Напряжённость электрического поля
Как и всякое векторное поле, электрическое поле может быть задано путём изображения вектора напряжённости в необходимых точках в окрестностях заряда.
Поле можно представить и аналитически, задав для каждой точки уравнение напряжённости, например в координатной форме.
Другой графический способ изображения поля, обладающий наглядностью, может быть реализован при изображении линий напряжённости электрических полей (рис. 1.50). Рис 150 Лшш
напряжённости
Линиями напряжённости электрического поля называются линии, касательные к которым совпадают по направлению с векторами напряжённости в соответствующих точках поля.
Линиям напряжённости сообщается направление в соответствии с направлением вектора напряженности в данной точке. Как следует из определения, линии напряжённости нигде не пересекаются, они начинаются или заканчиваются на телах, несущих на себе электрический заряд.
В качестве примера на рис. 1.51 приведены линии напряжённости электрического поля разноимённых точечных зарядов.
Линии напряжённости электрического поля на положительных зарядах начинаются, а на отрицательных - заканчиваются.
Рис. 1.51. Линии напряжённости точечных зарядов
На рис. 1.44 показана картина электрического поля возникающего от двух разноимённо заряженных одинаковых по модулю зарядов.
Рис. 1.52. Электрическое поле диполя
Такая система зарядов называется электрическим диполем. Левая часть рисунка получена путём визуализации электрического поля двух разноимённо заряженных шариков в отсутствии вблизи других зарядов и тел. Правая часть рисунка представляет собой результат построения картины поля по вышеизложенным правилам, с использованием принципа суперпозиции.
v. :¦-г vy А- л-* Рис. 1.53. Поле конденсатора
Визуализация электрического поля, создаваемого плоским воздушным конденсатором, представляющим собой две параллельные пластины с размерами, превосходящими расстояние между ними и расположенные в простейшем случае в воздухе, показана на рис. 1.53.
Картина линий напряжённости показывает, что пластины заряжены разноимённо, т.е. линии напряжённости начинаются на положительной пластине и заканчиваются на пластине,
заряженной отрицательно.
Внутри конденсатора поле является однородным (линии напряжённости параллельны друг другу). По периферии обкладок конденсатора за счёт краевых эффектов поле искажается и перестаёт быль линейным.
Если бы внутри конденсатора линии напряжённости не были бы перпендикулярны поверхности пластин, то возникла бы составляющая вектора E , направленная вдоль пластины, что должно было бы привести к появлению составляющей силы Кулона, параллельной поверхности пластин.
В этом случае электрические заряды пришли бы в движение, равновесие зарядов должно было бы нарушиться. Поскольку такового не наблюдается, то линии напряжённости внутри конденсатора параллельны друг другу и перпендикулярны поверхности пластин.
Анализ электрических полей может быть упрощён при использовании специальной теоремы Остроградского - Гаусса.
Математическая формулировка теоремы впервые была получена Михаилом Васильевичем Остроградским (1801 - 1862 гг.) академиком Петербургской Академии Наук, и адаптирована к электрическим полям немецким учёным Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855 гг.).Для формулировки теоремы в системе единиц СИ необходимо ввести новую векторную величину - электрическое смещение, которая определяется следующим соотношением
D = s0E.
Электрическое смещение в вакууме или сухом воздухе равно произведению электрической постоянной s0 на вектор напряжённости электрического поля в точке пространства.
Вектор электрического смещения по направлению совпадает с направлением вектора напряжённости и для точечного заряда, расположенного в вакууме или воздухе модуль смещения определится уравнением
d=-п 4.
4п r
Векторное поле электрического смещения удобно характеризовать потоком. Для определения потока выделим в пространстве, занятом электрическим полем плоскую поверхность площадью S, построим внешнюю к ней нормаль n (рис.1.54).
Рис. 1.54. Поток электрического смещения
Поток вектора электрического смещения в этом случае определится традиционным уравнением
Ф D = DScos(D;n )= SDn, где Dn - проекция вектора смещения на внешнюю нормаль. Густота линий электрического смещения численно равна модулю D. В случае неоднородного поля поток смещения вычисляется путём интегрирования по поверхности S
Анализируя уравнение можно отметить, что поток смещения может быть при прочих равных условиях положительным, отрицательным и нулевым, в зависимости от значения cos(D;n).
Ф d =J DndS.
В случае cos(D;n)lt;п/2 поток будет положительным, при cos(D;n)= п/2 поток будет нулевым, т.к. линии смещения не будут пересекать выделенную площадку.
Поместим положительный точечный заряд q в центр виртуальной сферической области площадью S и определим величину потока смещения через поверхность этой сферы радиусом R с учётом того, что во всех точках пересечения линий смещения они будут совпадать с направлением внешней нормали, т.е.
cos (D;n )= 1 (рис. 1.55)Ф D = ——-y4nR2 = q.
D 4п R2
Поскольку из уравнения потока исчез радиус сферы, то уравнение можно распространить на любую концентрическую сферу, охватывающую заряд q, например, на сферу Si и произвольную замкнутую поверхность S2.
Если замкнутая поверхность не охватывает заряд, как S3, то поток через неё будет равен нулю, потому что число линий смещения, входящих в поверхность S3 будет при любой величине заряда равно числу выходящих линий, причём для входящих линий поток будет отрицательным, а для выходящих - положительным, что и обеспечивает нулевой поток через эту не охватывающую заряд поверхность.
Математическое выражение теоремы Остроградского - Гаусса, на основании проведенного выше рассмотрения можно представить в общем виде следующим образом
Ф d =J DndS = q.
S
Поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, располагающихся внутри поверхности.