Учет нелинейной зависимости сил инерции от перемещений в методах прямого численного интегрирования

Силы инерции и демпфирования при движении геометрически нелинейных систем также могут являться нелинейными функциями перемещений системы. В случае стержневой системы, большие перемещения и повороты узлов ведут к изменению ориентации стержней, что приводит к изменению матрицы инерции системы в целом.

Следует признать, что точный учет сил демпфирования в рассматриваемых системах (особенно при наличии в них эффектов неустойчивости) представляет собой очень сложную задачу, до сих пор недостаточно освещенную в литерату­ре и требующую экспериментальных исследований. Опыт показывает, что в рассматриваемых упругих стержневых системах влияние сил демпфирования незначительно, по сравнению с упругими и инерционными силами, поэтому, в данном разделе будем пренебрегать нелинейностью сил демпфирования, учи­тывая только нелинейность сил инерции.

126 ^

2). Для точного решения уравнений движения необходимо вычислять мат­рицуи эффективную матрицу жесткости на каждой итерации.

Первый поход требует незначительного увеличения вычислительных за­трат, так как матрица масс вычисляется один раз на каждом шаге и игнориро­вание изменения матрицы масс на итерациях не влияет на скорость сходимости итераций. Негативным фактором является снижение точности решения. Тем не менее, такой подход оправдывает себя при использовании достаточно малого временного шага и/или малой зависимости матрицы масс от перемещений (на­пример, малые колебания).

Для нелинейных систем с одной степенью свободы с «мягкой» и «жесткой» упругими характеристиками было проведено численное исследование обоих подходов учета нелинейной зависимости инерционных характеристик от пере­мещений. Произведены: сравнение численных результатов с аналитическим решением и получен анализ точности на основе интегрального критерия точно­сти; сравнение с полученными выше результатами для нелинейных упругих систем с постоянными инерционными характеристиками при равных прочих параметрах. Задана следующая зависимость массы системы от ее перемещений

При использовании второго подхода (более точного) значение интегрально­го критерия практически не изменилось по сравнению с его значениями в слу­чае системы с постоянной массой. Как и ожидалось, несколько ухудшилась скорость сходимости итераций. При использовании менее точного первого подхода скорость сходимости итераций не изменилась, а значение интегрально­го критерия точности ухудшилась в 2,3 раза для системы с «жесткой» упругой характеристикой, и до 18,7 раз для системы с «мягкой» характеристикой. Чис­ленные результаты исследований приведены в табл. 2.2.

Для большинства реально существующих геометрически нелинейных сис­тем их инерционные характеристики сравнительно медленно изменяются во времени при их движении. Поэтому при выборе достаточно малого временного шага Δ/ для получения точного решения вполне достаточно использовать пер­вый подход - однократное вычисление матрицы инерции на каждом шаге ин­тегрирования. Это позволяет значительно снизить вычислительные затраты

практически не снижая точность получаемого решения.

Таблица 2.2.

В редких случаях динамического анализа очень податливых систем, инер­ционные характеристики которых существенно изменяются во времени, воз­можно использование второго подхода, при котором матрица инерции системы вычисляется на каждой итерации процедуры Ньютона-Рафсона.

Тем самым, для динамического анализа большинства геометрически нели­нейных механических систем и конструкций наиболее эффективной можно считать неявную итерационную методику прямого численного интегрирования уравнений движения с аппроксимацией ускорений по методу Ньюмарка и ите­рациями по модифицированному методу Ньютона-Рафсона.

2.7.