Упругие характеристики отдельного конечного элемента

Исследуем упругие характеристики одного стержневого конечного элемен­та, полученного по разработанной уточненной геометрически нелинейной ма­тематической модели. Пусть элемент - тонкий упругий стержень прямоуголь­ного сечения длиной 1 м, закрепленный с обоих концов.

На рис. 2.6 показаны графики зависимостей компонент вектора узловых сил упругой реакции стержня от узловых перемещений. Графики построены в паке­те «Mathematica»по выражениям для компонент вектора {f_r},полученным аналитическим интегрированием (2.45) по длине стержневого элемента для за­крепления «заделка-заделка» во всех плоскостях. Для сравнения на первых

двух графиках приведены зависимости, полученные по линейной теории.

Графики показывают, что линейная теория дает хорошее приближение лишь при относительных перемещениях менее 0.01 от длины стержня. При увеличении относительных перемещений нелинейная жесткость начинает зна­чительно преобладать над линейной. Это особенно заметно в плоскости изгиба стержня с меньшим изгибным моментом сопротивления (в направлении пере­мещения v). Третий график показывает особенность разработанной уточненной

модели - появление осевой силы реакции при кручении элемента.

Рис. 2.6. Графики зависимости узловых реакций в стержневом элементе от указанных узловых перемещений

Разработанная уточненная геометрически нелинейная модель позволяет учитывать взаимовлияние пространственного изгиба стержня и его круче­ния. Для исследования данной упругой характеристики изогнем конечный эле­мент в пространстве за счет одновременного поворота одного из узлов вокруг осей у и zлокальной системы координат элемента. При этом будем отслежи­вать величину реакции - момента в плоскости кручения элемента. Зависимость крутящего момента от поворотов узла стержня во взаимно перпендикулярных плоскостях показана в виде поверхности на рис. 2.7 в различных проекциях.

Поверхность на рис. 2.7 имеет вид параболоида, образованного двумя пря­мыми, скользящими перпендикулярно координатным осям. Графики на рис. 2.7 показывают, что крутящий момент возникает лишь в случае одновременного изгиба в перпендикулярных плоскостях (поверхность проходит через обе коор­динатные оси). В отличии от ранее предложенных моделей [65, 163, 210, 326], данная математическая модель позволяет рассматривать задачи потери устойчивости из плоскости действия изгибающего момента.

Рис. 2.7. Зависимость момента-реакции в плоскости кручения стержня от

поворотов узла элемента во взаимно перпендикулярных плоскостях

2.3.2.