Квантовая модель атома

Несмотря на то, что модель атома Резерфорда инициировала целый поток идей о строении атома и особенностях устройства электронных составляющих, этой модели были присущи принципиальные недостатки.

Наиболее наглядно это наблюдается на примере самого простого атома водорода, который по представлениям Резерфорда содержит на орбите один единственный электрон, компенсирующий положительный заряд ядра, равный по модулю заряду электрона.

Рис. 3.45. Атом водорода по Резерфорду

Как уже отмечалось ранее, электрон, совершая вращение вокруг ядра по круговой или эллиптической орбите, ввиду специфики криволинейного движения обладает центростремительным ускорением an (рис. 3.45). В соответствие с классической электродинамикой такой ускоренно движущийся электрон неминуемо должен излучать электромагнитную волну, следовательно, движение его будет не круговым или эллиптическим, а спиралевидным, т. е. в конце концов, эта спираль должна, закончится на ядре.

Кроме того, модель атома Резерфорда не объясняла, почему атомы излучают только определённые частоты. Кода Резерфорд вершил судьбы мировой науки, поблизости, в статусе ученика обретался молодой датский студент Нильс Бор, которому все эти атомно-ядерные разговоры были чрезвычайно интересны.

Наслушавшись научных диспутов между Дж. Дж. Томсоном, Резерфордом и другими титанами физики и ознакомившись с работами Макса Планка, Нильс Бор заподозрил, что между квантовой гипотезой Планка и устройством атома должна быть взаимосвязь, коль квантовая теория так убедительно работает на чёрном теле и фотоэффекте.

Бор подозревал, что квантовые представления могли объяснить стабильность атомов. Последовательность рассуждений Нильса Бора была примерно такова.

Для начала Бор предположил, что электрон, вопреки классической электродинамике, находясь на стационарной орбите, не излучает. Сила Кулона со стороны ядра

1 Z e • e. 4ns„ г3

F =-

Ак

удовлетворяет закону обратных квадратов, как и гравитационная сила Ньютона

r              Ш1Ш2 r

Fg =

т. е. в классическом варианте задача о движении электрона аналогична задаче о движении планет вокруг Солнца, почему, собственно, Резерфорд и пришёл к планетарной модели атома. Потенциальная энергия, обусловленная силой Кулона, определяется как

Ze2

П(г ) = -

r

где Ze - заряд ядра, принятый Бором как материальная точка. Нормальное ускорение электрона (рис. 3.48) при линейной скорости движения v равно

2

v

an =

Условие нахождения электрона на стационарной орбите запишется в виде равенства силы Кулона и силы инерции, так же как при рассмотрении планет, вращающихся вокруг Солнца, с той разницей, что гравитационная сила заменяется силой Кулона

Ze2

2

^              mev              =

mev Ze —e— = k——

r              r              r

Далее было записано уравнение для суммарной энергии электрона на орбите

Ze2

2r

2

W =              +              П(г ) = -

2

уравнение угловой скорости

v

га = -

r

и кинетического момента, направленного перпендикулярно плоскости движения электрона

L = mevr.

Таким образом, движение электрона описывалось пятью переменными |r,v,W, ra,L}, которые связаны четырьмя уравнениями. Если в качестве известной величины взять одну из этих переменных, то остальные можно выразить через неё. Предположим, что известной величиной является кинетический момент L, тогда

L°

r = -

Ze2me

Ze2

v = -

L

Z2e4me

га =-

L3

2L2

Далее Нильс Бор предположил, что кинетический момент не может принимать произвольных значений, а подчиняется правилу квантования Макса Планка, т.е.

L = nh,

где n = 1, 2, 3, .... да, поскольку с L связаны все остальные переменные, то они тоже становятся квантованными

c;

V mee /

2

4

4

V he /

2 Л

vn =-

Первое уравнение системы позволяет ближайшую к ядру атома орбиту охарактеризовать радиусом, который в системе СИ представится как

4пв Й2

aG =              А * 5,3 -10-11 м * 0,53A°,

ШєЄ

и называется Боровским радиусом. Энергетический масштаб оценивается постоянной Ридберга

4              2

Ry = -ШЄт = — = 13,6эВ.

4псй              2a0

В качестве энергии в 1 эВ принимается энергия электрона, прошедшего разность потенциалов в 1 вольт, 1эВ * 1,6 -10-19 Дж . Число n в квантовой механике называется главным квантовым числом.

Бор постулировал, что поглощение и излучение энергии электроном происходит скачкообразно, только при переходе из одной разрешённой орбиты на другую, причём скачкообразное перемещение с высокой орбиты Wn на ,более энергетически низкую орбиту Wn-1 сопровождается испусканием кванта энергии, т.е. фотона.

