1.5 Математические модели динамики развития популяций микроорганизмов

При производстве мясных сырокопчёных продуктов на их качество и на производительность технологических установок существенное влияние оказывают микробиологические процессы, протекающие на различных этапах технологической обработки сырья.

Обычно, при математическом моделировании микробиологических сообществ задача состоит в том, чтобы получить обоснованный прогноз кинетики микробиоценоза, зная его состав и соотношение его компонентов. При этом делаются различные исходные предположения и преследуются соответствующие цели при изучении моделей, которые А.А. Ляпунов (1972) сформировал следующим образом:

A.              Биологические характеристики компонентов считаются неизменны-

ми, так же как и взаимоотношения между ними. Микробиоценоз считается

однородным в пространстве. Изучаются изменения во времени численности

(биомассы) компонентов, входящих в состав микробиоценоза.

Б. При сохранении гипотезы однородности вводится предположение о закономерном изменении системы отношений между компонентами. Это может соответствовать либо закономерному изменению внешних условий, либо заданному характеру эволюции популяций, образующих микробиоценоз. При этом по-прежнему изучается кинетика численности компонентов.

Аппаратом для изучения этих двух классов задач служат системы обыкновенных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений с постоянными (А) и переменными (Б) коэффициентами.

B.              Объекты, составляющие микробиоценоз, считаются разнородными

по своим свойствам и подвержены действию отбора.

эволюция форм определяется условиями существования микробиоценоза. В

этих условиях изучается, с одной стороны, кинетика численности компонен-

тов, с другой - дрейф характеристик популяций, образующих данный микро-

биоценоз. При решении таких задач используют аппарат теории вероятно-

стей. К этой группе относятся многие задачи популяционной генетики.

Г. Возможен отказ от территориальной однородности микробиоценоза и учёт зависимости усреднённых концентраций от координат. Здесь возникают вопросы, связанные с пространственным перераспределением составляющих микробиоценоза, как живых, так и косных. Для описания таких систем необходимо привлечение аппарата дифференциальных уравнений в частных производных.

Известно, что начало применения математических методов для описания развития микробных популяций было положено Жаком Моно в 1942 году [3, 119]. Модель периодического культивирования микроорганизмов для узкого места реакционной цепи преобразования субстрата имеет вид:

дХ              S    v

dr     т S + Ks

dr      HmS + Ks

где X, S - концентрация биомассы и лимитирующего субстрата соответственно;

fim — максимальная скорость роста микроорганизмов; Ks — коэффициент насыщения; а — константа.

В работе [42] учет влияния среды и взаимовлияния клеток вследствие недостатка питательных веществ и ингибирования продуктами метаболизма представлено логистическим уравнением Ферхюльста:

где   Х~ плотность популяции;

е - коэффициент скорости роста клеток при отсутствии взаимовлияния;

Р - коэффициент взаимовлияния и ингибирования клеток продуктами метаболизма.

Существенную роль в кинетике роста биомассы клеток играют ингибиторы, в том числе и продукты метаболизма микробных клеток. Модели с учётом ингибирования продуктами метаболизма были предложены Иерусалимским Н.Д.

Математические модели развития популяций часто представляют в виде уравнений материального баланса.

Модель микробиологической системы периодического действия можно представить в виде следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений [14].

' dX

= qPX

dt

где X, S, P - концентрации биомассы, субстрата и продукта метаболизма соответственно;

М^Яя^Яр- удельные скорости роста биомассы, потребления субстрата и образования продукта метаболизма соответственно;

В общем случае коэффициенты №-gt;4sgt;9p в системе (4) представляют собой некоторые функции, значения которых в заданный момент времени зависят от состояния среды, свойств микроорганизмов и внешних воздействий, оказываемых на систему. Ряд зависимостей, нашедших широкое применение на практике [14, 31, 38, 39, 94, 102, 117, 123], представлен в табл. 1.

Таблица 1. Уравнения, применяемые при моделировании развития популяций.

№     |              Уравнение              [              Описание

В табл.

