Определение 3.
Рис. 1.1.
На рис. 1.1 приведен пример комплекса, имеющего размерность 3.
Множество состояний комплекса размерности m можно изобразить в виде некоторой области m-мерного фазового пространства. Для этого определим множество М путей, покрывающих сеть, то есть таких, что каждая вершина сети принадлежит хотя бы одному пути. Как известно, минимальное число таких путей равно размерности комплекса [3]. Обозначим Qi - множество вершин сетевого графика, принадлежащих пути (если вершина принадлежит нескольким путям, то оставляем ее только в одном из множеств Qi). Пути выделены на рис. 1.1 толстыми дугами. Поставим в соответствие каждому пути m координатную ось у1 фазового пространства, а последовательности вершин k е последовательность отрезков длины Wk на оси у1 (рис. 1.2). Точка 0 соответствует начальному состоянию комплекса (ни одна операция не начата), а точка А - конечному состоянию (все операции завершены). Чтобы отобразить зависимости между операциями различных путей, «вырежем» из параллелограмма на рис. 1.2 соответствующие области. Полученная область полностью описывает множество возможных состояний комплекса. Любому процессу выполнения операций соответствует траектория, соединяющая т.0 с т. А и проходящая в области возможных состояний.Определим расстояние между любыми двумя точками yj и у2 следующим образом:
В [3] показано, что эквивалентный объем комплекса операций равен длине кратчайшей траектории, соединяющей т.0 с т.
А.Опишем алгоритм определения кратчайшей траектории, использующий геометрическую аналогию.
Рис. 1.2.
Проводим прямую, соединяющую т.0 с т. А. Эту прямую можно описать параметрически в виде
y1(t)=t-H1,
где Hi = X Wk (см. рис. 1.2). Определяем минимальное t, начиная с
kemi
которого прямая выходит за пределы области возможных состояний. Геометрически это означает, что кратчайшая траектория должна проходить через отрезок ВС на рис. 1.2. Как известно, в этом случае треугольники OBD и ACD должны быть подобными. Это позволяет определить координаты точки D на рис. 1.2 или, соответственно, фронт работ F на рис. 1.1.
Далее процедура повторяется. Определяем минимальное t, начиная с которого траектория выходит за пределы области возможных состоянии, далее определяем соответствующую точку на границе области (из условия подобия треугольников) и т.д., пока не получим траекторию, состоящую из отрезков прямых, целиком лежащую в области возможных состояний.
На втором этапе происходит корректировка полученной траектории. А именно, рассматриваем три последовательных точки излома траектории и корректируем, если это необходимо, положение средней точки из условия подобия треугольников.
Пример 1.5. Рассмотрим комплекс из 5 операций (рис. 1.3, нижние числа в вершинах равны объемам операций). Пусть а = '/z, то
есть fi(ui)= ^/u", i = 1,5 .
Рис. 1.3.
Задачу определения кратчайшей траектории удобно решать в параллельной системе координат (рис.
1.4). В этой системе любой точке фазового пространства состояний соответствует фронт F, то есть линия, проходящая через соответствующие координаты этой точки на параллельных координатных осях уь у2 и у3. Из рис. 1.4. видно, что кратчайшая траектория обязательно пройдет через фронты Fj и F2, причем между фронтами траектория будет отрезками прямой линии.Рассмотрим три последовательных фронта Fro Fj и F2. Из условия подобия треугольников имеем уравнение
25
x
(1.3.5)
Рис. 1.4.
Рассматривая три последовательных фронта Fb F2 и FK, получаем аналогично
z 25
(1.3.6)
24 - z > + (24 - x)2 '
Получили систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными.
Ее решение можно получить на основе итерационного алгоритма.
Берем начальное значение x и из уравнения (1.3.6) определяем z0. На
основе z0 определяем х1 из уравнения (1.3.5), затем z1 и т.д. Для
определения начального значения x0 рассматриваем три фронта - F0, Fj
и Fk. Имеем из условия подобия треугольников
x _ 25
49 - x _ V242 + 9 . Из этого уравнения находим x0:
25 • 49
xo _¦
25 W32 + 242
Рис. 1.5.
Изображение комплекса операций в параллельной системе координат позволяет в ряде случаев выписать выражение для эквивалентного объема в аналитическом виде.
На рис. 1.5 представлен комплекс из 8 операций размерности 3. При этом объемы операций на каждой координатной оси уi умножены на нормирующий множитель аь так что фронты F0 и Fk являются параллельными прямыми. Пунктирные стрелки на рис. 1.5 показывают зависимости между операциями, принадлежащими различным координатным осям. Пусть все пунктирные стрелки имеют направление слева направо, то есть начало дуги лежит левее ее конца. В этом случае прямая линия, соединяющая начальный фронт с конечным, является допустимой траекторией, и поэтому эквивалентный объем равенW = (ЁН^ j = [(Wj + W2 + W3 )Уа + (W4 + W5 + W6 + (W7 + W8 )Уа