2.4. Энергетические спектры рентгеновского излучения

Рентгеновское излучение представляет собой некогерентное электромагнитное излучение со сложным спектром. В спектроскопии видимой и ультрафиолетовой (УФ) областей принято изображать спектр в координатах “интенсивность – длина волны”, т.е.

В самом деле, поскольку для электромагнитного излучения имеют место однозначные соотношения

n = c/l,

где n - частота излучения, а с – скорость света (3?108 м/с), и

k = 1/l,

где k - волновое число (м-1 или см-1 и т.д.), то в радиоспектроскопии удобно использовать вместо оси длин волн ось частот (в мегагерцах или гигагерцах), а в инфракрасной спектроскопии – волновые числа (т.е. число длин волн, укладывающихся на единицу длины, обычно на 1 см).

В рентгеновском диапазоне длины волн излучения занимают диапазон примерно 0,008 – 0,05 нм, что приемлемо, но не слишком удобно для изображения спектра, поэтому чаще применяют единицы “электрон - вольт” – эВ. Это связано с тем, что согласно соотношению Планка энергия фотона E

E = hn = hc/l,

также однозначно связана с длиной волны (h = 6,63?10-34 Дж?с – постоянная Планка).

Из соотношения

eU = E,

где e – заряд электрона (~ 1,6?10-19 Кл), можно определить энергию, которую приобретает электрон, проходя в электрическом поле разность потенциалов в 1В. Такая единица энергии называется электронвольт и оказывается очень удобной при описании явлений атомного масштаба, поскольку характерные значения энергий атомных электронов оказываются в диапазоне от единиц электронвольт до сотен килоэлектронвольт.

Из приведенных соотношений легко найти взаимосвязь энергетических единиц в электронвольтах и длин волн

U(эВ) = hc/el=1,24?10-6/l(м) = 1,24?103/l(нм),

Так что приведенному выше диапазону длин волн рентгеновских спектров соответствует диапазон энергий примерно 25 – 150 кэВ.

Заметим здесь для справки, что между энергетическими единицами можно ввести формально еще одно удобное соответствие на основе статистической физики. Известно, что средняя кинетическая энергия частицы идеального газа порядка kБT, где kБ = 1,38?10-23 Дж/К – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура системы частиц в кельвинах (К), так что формально энергии 1 эВ соответствует температура 11600 К, и, например, при комнатной температуре 300 К средняя кинетическая энергия частиц системы составляет 0,026 эВ, что удобно для сопоставления энегетических масштабов ансамблей частиц и внутренних степеней свободы самих частиц.

Форма энергетического спектра рентгеновского излучения зависит от материала анода, величины и формы прикладываемого к трубке напряжения, а также от характеристик фильтров, помещаемых на пути прохождения рентгеновского излучения непосредственно после выходного окна колбы.

На рис. 2.7 показаны характерные спектры рентгеновского излучения при нескольких значениях анодного напряжения [2]. Здесь интенсивность Il в относительных единицах, длина волны l в устаревших единицах - ангстремах (1 = 10-10 м = 0,1 нм). Хорошо видно, что максимальная и полная интенсивности (пропорциональная площади под кривыми) резко возрастают при увеличении напряжения. Кроме того, в спектрах излучения наблюдается граничная длина волны на левых ветвях кривых, т.е. при каждом фиксированном анодном напряжении в спектре отсутствуют фотоны с длиной волны, меньшей, чем некоторая фиксированная величина.

Рис. 2.7. Типичные спектры рентгеновского излучения при различных анодных напряжениях на трубке

Отметим, что спектр рентгеновского излучения, показанный на этом рисунке, является сплошным. Однако обычно в рентгенодиагностических системах рентгеновский спектр оказывается более сложным, он содержит еще и дискретную компоненту, называемую характеристическим спектром.

Сплошной спектр - это тормозное излучение, возникающее при постепенном (многоступенчатом) торможении электрона, движущегося в материале анода и взаимодействующего с внешними электронами атомов материала анода. Энергия связи внешних (оптических) электронов атомов лежит в диапазоне единиц электрон-вольт. В то же время энергия электрона, влетающего в анод определяется напряжением на трубке и лежит в диапазоне 30 - 150 кэВ, т.е. на несколько порядков выше.