рость роста биомассы; ks^kP7kXiy,a,b. коэффициенты, определяемые в ходе проведения экспериментальных исследований;

В силу инерционности биологических процессов при моделировании таких систем часто применяют уравнения с временным запаздыванием (временным лагом) [80]. Ниже представлена модель развития одной изолирован

ной популяции, построенная на основе системы (4), с учётом лимитирования субстратом, бактериостатического и бактерицидного действия продуктов метаболизма,    временного   лага   их   образования   и    внутривидовой

конкуренции:

dX

fjXS

dt (S + ks)(\ + kpP)

dS _              gsXS

bpPX-bX'

dt      (S + ks)(\ + kpP) dP =        q^jt-t^Sjt-t^ [dt    (S(t-tt) + ks )(1 + kpP(t - tj))

(17)

где   X, S, P — концентрации биомассы, субстрата и продукта метаболизма соответственно;

Mitysitfp- максимальные удельные скорости роста биомассы, потребления субстрата и образования продукта метаболизма соответственно;

к$-gt;кр,Ьр,Ь _ коэффициенты, получаемые экспериментально;

t      - время;

t,

временной лаг образования продукта метаболизма;

Интегральные кривые частного решения системы (17) представленные на рис. 7, объективно отражают экспериментальные данные по динамике развития микроорганизмов в чистой культуре.

В процессе созревания мясных изделий в структуре продукта взаимодействуют различные виды микроорганизмов, каждый из которых вносит свой вклад в качественные показатели готового продукта.

Системы, называемые в литературе моделями Вольтерра, состоят из нескольких видов. В отдельных случаях рассматривается также запас пищи, который используют некоторые из видов.

1. Пища либо имеется в неограниченном количестве, либо её поступление с течением времени жёстко регламентировано.
2. Особи каждого вида отмирают так, что в единицу времени погибает постоянная доля существующих особей.
3. Хищные виды поедают жертвы, причём в единицу времени количество съеденных жертв всегда пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т. е. произведению количества хищников на количество жертв.
4. Если имеется пища в ограниченном количестве и несколько видов, которые способны её потреблять, то доля пищи, потребляемая каждым

1

видом в единицу времени, пропорциональна количеству особей этого вида, взятому с некоторым коэффициентом, зависящим от вида (модели межвидовой конкуренции).

5. Если вид питается пищей, имеющейся в неограниченном количестве, прирост численности вида за единицу времени пропорционален численности вида.
6. Если вид питается пищей, имеющейся в ограниченном количестве, то его размножение регулируется скоростью потребления пищи, т. е. за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи.

Математическая модель взаимодействия популяций типа «хищник -жертва» носит имя Вольтерра - Лотки [22] и для двух конкурирующих видов имеет вид:

V

dt

f

Л

(18)

1-

= Ј1N2

dN, dr

J

"2              2

В модели (18) первые члены представляют размножение видов, вторые - конкурентную борьбу и третьи — самоограничение. Различное соотношение коэффициентов е и у дают исход конкурентной борьбы. Так, например, перУ     У 1

вый вид полностью вытесняет второй при условии — lt; —, при изменении

У\ 1    У

знака — gt; —— гибнет первый вид.

больше чем коэффициенты самоограничения, то выживает только один вид, какой именно зависит от начальных условий.

Взаимодействие «хищник - жертва» в работе [16] представлено в виде модели взаимодействия по цепочке «глюкоза - бактерии - простейшие»:

где Xj, X2 ~ концентрадии биомассы простейших и бактерий; S — концентрация лимитирующего субстрата; «»t*mi, Mmh кХ2, кх - коэффициенты. В работе [32] представлена обобщенная модель динамики взаимодействия  популяций, учитывающая возможные  варианты  взаимодействия популяций в процессах производства кисломолочной продукции:

где   X, Y- плотности популяций; S— концентрация субстрата;

Pxgt; Py — концентрации продуктов метаболизма популяций X, Y соответственно;

к\— коэффициенты, определяемые экспериментально, I—1..17. Варьируя коэффициентами kh в определённом экспериментальным методом диапазоне, можно получить модели, описывающие динамику измене-

1

ния основных параметров при различных вариантах взаимодействия популяций микрофлоры.

Микробиологические и биохимические процессы в ферментированном мясном изделии в процессе его обработки могут быть представлены в виде совокупности экспериментальных данных. На основе этих данных можно построить стохастические математические модели. В таких моделях связь между параметрами определяется с заданной вероятностью методами дисперсионного, регрессионного и корреляционного анализов. Методы построения стохастических моделей по результатам наблюдений в биотехнологии подробно описаны многими авторами [37, 70, 85, 122, 124].

В работе [121] разработана стохастическая модель прогнозирования стойкости и степени патогенности микроорганизмов, на основе которых предложены новые технологические способы их инактивации.

Многофакторный статистический анализ использован в работе [109] для оценки качества продуктов по данным органолептических и инструментальных исследований. Показана роль такого регрессионного анализа при составлении моделей связывающих группы органолептических и инструментальных показателей качества.

