Частотный диапазон сигнала и способы его определения

Мощность сигнала - это его дисперсия, значит, в частотном диапазоне содержит 95 % дисперсии.

Случайный сигнал будет содержать энергию, соответствующую площади заштрихованной фигуры.

w d

f S (w)dw = 0.95—-. (1.146)

н

Рисунок 26 - К вопросу об определении частотного диапазона сигнала

Однако это уравнение нельзя использовать для вычисления ширины спектра, так как в него входит два неизвестных.

Существует несколько способов определения частотного диапазона. Рассмотрим первый из них. Предположим, что потери энергии слева и справа

от частотного диапазона одинаковы:

,ун

J S (w)dw

(1.147)

= 0.025-

w

2

J S (w)dw

= 0.025-

Dx

2

S(w) - монотонная функция, т.е. решение единственно. Ширина частотного диапазона по его верхней и нижней границам:

Awc = wB - wH .

Та частота, на которой спектральная плотность имеет максимум, называется основной частотой сигнала wo.

Если известна основная частота wo, то делается предположение о том, что спектр сигнала симметричен относительно этой частоты:

(1.148)

К = w0 +Awc /2

I wH = w0 - Awc / 2

Тогда уравнение (1.146) примет вид

Awc

0

w +

Dx

2

(1.149)

J S (w)dw = 0.95

Awc

0

w

В этом уравнении имеется единственное неизвестное - Awc - эквивалентная ширина спектра мощности, и так как СПМ - монотонная функция, то уравнение имеет одно решение.

Итак, для определения частотного диапазона необходимо следующее.

Определить основную частоту w0.

Решить уравнение и найти эквивалентную ширину спектра мощности.

Найти верхнюю и нижнюю границы частотного диапазона.

нулю, и приходится определять только верхнюю частоту диапазона:

w

(1.150)

J S (w)dw = 0.95 D .

2

Здесь единственное неизвестное - верхняя граничная частота, которая численно равна эквивалентной ширине частотного диапазона.

Наибольшее применение на практике получил формантный подход к определению частотного диапазона Awc .

Согласно этому подходу, вначале определяется ширина частотного диапазона. Под ней понимается величина основания прямоугольника (в соответствии с рисунком 27), построенного на оси частот и имеющего высоту, равную максимальному значению СПМ, а площадь - равную площади фигуры, ограниченной кривой спектральной плоскости.

S(w)

"7—7-

/

' '''''''-л / А ' S S /, А

w

/ / А / ' Л

/ / '//¦\/*>',,f/f 'Г s / /, , / s / , .

w

w.

wr

Рисунок 27 - Формантный метод определения частотного диапазона

AwcS н = D

Awc =

2S н

Awc 2 Awc

wH = w0 -

wB = wo +-

Достоинством этого подхода является минимум вычислений. На практике часто используют его модификацию:

ад

| S (w)dw

Aw = А. = (1.152)

c 2S,, 2S ,, v 7

или

ад

| S2 (w)dw

Awc = ^. (1.153)

Рассмотрим связь между этими двумя способами:

ад ад ад

| S 2(w)dw = | S(w)S(w)dw < SH J S(w)dw

0 0 0

С учетом этого неравенства:

адад

S H | S (w)dw J S (w)dw

Aw, <—0— , Aw 2 <- ,

S S

но

J S (w)dw

Awc = - , ^ Awc1 < Awc.

2S 1

Это справедливо для любых сигналов. Еще одним способом определения частотного диапазона является так называемый метрологический подход. При этом подходе под частотным диапазоном понимается такой, в котором СПМ S(w) незначительно отличается от своего наибольшего значения (в соответствии с рисунком 28).

Координаты пересечения линии, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на SH-S , с кривой S(w) дают граничные частоты Wh Wb .

У vS(w) 5н JL /Г" —~>\

1 1 1 1 W W Wn Рисунок 28 - Метрологический подход к определению частотного диапазона

-S = S(w); 1 -у = ^Wl;

S н

Y = 5 -10%

1 -S_= S(w). (1.154)

s н S н

Этот способ дает заниженные значения эквивалентной ширины спектра мощности.

В зависимости от того, в каком соотношении находятся между собой w0 и ширина спектра, различают два типа сигналов:

Широкополосные, у которых ширина частотного диапазона значительно превышает значение основной частоты: Awc >> w0 ;

Узкополосные, у которых основная частота намного больше эквивалентной ширины спектра мощности.

Укажем здесь еще одно свойство всех стационарных случайных процессов, которое носит название соотношения неопределенности.

Произведение интервала корреляции случайного сигнала на эквивалентную ширину спектра его есть величина постоянная, значение которой зависит от способов задания этих характеристик:

тк Awc = const. (1.155)

Например, рассмотрим широкополосный сигнал с нулевой основной частотой w0 = 0, тогда SH = S(0).

| S (w)dw

Awc = D,

c 2Sн SH '

w0=0,

1 ад

S(w) = — [ Rx (т) cos(w т)йт, п о

я 0

1 ад т-ч ад

= s .

