Элементы квантовой механики

Несмотря на несомненные успехи электронной теории в совокупности с классической электродинамикой и классической механикой к концу XIX в. в физике обозначился ряд проблем, которые в рамках классических представлений не получили внятного объяснения.

• Удельные теплоёмкости при измерениях оказались ниже значений, предсказываемых молекулярно-кинетической теорией;
• Устойчивость атомов, которые не должны быть устойчивыми по причине непрерывного излучения электромагнитных волн вследствие ускоренного движения электронов по орбитам;
• Законы фотоэффекта не соответствовали представлениям электронной теории;
• Законы излучения абсолютно чёрного тела противоречили волновой классической теории;
• Явление радиоактивности не могло быть объяснено с позиций классической физики.

Излучение телами электромагнитных волн. Всем известно, что тела, нагретые до высоких температур, начинают излучать электромагнитные волны в видимом диапазоне длин волн. При относительно низких температурах некоторые вещества светятся при люминесценции или под влиянием падающих электронов.

При спектральных исследованиях было обнаружено, что излучаемые электромагнитные волны имеют разные амплитуды и длины волн, т.е. излучение имеет вполне определённый спектр. Напомним, что между частотой f, периодом Т, скоростью распространения с и длиной волны имеют место соотношения

f = -1; Х = cT; c = fX; ю = 2nf,

T

где с « 3 • 108 м/с - скорость света в вакууме. Видимый свет имеет длины волн в диапазоне от Хкр « 760 нм до Хфиол « 380 нм. На рис. 3.38 приведена шкала электромагнитного излучения для волн обнаруженных к настоящему времени.

Рис.

Как было показано ранее, спектры электромагнитного излучения могут быть сплошными и линейчатыми.

Сплошные спектры, в большинстве своём, излучаются веществами, находящимися в твёрдом или жидком состоянии, при относительно больших температурах. Сплошной спектр имеет место при резком торможении электронов у антикатода рентгеновских трубок.

Линейчатые спектры испускаются веществами в газообразном или парообразном состоянии, их можно обнаружить при относительно низких температурах.

Электронная классическая теория объясняет возникновение излучения колебаниями электронов под действием различных внешних причин, причём период колебаний представляется в соответствие с этой теорией уравнением

T—2“Ч

где me - масса электрона, b - коэффициент квазиупругой силы. Поскольку массы электронов в классической физике принимаются постоянными me « 1-10 - 30 кг, то разные длины испускаемых волн можно объяснить только различными значениями коэффициента b.

В иных линейчатых спектрах обнаружено до 105 отдельных спектральных линий, а в случае сплошных спектров, разговор о неком наборе значений b теряет всякий смысл. Если бы в конце XIX в. было бы известно строение атомов, то можно было бы в соответствие с особенностями строения атомов скорректировать теорию, но происходило всё наоборот. О строении атомов приходилось судить по спектрам, которые они испускали.

Рис. 3.39. Модель абсолютно-чёрного тела

Первые затруднения классической теории начались при объяснении излучения абсолютно-чёрного тела. На рис. 3.39 приведен внешний вид одного из вариантов такого тела.

Массивная сфера с толстыми теплоизолированными стенками имеет малое отверстие. Если в это отверстие направить луч света, то он многократно отразившись от внутренней поверхности наружу не выйдет.

Если внутрь сферы поместить небольшое раскалённое тело, то его излучение будет происходить только через отверстие. В соответствие с законом Кирхгофа спектр излучения должен совпадать со спектром испускания.

Таким образом, свечение тела, находящегося внутри сферы должно определяться только температурой. В модели приведенной на рис. 3.39 электрическим током нагревается тонкий слой внутренней поверхности, излучение выходит за пределы сферы только через отверстие. Первые опыты по изучению спектра абсолютно-чёрного тела были проведены Луммером и Прингсгеймом, получился довольно обескураживающий результат.

Проведенные спектроскопические исследования позволили установить следующие закономерности излучения:

• Спектр излучения абсолютно черного тела является сплошным, т.е. в спектре представлен непрерывный ряд различных длин волн;
• Распределение энергии в спектре излучения зависит от длины волны. С увеличением длины волны спектральная плотность энергии увеличивается, достигает отчетливо выраженного максимума при некоторой длине волны Xmax а затем уменьшается;

• С повышением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн.

Принято считать, что теоретические исследования теплового излучения начались работами Кирхгофа в 1859 г. после открытия им закона теплового излучения. Именно Кирхгоф предложил концепцию абсолютно-чёрного тела и описал его модель. Оказалось, что тепловое излучение является наиболее распространённым видом электромагнитных волн.

Тепловое излучение является следствием уменьшения внутренней энергии тела и наблюдается при любой температуре отличной от 0 0К. Следуя закону сохранения энергии, тепловое излучение должно приводить к уменьшению внутренней энергии, т.е. к охлаждению излучающего тела, если к нему не подводится энергия извне.

