Основные кинематические соотношения

Для разработки уточненной геометрически нелинейной математической моде­ли пространственных стержней рассмотрим отдельный стержень в пространстве. Необходимо выразить деформацию стержня через перемещения его элементов [63].

Ось x₁совпадает с центральной нейтральной осью недеформированного стержня, ось X₂всегда направлена по касательной к изогнутой нейтральной оси деформиро­ванного стержня. Оси y₁и Z₁совпадают с главными центральными осями инерции поперечного сечения стержня.

Воспользуемся гипотезами и допущениями, упрощающими математиче­скую модель путем пренебрежения малыми членами [63, 95,105, 210, 326]:

Рис. 2.1. Системы координат и перемещения упругого стержня

1) деформации в материале стержня малы по сравнению с единицей и для ка­ждой точки объема стержня справедлив закон Гука - связь между напряже­ниями и деформациями линейна;

2) свойства материала изотропны по всем направлениям;

3) перемещения и повороты элементов поперечных сечений могут быть большими в глобальной системе координат, но повороты элементов попереч­ных сечений в локальной системе координат стержня x₁,y₁,z₁предполагаются конечными, но малыми по сравнению с единицей;

4) в качестве меры деформации, определяющей связь между перемещениями и деформациями, принят тензор деформации Грина;

5) рассматриваемые стержни являются тонкими - размеры поперечного сече­ния стержня малы по сравнению с его длиной;

6) нормальные напряжения в поперечном сечении элемента изменяются ли­нейно по высоте и ширине;

7) депланация поперечного сечения учитывается по теории кручения Сен- Венана (краевые эффекты не учитываются) [91];

8) влияние распределенных нагрузок на искажение упругой линии при со­ставлении уравнений равновесия не учитывается (распределенная нагрузка

приводится к узловой).

Сущность допущений 5 и 6 подробно раскрывается Лукашем в [95] на примере нелинейной теории оболочек. В частности, допущения 5, 6 и 7 позволяют пренеб­речь деформациями в перпендикулярных оси стержня направлениях, а также де­формациями сдвига в плоскости поперечного сечения. Это позволяет предполо­жить, что размеры поперечного сечения не изменяются в процессе деформации.

Допущения 3 и 6 позволяют аппроксимировать повороты и кривизну частными производными по x_lот функций нормальных к оси стержня прогибов. При использо­вании метода конечных элементов, большие повороты узлов стержня и распределен­ные нагрузки, несмотря на допущения 6,7 и 8, могут быть учтены посредством увели­чения числа дополнительных разбиений на конечные элементы по длине.

Рис. 2.2. Положение поперечного сечения стеожня до и после десЬоо-

Введем тройку единичных векторов і, j, к направленных вдоль осей гло­бальной системы координат x,y,z [245]. Для системы координат недеформи- рованного стержня x_l,y₁,z_lи координатной системы поперечного сечения де­формированного стержня х₂,у₂,z₂введем соответственно тройки единичных векторов i₁, j₁,k₁и i₂, j₂,k₂. Выразим в векторной форме упругие перемещения некоторой точки поперечного сечения стержня, точка пересечения которого C нейтральной осью стержня получила перемещения u,v,w(см. рис. 2.1 и 2.2). Обозначим координаты некоторой точки поперечного сечения относительно главных центральных осей инерции сечения как ηи ξ(рис 2.2).

Ориентацию координатной системы поперечного сечения стержня в его де­формированном состоянии x₂,y₂,z₂относительно координатной системы x_l,y_l,z_lзададим с помощью углов Эйлера ζ, -β, ф. На эти углы поворачивает-

ся система x₂,y₂,z₂,первоначально совпадающая с x_l,y_l,z_i,последовательными поворотами вокруг осей z₂,y'₂,x₂,соответственно.

Вектор упругих перемещений точки стержня равен

При этом связь между координатными системами, заданными единичными век­торами, задана в виде ортогонального пре­

образования вращения на указанные углы Эйлера

где- матрица преобразования представляющая

собой произведение матриц вращения [89], которая в итоге имеет вид

Предполагая повороты поперечных сечений стержневого элемента в его ло­кальной системе координат x_l,y_l,z_lмалыми (предположение 3), косинусы и синусы в матрице поворота системы координат (2.3) можно аппроксимировать с помощью следующих выражений

Тензор Грина [63, 142], обуславливающий нелинейную связь между пере­мещениями упругого стержня и деформациями рассматриваемого стержня, при одномерном напряженно деформированном состоянии может быть записан

Подставив выражения для r_x,r_y,r_zиз (2.6) в (2.7-2.9), с помощью пакета Mathematicaбыли получены полные выражения для ε_xx, ε_xη, ε_xξкомпонент де­формации стержня. Исходя из предположения относительно небольших пере­мещений и поворотов, в выражении для ε_xxбыли опущены члены четвертого порядка малости, а в выражениях для ε_xηи ε_xξ, дополнительно исходя из малых размеров поперечного сечения стержня, были опущены члены второго порядка малости. В итоге компоненты деформации стержня имеют следующий вид

2.2.