В результате регрессионного анализа экспериментальных данных авторами работы [52] получены уравнения регрессии кривой роста Bifidobacterum bifidum 791 с параметрами: Утах - кривая роста, tnai - время лаг фазы, 1дог -время логарифмической фазы, Vmax - максимальная скорость роста, gminx -минимальное время генерации.

gt;тах = 0.377 + 0.457Х2 -0.000067Х2

max              J-              1

**» = 4.932- 0.310Х2+0.00083

lt;гло, =8.822-0.0019ЛГ,2

Утж = 0.0274 + 0.0028^              lt;21gt;

gmin, = 13.871-0.262^

где X] - фактор содержания сухой питательной среды, основы Бакто-фак-МП;

X2 - фактор содержания поваренной соли.

В эксперименте фактор Xi варьировался от 14 до 30 г/л, фактор Х2 варьировался от 3 до 5 г/л, кроме варьируемых факторов в состав питательной среды входили: лактоза, агар-агар, аминный азот при рН 7,1. В случаях, когда факторы, входящие в математическую модель, носили качественный характер, для обработки экспериментальных данных по каждому параметру применялся дисперсионный анализ.

В работе [61] кривая роста микроорганизмов представлена в виде кусочно-линейной модели:

У

тшп

Лш.» ecnutlt;t у . +tyma*~ymbn)(t-t . \ ecnut . lt;tlt;t

/mm       Л              Л V       mm/'              mm              max

(/max -W              (22)

v   , если t lt;t

max

Построение модели заключается в нахождении четырех параметров кривой роста: - длительность лог фазы, ymin ~ количество микроорганизмов в периоде лог фазы, - длительность суммы лаг и лог фазы, утах - максимальная численность микроорганизмов. Для нахождения параметров модели использованы численные методы.

Стохастические модели, представленные в виде графических зависимостей, получены в работе [133], где исследовалось влияние термической обработка продукта на летальность микрофлоры. С помощью компьютера установлены величины отклонений в различных диапазонах тепловых характеристик консервированного продукта.

Авторами работы [134] предложена стохастическая кинетическая модель, объясняющая динамику снижения моноклональных антител гибридными клетками при изменении концентрации питательных компонентов: глюкозы, глубамина, сыворотки.

g = (а + J3kd )П-^П     *'      (Д + ехР(~ AAt))   (23)

где Ci, Cj — концентрация стимулирующих и ингибирующих компонентов или факторов, при индексах: i — стимулирующие факторы, j - ингиби-рующие факторы;

к-а kj — константы;

a, fi,A,B- коэффициенты;

At = (t—tf) — период времени культивирования.

Коэффициенты модели найдены из регрессионного анализа экспериментальных данных. Полученные графические зависимости экспериментальных и модельных данных показывают хорошую сходимость результатов.

В работе [49] на основе экспериментальных исследований составлена модель, характеризующая влияние углеводсодержащего компонента на изменение влаги в сырокопченых колбасах при осадке, копчении и сушке. Эксперименты проводились по ортогональному, симметричному плану с тремя управляемыми факторами при их варьировании на трех уровнях.

Формальная математическая модель, позволяющая оптимизировать время производства сырокопченой колбасы «Октябрьская» с учетом количества вносимых штаммов бактериальных культур стартовой закваски в фарш для обеспечения стандартных значения рНк, WK, NK готового продукта разработана Хорольским В.В. [95]. В модели количество вводимых штаммов принято за xi, X2, Хз, Х4, установлены границы их изменения. Для обеспечения необходимых качественных показателей накладываются ограничения на функции: рНк (хь х2, х3, х», рНн) = 5,4; WK (хь х2, х3, Х4, WH) lt; 31%; (свободный азот) NPK (хь х2, х3, Х4, NPH) gt; 40%. Из этой области функций выбирались решения, минимизирующие время созревания колбас т(Х], Хг, Хз, х+). Указан

ные функции получены на основе экспериментальных данных с применением методов регрессионного анализа.

В стартовых заквасках, используемых при производстве сырокопченых мясных изделий, как правило, присутствует два или более видов микроорганизмов. Сырье и компоненты, предусмотренные рецептурой, также содержат различные виды микробных клеток. Следовательно, при выборе моделей, адекватно описывающих процесс роста и развития микроорганизмов при созревании, наиболее предпочтительными являются динамические модели взаимодействия популяций микроорганизмов. Однако анализ существующих моделей показал, что они не позволяют с необходимой степенью адекватности описать всевозможные варианты взаимодействия популяций в рамках микробиоценоза, имеющие место в биотехнологических процессах производства сырокопчёных мясных изделий.