени t0 обозначают через Я0, а в любой другой момент времени і — через Я. Поэтому
Я = Я0 + АЯ. (1.11.2)
Это уравнение справедливо для любого движения — прямолинейного и криволинейного, равномерного и пере-менного.
Чтобы найти положение точки в любой момент времени, т. е. найти радиус-вектор г, надо знать начальное положение точки, определяемое радиусом-вектором Я0, и уметь вычислять перемещение А Я.
Векторному уравнению (1.11.2) для движения на плоскости соответствуют два уравнения в координатной форме.
Чтобы пе- рейти к этим уравнениям, надо использовать проекции векторов на оси координат. Зная, что проекциями радиусов-векторов являются координаты концов этих векторов и что проекции перемещения равны изменениям координат, получим:х = л:0 4- Ах, (1.11.3)
У = У о + АУ-
Уравнение (1.11.2) есть компактная форма записи уравнений (1.11.3). В случае движения в пространстве к уравнениям (1.11.3) добавляется еще одно:
2 = 20 + AZ.
Чтобы найти положение точки на плоскости в любой момент времени (координаты х, у), надо знать ее начальное положение (координаты х0, у0) и уметь вычислять изменения координат Ах, Ау точки при движении.
Дальнейшая наша цель будет заключаться в том, чтобы научиться вычислять Дг или Ах, Ау при движении точки.
Мы повторили правила действия над векторами и познакомились с правилами действия над их проекциями. Научились раскладывать вектор на составляющие. Выяснили, что вектор перемещения равен разности двух радиусов-векторов.
? 1. Два вектора лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Куда направлен вектор их суммы и чему равен его модуль, если модули слагаемых векторов различны? одинаковы? Сделайте рисунки.
Вектор с является суммой векторов а и Ъ. Найдите модуль вектора с, если векторы а и Б заданы на плоскости следующими значениями своих проекций: ах — 4 см, Ъх = -1 см, ау = 2 см, Ъу = -6 см.
Два вектора расположены на одной прямой и направлены в одну сторону. Куда направлен вектор их разности и чему равен его модуль? Ответьте на этот же вопрос, если векторы направлены в противоположные стороны.
Вектор с является разностью векторов а и Ь. Найдите модуль вектора с, если векторы а и Ъ заданы следующими значениями своих проекций: ах = -1 см, Ъх = 2 см, ау = -2 см, Ъу = -6 см.