При своем движении среди атомов материала анода электрон своим электрическим полем взаимодействует с полями атомных электронов, постепенно передавая им часть своей энергии, вызывая ионизацию атомов и затормаживаясь. Хорошо известно, что торможение заряда сопровождается электромагнитным излучением. Некогерентное электромагнитное излучение большого количества одновременно тормозящихся электронов и составляет тормозное излучение со сплошным спектром. Нетрудно понять, что сплошной энергетический спектр рентгеновского излучения простирается от 0 до верхней границы, равной eUa, где Ua – анодное напряжение (в силу сохранения энергии). Это объясняет наличие границ на спектральных кривых рис. 2.7.

Диаграмма направленности тормозного излучения сильно вытянута в направлении первоначального вектора скорости влетающего электрона, этим объясняется весьма низкий лучевой кпд рентгеновских трубок, так как большая часть излучения поглощается тут же, в аноде, и в конечном счете, конвертируется в тепло.

Что касается медленных электронов, возникающих после ионизации, то они стремятся быстро вернуться к ионам, опять образуя нейтральные атомы.

Форма характеристического спектра определяется только материалом анода (при достаточно высоком анодном напряжении), что объясняет его название, и состоит из нескольких узких спектральных линий высокой интенсивности. Это излучение возникает следующим образом. Если энергия быстрого налетающего на атом электрона достаточно велика, то он может проникнуть глубоко в атом и провзаимодействовать с электроном К-слоя его электронной оболочки. При этом и К-электрон и налетающий электрон вылетают из атома. К-электрон получает энергию, превышающую его энергию связи

hn = 3/4Ry(Z - 1)2, (2.3)

где Ry = 13,6 эВ – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра атома.

После этого один из оптических электронов переходит с верхней оболочки на К-оболочку, что сопровождается резонансным электромагнитным излучением с энергией, близкой к энергии, рассчитанной по формуле (2.3) (закон Мозли). Поскольку возможны переходы оптических электронов с различными начальными энергиями на К-оболочку, обычно в спектре наблюдаются тесные группы узких характеристических линий. Нетрудно подсчитать по формуле (2.3) величину энергии излучаемого фотона при одном из таких переходов, например, для вольфрама:

hn = 3/4?13,6?(74-1)2 = 54,4 кэВ

Точные измерения энергий линий характеристического спектра вольфрама дают значения 58,0 – 67,7 эВ. Этот диапазон значений и приведен в табл. 2.1.

Анодное напряжение, необходимое для возбуждения характеристического излучения вольфрамового анода, составляет 69,3 кэВ, так что становится понятным отсутствие характеристических линий на рис. 2.7.

На рис. 2.8 приведены типичные спектры рентгеновского излучения, полученные на трубке с вольфрамовым анодом при напряжении 100 кВ. Спектры приведены до (см. рис. 2.8.а) и после (см. рис. 2.8.б) прохождения биологической ткани. Спектры нормированы на единицу, поэтому главные пики имеют одинаковую высоту.

На рис. 2.9 приведены аналогичные спектры рентгеновского излучения, полученные на трубке с молибденовым анодом при напряжении 30 кВ.

Здесь в полном соответствии с табл. 2.1 характеристическое излучение приходится на диапазон 17 – 20 кэВ.

Трубки с вольфрамовым анодом целесообразно использовать для получения изображений более крупных участков тела благодаря высокоэнергетическому спектру рентгеновских лучей для вольфрама. Молибден дает характеристическое излучение с более низкой энергией, которое лучше подходит для получения контрастных изображений более тонких частей тела, например, при маммографии.

