Случай 1 - фиксированные объемы работ, любой агент может выполнять любое количество работ.
x..
Фг, Гг) = X Гг ф(-7), i 6 N,
jgM
где ф(-) - возрастающая выпуклая гладкая функция, равная нулю в нуле.
Предположим, что любой агент может выполнить любой неотрицательный объем работ каждого вида (ограниченность «производственных» возможностей агентов в модели учитывается ростом предельных издержек с увеличением объемов работ). Тогда, решая методом множителей Лагранжа следующую задачу:n m x
XXr„ф(—) ® min,
(6)
? U V {Xj
?хг] = Rj j 6M,
i=1
получим оптимальное распределение объемов работ между агентами:
* R1
x*(r, R) = r/ ——, i е N, j e M.
n H1
Суммарные затраты агентов (команды в целом) по выполнению вектора R объемов работ равны:
Rj
Q(r, R) = n ?H1 j(——).
ieM nHJ
Проанализируем выражения (7) и (8).
Во-первых, силу специфики выбранного вида функций затрат
команда может рассматриваться как единое целое - один агент с
Xj
функцией затрат с(х) = ? nH1 ф( ) и с вектором типов, ком-
jeM nH1
поненты которого равны суммарной эффективности команды по выполнению соответствующего вида работ. Из данного свойства оптимального решения вытекает важный содержательный вывод - в рассматриваемом случае при фиксированных средних квалификациях (3) команды не важно, какими конкретными квалификациями обладает тот или иной агент (то есть, характеристики (1), (2) и (4) не столь существенны). Другими словами, при фиксированной (для каждой из функций) суммарной квалификации две команды - одна, в которой один агент имеет высокую квалификацию, а остальные - нулевую, и вторая, в которой все агенты обладают одинаковыми квалификациями - равноценны с точки зрения минимальных суммарных затрат.
Необходимо подчеркнуть, что данный вывод справедлив в предположении, что не рассматриваются затраты на привлечение и удержание агентов в команде, а эти затраты для каждого агента, очевидно, тем выше, чем выше его квалификация (1) - см.
ниже обсуждение проблем формирования неоднородных команд.Во-вторых, затраты команды (8), естественно, монотонны по объемам выполняемых работ. Кроме того, в силу выпуклости функции ф(-) они убывают с ростом средней квалификации (3) команды по любой из функций.
В-третьих, можно ставить и решать задачу нахождения оптимального (в смысле минимума затрат (8)) распределения квалифи-
каций агентов, например, при заданной средней квалификации команды (2):
Rj
XH1 фС-^т-) ® j ,
ТбМ nH1 H-0}
- X H1 = r.
m j6M
Решение задачи (9)-( 10) имеет вид: R1
H = m r ——, j 6 М.
XR
кбМ
Содержательно выражение (11) означает, что при фиксированной средней квалификации оптимальна та команда, в которой выше квалификация агентов, выполняющих (при оптимальном распределении функций) наибольший объем работ. Другими словами, чем больше предстоящий объем работ того или иного вида, тем выше должна быть квалификация занятых на этих работах членов команды.
Сформулируем сделанные выводы в виде следующего утверждения.
Утверждение 4.1. При условии, что в неоднородной команде фиксированы объемы работ, а любой агент может выполнять любое количество различных работ:
а) оптимальное распределение объемов работ между агентами определяется выражением (7);
б) при фиксированной (для каждой из функций) суммарной квалификации распределение агентов по квалификациям несущественно;
в) при фиксированной средней квалификации оптимальна команда с квалификациями агентов, удовлетворяющих выражению (11).
Имея решение (7)-(8) задачи об оптимальном распределении работ в неоднородной команде, можно решать и задачу формирования ее состава. Пусть при фиксированном множестве претендентов известны затраты S(r) на привлечение и удержание состава команды квалификации r. Тогда можно формулировать в той или иной постановке (см. раздел 2.1) задачу нахождения состава, минимизирующего сумму затрат S(r) + Ci(r, R) на формирование и
79
функционирование команды, которой предстоит реализовывать объем работ R.
Выше предполагалось, что при фиксированных объемах работ (функций) каждый агент мог реализовывать одновременно несколько функций. Иногда (в силу технологических ограничений или существующих затрат на координацию деятельности агентов [67, 72]) требуется, чтобы разделение функций между агентами было более жестким, например, можно потребовать, чтобы каждый агент выполнял не более одной работы, и наоборот - чтобы одну работу выполнял только один агент (см. задачу о назначении в разделе 2.1). Рассмотрим соответствующую модель.