п

S(0) = - f Rx (T)dT = — \px (T)dT nt п i

Dxn п . п

Awc = —x— = ; тогда AwcTk = — .

c 2DxTk 2т/ c k 2

Рассмотрим теперь некоторые специальные виды сигналов. Полосовые шумы

Полосовым шумом называется сигнал, СПМ которого постоянна на заданной полосе частот, а вне ее равна нулю (в соответствии с рисунками 29 и 30).

w0 - частота, делящая частотный диапазон пополам:

wH + we .

w0 =

Рисунок 29 - Спектр узкополосного сигнала

Рисунок 30 - Спектр широкополосного сигнала

2

S0 - интенсивность шума.

Основной частотой широкополосного сигнала считается нулевая частота.

Рассмотрим узкополосный шум. Выразим его интенсивность через дисперсию:

AwcS0 = — - это площадь прямоугольника на рисунке 29,

S0 = ^ 2 D

0 2Awc 2(wd - wH)

Рассмотрим функцию корреляции полосового шума.

адад

Rx (т) = | S (w)cos(w r)dw = 2| S (w)cos(w r)dw =

-ад 0

w w

= 21S(w)cos(wr)dw = 21S0 cos(wr)dw =

wH wH

= 2 Dx } = D4 sin(wr)

we

2(we - wH) J we - wH т

V в H У w.. в н

| cos(w т)dw

wH

^ + wH т

we - wH в т\ cos

Dx 2 . fwe - wH ") f

x sin

2

2

\

тОв - wH ) V

но we -wH = Awc, (wB + wH)/2 = w0, тогда

2 f Aw

Rx (т) = Dx~A sin Г^" т\ c0s(woт),

Awт V 2 )

или

f Aw

c т

sin

2

Rx (т) = Dx-A- L cos(WoT). (1.156)

т

2

АКФ полосового шума имеет колебательный, затухающий характер.

ч . f Awc ^ Awc

а) sin —- т \ = 0, когда —- т = kn, V 2 ) 2

k=1,2

(при k =0 значения АКФ равно единице);

т = 2kn / Awc; w = 2nf; Awc = 2nAfc ,т = k / Afc. (1-157)

Таким образом, отсчеты шума будут некоррелированными, если их брать через интервал 1/ AfC:

б) cos(w0 т) = 0; w0 т = (2k + 1)п / 2, k = 0,1,2,....

(2k + 1)п „ ,

т=\ ; w0 = 2nf; 2w0

т= (2k +1)п = (1.158)

2*2П0 4f0 V '

Найдем шаг по аргументу:

2k +1 (2k +1) +1 = 2k +1 - 2k + 2 -1 = 1

(1159)

4f 4f 4f 2f

Таким образом, получены два шага дискретизации, при которых отсчеты сигнала становятся некоррелированными. Из них надо брать тот, который имеет наименьшее значение, для узкополосных сигналов это - 1 /2f0 - наименьший шаг, при котором отсчеты некоррелированны.

Рассмотрим теперь широкополосный шум.

wH =0; w = Awc.

Для определения АКФ сигнала воспользуемся формулой для функции корреляции узкополосного шума (1.156), положив wH = 0.

R, (г) = Mw.v) = Dx ^^

wвт Awт

sin(Awcт) = 0

kn kn k

Aw т = kn; т = -

Aw^ 2nAfc 2fc

Шаг дискретизации по времени для получения некоррелированных отсчетов составляет

At = —. (1.160)

2 Afc

Белый шум

Белый шум - это такой стационарный случайный сигнал спектральная плотность мощности которого постоянна на любой частоте (в соответствии с рисунком 31).

S(w)

w >

Рисунок 31 - Спектр белого шума

Понятие белого шума аналогично понятию белого света, содержащего все спектральные составляющие. Белый шум представляет собой математическую абстракцию, так как площадь под прямой S(w0) = S0 бесконечна (а следовательно, бесконечна и дисперсия, т.е. полная мощность сигнала).

ад ад

Rx (т) = | S(w)exp( jw^dw = S01 exp( jw^dw =

= 2—S 0 j -2— | exp( jw т)dw

-ад -ад

= 2—S 08(т).

2—S0=N - интенсивность белого шума (как уже отмечалось, о мощности белого шума говорилось бессмысленно).

Итак, корреляционная функция белого шума имеет вид

Rx (т) = Ж(т), (1.161)

по виду АКФ совпадает с дельта - функцией, и все ее свойства аналогичны свойствам дельта - функции:

Г 0, т ^ 0

Rx (т) = Г 0.

[ад, т = 0

Отсчеты сигнала, являющегося белым шумом, взятые с любым шагом дискретизации, отличным от нуля, всегда некоррелированны.

Если СПМ случайного сигнала постоянна в широком диапазоне частот, перекрывающем полосу пропускания динамической системы, то по отношению к этой данный сигнал можно принять за белый шум.

Иногда для на практике вводится нормированная СПМ:

S (w)

S н (w) =

(1.162)

по аналогии с нормированной АКФ.

Rx (т) = | S (w)exp(jw^dw

—ад 1 ад

S (w) = 2— I Rx ^^p

Разделим левую и правую части на DX , получим:

Px (т) = ISн W^pC/^^

—ад 1ад

Sн (w) = — I Px (т) exp(—jw т?т 2— J

То есть нормированные СПМ и АКФ связаны между собой той же парой преобразований Фурье, что и ненормированные характеристики.

Все свойства нормированной спектральной плотности полностью аналогичны свойствам СПМ (четная, неотрицательная), кроме условия нормировки:

ад

| S н (w)dw = 1.

—ад