а) б)

Рис. 2.8. Спектры рентгеновского излучения для трубки с вольфрамовым анодом, работающей при постоянном напряжении 100 кВ, с алюминиевым фильтром толщиной 2,5 мм. Приводятся спектры падающего (а) и прошедшего (б) излучения. Слой мягкой ткани толщиной 18,5 см

а) б)

Рис. 2.9. Спектр рентгеновского излучения для трубки с молибденовым анодом, работающей при постоянном напряжении 30 кВ, с молибденовым фильтром толщиной 0,03 мм. Приводятся спектры падающего (а) и прошедшего (б) излучения. Слой биоткани толщиной 5 см

Если излучение слишком “мягкое”, то низкоэнергетические фотоны будут лишь увеличивать дозу облучения пациента и не будут обеспечивать высокий контраст изображения, поэтому важно такие фотоны отфильтровывать, прежде чем они достигнут поверхности тела. Это и достигается путем введения алюминиевого, медного или молибденового фильтров.

2.5. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом

Как уже отмечалось, при распространении рентгеновского излучения в веществе его интенсивность убывает благодаря нескольким эффектам.

Рассмотрим простой модельный случай распространения параллельного пучка излучения интенсивности I, которое падает на плоско параллельный слой однородного вещества толщиной Dx, перпендикулярно его поверхности, тогда убыль интенсивности излучения DI после прохождения слоя будет пропорциональна толщине слоя и начальной интенсивности

DI = – m IDx, (2.4)

где коэффициент линейного ослабления m [1/см] зависит от энергии фотонов и свойств среды. Если свойства среды меняются по координате x, то в выражении (2.4) можно перейти к пределу Dx ® 0 и получить дифференциальное уравнение

dI /I = – mdx,

решение которого таково:

, (2.5)

где a – полная толщина поглотителя. При m = const получаем уравнение

, (2.6)

известное, как закон Бугера – Ламберта - Бера. Заметим, что при выводе формулы(2.6) не делалось никаких предположений о характере излучения и физике взаимодействия излучения с веществом, так что этот закон обладает большой общностью.

Вернемся к рентгеновскому излучению. Должно быть очевидно, что линейный коэффициент ослабления должен сильно зависеть от плотности среды. Так, например, при распространении излучения в газе, плотность которого обычно приблизительно на 3 порядка меньше плотности конденсированной среды, число актов взаимодействия фотонов с атомами газа также будет на 3 порядка меньше, чем при прохождении слоя конденсированной среды такой же толщины. Поэтому для учета плотности среды рассматривают массовый коэффициент ослабления mm:

mm = m /r

с размерностью см2/г; r - плотность среды в г/см3, тогда закон (2.6) запишется так:

. (2.7)

Часто толщину поглотителя выражают в единицах rx (г/см2)

По аналогии вводится также электронный коэффициент ослабления me (поскольку взаимодействие фотонов в среде происходит именно с электронами):

me = mm /ne , (2.8)

где полная концентрация электронов в 1 г среды (для однородного вещества) определяется как

ne = NA?Z/A,

где NA = 6,02?1023 моль-1 (число Авогадро); Z – заряд ядра; A- атомная масса. Величина me (см2) также называется эффективным сечением взаимодействия.

Приведем значения массовых коэффициентов ослабления mm (см2/г) при различных значениях энергии рентгеновских фотонов для веществ, имеющих большое значение в рентгеновской диагностике и рентгенотехнике (табл. 2.2) [2].

Причины выбора для таблицы именно этих элементов следующие: H, O, С – наиболее распространенные элементы в биологических тканях (вода, углеводороды), Be является подходящим материалом для изготовления вакуумных выходных окон рентгеновских трубок и других электрофизических приборов, где требуется достижение минимальных потерь излучения в материале окна, Al, Cu, Mo - наиболее распространенные элементы для изготовления рентгеновских фильтров, Se - материал для ксерорентгенографических приемников излучения, Ag - наиболее существенный элемент в фотоматериалах, в том числе в рентгеновских пленках, W - типичный материал для изготовления анодов рентгеновских трубок. Таблица 2.2

Массовые коэффициенты ослабления рентгеновского излучения mm различных энергий для некоторых элементов.