При поглощении телом электромагнитных волн его внутренняя энергия возрастает, что приводит к увеличению температуры. Постоянное испускание и поглощение электромагнитной энергии приводит к тому, что устанавливается динамическое равновесие между двумя этими процессами.

Излучение удобно характеризовать его энергией W и потоком излучения Фе, который определяется энергией, излучаемый за единицу времени

^ w

Ф e =— ,

т

Чтобы сравнивать излучающие способности тел различной площади вводят понятие энергетической светимости Re, которая определяется как отношение потока излучения к площади излучающей поверхности

' Вт"

Ф

Re =—, s

Приведенные выше характеристики являются по сути своей интегральными, по ним невозможно судить о спектральном составе излучения. В этой связи, в рассмотрение вводится ещё одна величина - спектральная плотность энергетической светимости rX или гш, которую иногда называют лучеиспускательной способностью. Спектральная плотность представляет собой отношение энергетической светимости dR к ширине волнового или частотного диапазона

dRe

Г =              —

X,T              dX              .

Энергетическая светимость в таком случае может быть определена интегралом

со

R. = r

j rx,TdX .

0

Из повседневного опыта известно, что если нагревать твердое тело, то оно вначале краснеет, а с повышением температуры свечение тела становится все более белым. Это свидетельствует о том, что максимум интенсивности теплового излучения по мере повышения температуры тела смещается к фиолетовому концу спектра, т.е. к его коротковолновой части. Длина волны Xmax в спектре излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, определяется законом смещения Вина:

X = -

max т ^

где постоянная Вина b = 2,9-10 - 3 м-К.

Австрийский физик И. Стефан, анализировавший полученные экспериментальные данные, и Л. Больцман, исходивший из общих термодинамических соображений, установили зависимость энергетической светимости черного тела от температуры. Согласно закону Стефана - Болъцмана.

тс

Re =j rxdX = стТ4,

0

т.е. энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры.

Введём далее пространственную характеристику излучения - плотность энергии излучения, т.е. количество излучённой телом энергии в единице объёма [40]

u = j и Дга = j u xdX,

где величины u Mdra и u XdX являются объёмной плотностью энергии, приходящейся на интервал циклических частот от га до га + dra или диапазон длин волн от X до X + dX, величины ura и uX называются спектральными плотностями лучистой энергии. Если анализу подлежит один и тот же диапазон излучения, то u XdX = u radra .

X              га

Так как

2пс

X=

га

то

dX = dra X га

знак минус, в данном случае, означает, что с ростом частоты длина волны уменьшается. Считая величины dX и dlt;a положительными можно записать следующие соотношения

га              X

uX = — u„; uга = — uX.

X г. га * га              X

X              га

Исторически так сложилось, что теоретики имеют обыкновение пользоваться величиной ult;o, а экспериментаторы предпочитают - uX, что, в общем-то, на суть рассматриваемых вопросов влияния не оказывает. Основной задачей теории теплового излучения являлось определение зависимости величины плотности энергии излучения от частоты или длины волны при различных температурах.

Теоретическое определение функции u га(га,Т) в рамках классической волновой теории было выполнено в 1900 г. лордом Рэлеем, а затем развито Джинсом. Эти знаменитые волновики применили к излучению абсолютно-чёрного тела теорему классической статистической механики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. На каждую степень свободы, в соответствие с этой теоремой, приходится в среднем кинетическая энергия

amp; = ¦2kBT,

где kB « 1,4-10 - 23 Дж/К - постоянная Больцмана. Если рассматриваются колебательные степени свободы, то необходимо учитывать и потенциальную энергию, обусловленную действием квазиупругой силы.

amp; = квт.

Таким образом в классическом представлении задача об излучении сводилась к определению функции иа(А,Т) или ию(ю,Т), что было возможным при правильном определении числа степеней свободы колеблющихся электронов.

Формула Рэлея - Джинса, полученная на основании волновых представлений, имела вид

u а =

квТ

п2с3

j A2dA = да.

Вид функции иА показан на рис. 3.40 пунктирной линией.

По теории знаменитых специалистов в волновой механике получалось, что тепловое равновесие между веществом и излучением невозможно.

Приравнивание в возможностях всех степеней свободы приводило к тому, что вся энергия излучения абсолютночёрного тела должна была концентрироваться в ультрафиолетовом диапазоне длин волн.

Эренфест это назвал ультрафиолетовой катастрофой.

Дело в том что по теории Рэ- Рис. 3.40. Спектр излучения абсолютно-чёрного тела

лея - Джинса излучение в полости имеет бесконечное число степеней свободы, а вещество вполне конечное.

Рис. 3.41. Макс Планк

Спектроскопические экспериментальные исследования излучения абсолютночёрного тела выявили совершенно отличные от теоретического вида функции и (A,T), на рис. 3.40 они показаны сплошными цветными линиями, соответствующими различным температурам излучающего тела от Т = 3500 0К до Т = 5500 0К. Почувствуйте, как говорится, разницу между правдивым экспериментом и надуманной теорией.