Естественно предположить, что таким же образом электрон меняет орбиту при поглощении кванта энергии. Причём падающий фотон должен иметь такую же величину энергии , чтобы она компенсировала разность энергий между двумя разрешёнными уровнями. Состояние электрона с n = 1 принято за основное, в котором не происходит излучения энергии.

Атомы веществ в естественном состоянии находятся в большинстве своём в стационарном состоянии. Чтобы подняться на более высокий энергетический уровень, электрон должен захватить подходящий фотон. Все состояния с n gt; 1 являются нестабильными.

Введя таким образом в ядерную модель атома Резерфорда квантовые представления, Нильс Бор сформулировал два постулата (два основных положения).

• Электроны могут находиться в атоме только на определённых орбитах, причём, несмотря на ускоренное движение, излучения электромагнитных волн не происходит.

nh

meVn =— .

2п

Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое (рис. 3.46)

n=3              hv = Wn-Wn_1.

Применив свои постулаты к простейшему атому водорода, Нильс Бор получил следующее условие стационарности орбит

1 ee = mev2 4пВ0 Гп2              Гп              '

Выразим из первого постулата скорость электрона

nh

2nmern

возведём её в квадрат и подставим в уравнение радиуса орбиты

h2So

(n = 1,2,3 k).

2

rn =n

2

7ТШеЄ

Как следует из уравнения радиусы разрешённых электронных орбит пропорциональны n2. Если уравнение разрешить для главного квантового числа n = 1, то получится Боровский радиус r1 « 5,28Т0 - 11 м. Если ядро атома считать неподвижным, то электрон на орбите можно описать следующими энергетическими соотношениями, выраженными в системе СИ

к = ШеП

2

8nS0rn

2

e

п=-

4nS0rn

2

e

W = к + п = -

8nS0rn

Минимальной энергией обладает электрон при n = 1. Энергия в произвольном разрешённом состоянии определится как

1

W =-ШеЄ

8h2s02 n2

В отличие от модели атома Резерфорда, постулаты Бора и записанные выше уравнения смогли объяснить линейчатые спектры атомов, в частотности атома водорода. Согласно второму постулату Бора излучаемый или поглощаемый квант энергии определяется условием

4 (

1 1

hv = W2 - W1 = -RR 2              1              8h2s2

2

V n1

/

Уравнение можно записать для частоты и длины волны

4

11

v = ¦

2

8hV

V n1

‘2 /

о

4 (

11

ШеЄ

8h2s0c V n°

2

J0~ V 1              2              /

Сомножитель последнего уравнения оказался совпадающим в первом приближении со значением постоянной Ридберга, полученной первоначально экспериментальным путём

4

R = ¦ ШеЄ

8h2s2c

что рассматривается, как одно из подтверждений справедливости квантовой модели атома Бора.

Теория водородоподобного атома Нильса Бора позволила объяснить его линейчатые спектры, обусловленные переходами электрона из одного стационарного состояния в другое, с меньшей энергией.

Каждая, регистрируемая экспериментально спектральная линия является свидетельством акта испускания фотона определённой длины волны, при переходе электрона на низший энергетический уровень

Сам Нильс Бор лучше других осознавал недостатки своей теории, как промежуточного звена между, планетарной моделью атома и квантовыми представле-

ниями. Необходимость в корректировке теории напрашивалась по многим причинам, основной из которых являлась корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного поля.

То, что свет в зависимости от обстоятельств эксперимента вёл себя то как волна, то как поток частиц, говорило о необходимости привлечения для объяснения это странности кванта действия Макса Планка.

Идея теоретического объединения частиц (корпускул) и волн принадлежала французскому физику Луи де Бройлю, который предположил, что движение электрона или другой частицы с массой покоя отличной от нуля по орбите, можно ото- ждествииь с волновым процессом.

Де Бройль провёл аналогию меду энергией кванта и импульсом частицы в = hv ^ p = h/ X, откуда длина волны де Бройля для электрона определяется как (рис. 3.47)

X = —.

mev

Согласно гипотезе де Бройля стационарными будут те орбиты электрона, на которых укладывается целое число волн

2nrn = nX.

Приписав частицам волновые свойства де Бройль объяснил такое необычное для классической физики явление как дифракция и интерференция электронов на узкой щели.

На рис. 3.48 показана качественная картина прохождения пучка электронов через две узкие щели. По классическим представлениям, если бы электроны были частицами, то на экране наблюдались бы два пятна, а реально электроны демонстрировали ярко выраженные волновые свойства.

Рис. 3.48. Дифракция электронов на двух щелях

1

2