Анализируя данные таблицы, можно заметить, что для тяжелых элементов, начиная с меди, наблюдается нерегулярное поведение mm в зависимости от энергии фотонов, особенно при низких энергиях. Для понимания этого факта рассмотрим подробнее механизмы потерь интенсивности излучения в веществе.

При движении рентгеновского фотона вблизи атома среды возможны следующие основные процессы взаимодействия фотона с электронами атома:

1) фотоэффект;

2) когерентное (Томсоновское) рассеяние;

3) некогерентное (Комптоновское) рассеяние.

Поэтому mm можно представить в виде суммы

mm = mmФ + mmТ + mmК . (2.9)

Рассмотрим их по отдельности.

При фотоэффекте происходит полная передача энергии фотона одному из электронов внутренней электронной оболочки атома (K, L, M и т.д.), этот электрон выбывает из атома, унося кинетическую энергию:

1/2meV 2 = hn – Eсв,

где me- масса электрона; V- его скорость при вылете из атома; n - частота налетающего фотона; Eсв – энергия связи электрона в атоме. Фотон при этом поглощается и выбывает из пучка. Через короткое время один из оптических электронов атома переходит из внешней оболочки на образовавшуюся вакансию, что сопровождается рождением нового (резонансного) фотона характеристического излучения, который, двигаясь в среде, может вызвать вторичный фотоэффект (или выйти за пределы среды в вакуум).

Из теории фотоэффекта известно, что массовый коэффициент фотоэлектрического поглощения зависит, с одной стороны, от заряда ядра атома следующим образом:

mmФ = C1Z3 , (2.10)

где C1 – некоторая константа. Иными словами, сечение фотоэффекта очень сильно возрастает с ростом заряда ядра атома.

С другой стороны,

mmФ = C2 / E3 , (2.11)

где С2 –константа; Е – энергия фотона, причем, это соотношение справедливо для легких элементов, а для тяжелых наблюдается наложение на монотонный ход зависимости сечения от энергии (2.11) резонансных пиков.

Происходит обычное для резонансных систем явление – увеличение интенсивности взаимодействия при совпадении энергии (частоты) внешнего возбуждения с собственной резонансной частотой системы. Для иллюстрации описанных явлений приведем графики зависимости массового коэффициента фотоэлектрического поглощения от энергии фотонов для воды и свинца (рис. 2.10).

Из рис. 2.10. видно, во-первых, что сечение поглощения в свинце на 2 – 3 порядка больше, чем в воде, во-вторых, на плавный ход кривой спада сечения с энергией фотонов накладывается целый ряд всплесков, обусловленных резонансными явлениями.

Так, при Е ~ 100 кэВ всплеск соответствует резонансной энергии вылета электрона с К-оболочки атома свинца и значение mmФ ~ 10 см2/г называют К-краем полосы поглощения в свинце. Аналогично возникают L–край и, возможно, другие.

Рис. 2.10. Графики зависимости массового коэффициента фотоэлектрического поглощения от энергии фотонов для воды и свинца

Для более легких элементов (О и Н, составляющих воду) соответствующие резонансы проявляются в области энергий, много меньших, чем принятые для рентгеновского диапазона.

Когерентное (Томсоновское) рассеяние рентгеновского фотона происходит на свободных или слабо связанных (оптических) электронах атомов. При этом наблюдается следующее: электромагнитное поле рентгеновского излучения вызывает соответствующее колебание электрона, который, в свою очередь излучает электромагнитную волну той же частоты, что и у падающей волны, но во всех направлениях. Таким образом, при этом виде рассеяния не происходит изменения частоты (энергии), что и обусловливает его название – когерентное.

Сечение такого рассеяния слабо зависит от энергии и по порядку величины составляет около 10-24см2/электрон. Важным свойством когерентного рассеяния является зависимость интенсивности рассеянного излучения от расстояния r между рассеивающим электроном и приемником излучения, а именно эта интенсивность зависит от расстояния, как 1/r, в то время как интенсивность проходящего без рассеяния и поглощения излучения меняется как 1/R2, где R – расстояние между фокальным пятном рентгеновской трубки и приемником. Отсюда следует, что при большом расстоянии “источник - приемник” и маленьком расстоянии “источник – просвечиваемый объект” (а это означает большое r) интенсивность рассеянного излучения может оказаться весьма значительной, что ведет к снижению контраста изображения.

