Полигармонические процессы
(1.37)
x(t) = x(t + nT), n = 1,2,3...
Как и в случае гармонического процесса, интервал времени, в течении которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т.
Число циклов в единицу времени называют основной частотой f. Очевидно, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического при совпадении основной частоты последнего с частотой гармонического сигнала. Как правило, полигармонические процессы могут быть представлены формулой Фурье:an
x(t) = у + ? (an cos(2nnft) + Ъп sin(2nft)),
n=1
где:
1 2 t
(1.38)
f = T;an = T jx(t)cos(2nft)dt,n = 0,1,2...;
ЪП = T j x(t) sin(2nft )dt, n = 0,1,2...
Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:
ад
x(t) = х0 + ?Xn cos(2nft - 0n), (1.39)
n=1
где:
n = 1,2,3...
Г h Л
0 = arctg
V an у
Как видно из формулы (1.39), полигармонические процессы состоят из постоянной компоненты Х0 и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами Xn и начальными фазами. Частоты всех гармоник кратны основной частоте f.
X0 = a2L; Xn = Val + ъп ,n = 1,2,3...;
j Амплитуда Xi
X2
X3
Xo
f 2f 3f
Рисунок 9 - Спектр полигармонического процесса
На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто принимаются во внимание. В этом случае формуле (1.39) соответствует дискретный спектр, изображенный на рисунке 9. Иногда полигармонические процессы состоят всего из одной частотной составляющей, а остальные могут отсутствовать.
Центрированным называется сигнал, лишенный постоянной составляющей
X(t) = 2 (ак sin(kw) + Ък cos(kwt)) =2 A sin(kwt + фк). (1.40)
к=1 к=1
Полная энергия сигнала описывается соотношением
T 0 2
A = j X (t)dt,
A = j2 K2 + bk2)sin2(kwt + фп)dt = -2 A2 , (1.41)
0 к=1 2 к=1
то есть энергия сигнала пропорциональная сумме квадратов амплитуд бесконечного ряда гармоник.
Часто в качестве модели сигнала используется усеченный ряд Фурье
0 N
Xm (t) = 2 (ак sin(twt) + Ък cos^t)) , (1.42)
к=1
причем N определяется в предложении, что энергия модели составляет 95 % энергии самого сигнала, что эквивалентно отысканию верхней граничной частоты и, следовательно, нахождению частного диапазона сигнала.
Физические явления, которыми соответствует полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией.
В действительности, когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зачастую при этом имеют в виду только приближенное представление процесса, который на самом деле является полигармоническим. Например, при тщательном исследовании колебаний напряжения на выходе генератора переменного тока можно обнаружить гармоники высших порядков.