Когда задачу об излучении абсолютно чёрного тела поручили решать юному Максу Планку, желавшему попробовать свои силы в теоретической физике, то он тоже решил применить теорему об энергетической равнозначности степеней свободы.

Но Планк был более математик, чем физик и по первости решил поступить бесхитростно, чисто по студенчески. Он проанализировал поведение простейшего гармонического осциллятора, квазиупруго связанного с ядром электрона, находящегося в полости с равновесным излучением.

При действии хаотически меняющегося электромагнитного поля электрон должен совершать колебания с хаотически меняющимися амплитудами и фазами, излучая и поглощая энергию электромагнитных волн.

Энергия такого осциллятора тоже должна совершать беспорядочные флуктуации вокруг среднего значения lt; в gt; . У Планка получилось уравнение, идеологически совпадающее с формулой Рэлея - Джинса

•ю

lt; в gt; 2

У =

п2с3

Убедившись в бесперспективности традиционных подходов, Планк, не заботясь о физическом смысле, начал подгонять формулу излучения под данные эксперимента. Получились уравнения для классической физики довольно странноватого вида

Йю3              1

и ю =

(

п2с3

-1

exp

Йю

кД

1

8nhc

и, =-

А5

-1

exp

hc

AkBT

Странность этого уравнение заключалась в том, что оно содержало некую постоянную величину Й = h/2n« 1-10-34 Дж - с , (h « 6,6-10 - 34 Дж-с). Это означало, что обычный гармонический осциллятор мог излучать энергию только порциями.

Позже Планк нашёл теоретическое обоснование своему уравнению. Он высказал гипотезу о том, что электромагнитная энергия излучается и поглощается не непрерывно, а порциями, названными квантами.

Согласно этой гипотезе энергия гармонического осциллятора могла принимать только фиксированные значения, отличающиеся на величину

Bf = hf = hv .

где h « 6,6-10 - Дж-с - постоянная Планка, f, v - частота. Таким образом, обмен энергией резонирующего электрона происходит порциями lt;в gt;= nhv , т.е. квантовыми скачками. Такое смелое утверждение требовало совершенно по новому объяснить связь между излучаемой энергией и колебаниями осциллятора, в частности электрона на резерфордовской орбите.

Возможны два варианта. Во-первых, можно предположить, что резонатор во время колебаний вообще не излучает энергии, а только в некоторый момент времени генерирует электромагнитную волну частотой v, в этом случае закон сохранения энергии для излучающих атомных структур не исполняется, во-вторых, можно допустить что существуют определённые уровни энергии (разрешённые уровни) на которых может присутствовать электрон и при перескоках с одного энергетического уровня на другой происходит излучение энергии. Вторая точка зрения оказалась прагматичней и в дальнейшем она нашла теоретическое обоснование и экспериментальное подтверждение.

Квантовую гипотезу Планка к фотоэффекту, открытому в 1872 г. русским физиком Александром Григорьевичем Столетовым, применил Генрих Герц.

В его экспериментах свет наддал на цезиевый металлический катод (рис. 3.43), помещённый в откачанную стеклянную колбу с кварцевым окном. При падении на катод света в цепи начинал протекать ток, законы изменения которого и подлежали исследованию.              Рис. 3.42. А.Г. Столетов

Герц, следом за Столетовым, установил, что

Рис. 3.43. Установка для исследования фотоэффекта

интенсивность света влияет лишь на количество вылетающих электронов, а их скорость, вопреки здравому классическому смыслу, зависит исключительно от частоты падающего света. Герц справедливо предположил, что кинетическая энергия вылетающего электрона равна

W = ^ = h~.

2

Таким образом, при фотоэффекте изменение энергии атомной системы связано с частотой падающей световой волны соотношением h~ = W1 - W2.

Альберт Эйнштейн, ознакомившись с работами Герца, оформил полученные им результаты в виде закона своего имени

+ A.

hv = mA

2

где А - работа выхода электрона из металла.

Процессы перехода электрона из одного состояния в другое при излучении и поглощении энергии теоретически проанализировал Нильс Бор. Бор ввёл в рассмотрение, так называемое, условие частот, которое разрешало атому излучать или поглощать энергию только в определённом квантовом состоянии. Применяя условие частот к гармоническому осциллятору можно видеть, что при их переходе из одного энергетического состояния W1 = n1hv в состояние, в другое с энерги- можно записать AW = (n1 - n2 )hv .

ей W2 = n2hv

Рис. 3.44. Нильс Бор

Изменение энергии с частотой в этом случае по Бору записывается следующим уравнением

hv = (n1 - n2 )hv .

Трактовка последней формулы с позиций классической волновой теории, когда излучаемая частота совпадает с частотой собственных колебаний осциллятора, приводит к результату

n1 - n2 = 1,

или в противном случае необходимо предположить, что излучаемая частота отличается от собственной частоты рассматриваемой колебательной системы, в этом случае излучение не монохроматично. Для устранения этого противоречия теоретикам квантовых представлениий пришлось ввести принцип соответствия, регулирующий частоту переходов между состояниями.

Величину постоянной Планка экспериментально определил Роберт Милликен.