Некогерентное (Комптоновское) рассеяние так же происходит на свободных или слабо связанных электронах, но при этом имеют место передача энергии фотона электрону отдачи и возникновение нового фотона с энергией, меньшей, чем у падающего фотона на величину кинетической энергии электрона отдачи.

Сечение (в см2/электрон) Комптоновского рассеяния определяется выражением

(2.12)

где E0 – энергия рассеивающегося фотона, me – масса покоя электрона. Таким образом, сечение Комптоновского рассеяния монотонно падает с ростом энергии налетающих фотонов. Обычно оба рассмотренных эффекта рассеяния объединяют в один показатель – полное (суммарное) сечение sког+неког, вид которого в зависимости от энергии фотонов показан на рис. 2.11. Отметим, что при энергиях, меньших 25 кэВ, для мягких тканей сечение фотоэлектрического процесса больше, чем сечение рассеяния.

Полезным для практики оказывается также рассмотрение проникающей способности биологической ткани, иначе говоря, коэффициента пропускания при различных энергиях фотонов в зависимости от толщины просвечиваемого объекта (рис. 2.12).

Рис. 2.11. Зависимость полного сечения рассеяния от энергии фотонов

Коэффициент пропускания определяется как отношение интенсивности излучения, прошедшего через объект, к интенсивности падающего.

При низкой проникающей способности лишь небольшая часть фотонов доходит до приемника изображения, а радиационная нагрузка на ткани будет очень высокой. Если коэффициент прохождения излучения близок к единице, то различия в проникающей способности через разные ткани будут слишком малыми, а контраст в изображении будет низким. Поэтому при выборе энергии фотонов следует искать компромисс между требованиями малой дозы облучения и высокого контраста в изображении.

Рис. 2.12. Прохождение моноэнергетических фотонов через мягкие биоткани

На практике энергии фотонов находятся обычно в пределах 25—150 кэВ, причем более высокие энергии используются для получения изображений крупных органов. В указанном диапазоне энергий взаимодействия фотонов с веществом приводят главным образом к фотоэффекту и рассеянию.

На рис. 2.13 показаны зависимости линейных коэффициентов ослабления излучения костными и мягкими тканями от энергии. Различие между коэффициентами для этих тканей обусловлено главным образом разницей в сечениях фотоэффекта и плотностями биотканей и ясно показывает, почему рентгеновские лучи хорошо подходят для получения изображений переломов костей. Различие на рис. 2.13 между двумя кривыми и, следовательно, контраст в изображении костной и мягкой тканей уменьшаются с увеличением энергии фотонов.

Если рассматривать характер взаимодействия рентгеновских фотонов с веществом приемника, то надо иметь в виду, что вторичные электроны, возникающие здесь, имеют широкий диапазон энергий (от 0 вплоть до eUa). В воде электрон c энергией 150 кэВ имеет длину пробега всего лишь 0,03 см. Поэтому для большинства целей эти электроны можно рассматривать как локально поглощаемые и делающие большой вклад в дозу облучения, а также в энергию, получаемую приемником изображения. Однако характеристическое рентгеновское излучение не всегда можно рассматривать как локально поглощаемое.

Рис. 2.13. Зависимость линейного коэффициента ослабления от энергии фотонов для костных и мягких биотканей

Это иллюстрирует табл. 2.3, в которой приводятся значения энергии, средней длины свободного пробега и выхода флуоресценции для отфильтрованного характеристического рентгеновского излучения К-оболочки. (Заметим, что под выходом флуоресценции понимают вероятность образования флуоресценции после испускания фотоэлектрона).

Приведенные в табл. 2.3 элементы служат для иллюстрации образования характеристического рентгеновского излучения как в биологических тканях (кислород и кальций), так и в материалах приемников изображения (серебро и гадолиний).

Таблица 2.3

Параметры характеристического рентгеновского излучения (К-оболочка)