Анализ линейных динамических систем, работающих при входныхслучайных воздействиях

Надо уметь находить выходной сигнал и определять все его свойства, если известны характеристики входного сигнала, т.

M [Y (t)] D[Y (t )1 Ry (t, t + т), Ryx (t, t + т).

Они будут зависеть от свойств входного сигнала и характеристик ЛДС.

t

Y (t) = j h^) X (t — т^т. (1.177)

0

t

1. M [Y (t )]=j h(т)mx (t — т)dт = my (t) (1.178)

0

(t) = Y (t) — my (t) = j h(r)[X (t — T) — mx (t — т)}т

t 0 (1.179)

(t) = j h(T) X (t — T)dT

о

0 t=u о

Y(t = и) = j h(Tj) X(t + и — т )dTj

о

о о 't +u о о

Y(t) Y(t + и) = j j h(T)h(T1) X(t — т) X(t + и — T)dTdT1 .

Находим математические ожидания левой и правой частей:

Ry (t, t + и) = f f U h(T)h(T1)Rx (t — T, t + и — T)dTdT1 . (1.18о)

y «!о J o

Найдем дисперсию выходного сигнала, для этого положим и=о:

D[Y(t)] = jt jt h(T)h(Tl)Rx (t — Tu t — T)dTdT, , (1.181)

то есть, чтобы отыскать дисперсию выходного сигнала необходимо знать АКФ входного.

взаимная корреляционная функция:

Y(t) X(t + и)

t

Ryx (t, t + и) = м

j h(T)Rx (t — T, t + и — T)dT. (1.182)

о

Выходной сигнал стационарной ЛДС при входном нестационарном сигнале будет нестационарным.

Иногда используют следующий подход. Входной сигнал представляют в виде канонической модели

X (t) = mx (t) + ? Ukpk (t):

k=1

тогда выходной сигнал:

Y(t) = J h(t)m(t — T)dT + Y,Uk j h(r)vk(t — T)dT (1.183)

о k=1 о

?k (t) = ? h(t )Vk (t — T)dT

ад

Y (t) = my (t) + YUkVk (t).

k

k=1

Если на входе линейной динамической системы имеем каноническую модель входного сигнала, то на выходе получаем каноническую модель

выходного сигнала с теми же коэффициентами разложения.

Пусть входной сигнал является стационарным. Рассмотрим характеристики выходного сигнала системы.

my (t) = J0 h(u)mx (u)du = mx J0 h(u)du . (1.184)

Вывод: выходной сигнал стационарной ЛДС при стационарном входном сигнале не стационарен по математическому ожиданию.

Dy (t) = J0 J h(T)h(Tx )RX (т, T )drdrx (1.185)

Ry (t, t + u) = J J0 " h(T)h(T1)Rx (u -T1 + T)dTdT1 . (1.186)

По автокорреляционной функции выходной сигнал не стационарен при стационарном входном.

Взаимно-корреляционная функция:

t

Ryx (t, t + u) = J0 h(T)Rx (u + T)dT. (1.187)

То есть, входной и выходной сигналы нестационарно связаны.

Рассмотрим теперь установившийся ( статический) режим работы ЛДС, устремив верхний предел интегрирования к бесконечности.

/•да

1. my = mx J0 h(u)du ; (1.188)

fW

0 J0 h(T)h(T)Rx(т,-T)dTdTx; (1.189)

fW (W

Ry (u) = J0 J0 h(T)h(T,)Rx (u - т + T)dTdT, ; (1.190)

/•W

Ryx(u) = J0 h(T)Rz(u + T)dT. (1.191)

В установившемся режиме работы выходной сигнал ЛДС при стационарном входном является стационарным и стационарно связанным со входным.

Спектральная плотность мощности выходного сигнала определяется выражением

1

Sy(w) = — J Ry(u) exp(jwu)du .

y 2nJ-W y

Подставим сюда выражение для АКФ:

^»ад лад I 1 лад I

I h(r)h(rl и — I Rx (и -т + т) exp(- jwu)du \drdr,

о Jo [ 2П—ад J

Рассмотрим интеграл в скобках:

и — т + т

и = их + т — т du = dux

1 гад

— I Rx (и) exp(—jw(u + т — T))du

2П—ад

ив= ин =-°°

1ад

= exp(jw т) exp(—jw т1)— I Rx (и) exp(—jwu)du =

2П—ад

= Sx (W) exp( jw т) exp(—jw т)

- подставим в исходный интеграл

лад лад

Sy (W) = Sx (w)Jo Jo вд^о^-^^expo^^ =

= Sx(w){f0 Кт)exp(—jwтУт11[ h(r)exp(jwтУт\= (1А92)

Sx (w)W (jw)W (—jw) = Sx (w) IW (jwf.

То есть, спектральная плотность мощности выходного сигнала ЛДС при подаче на нее стационарного случайного сигнала связана с СПМ выходного сигнала через квадрат модуля частотной характеристики.

Если искать дисперсию, АКФ и ВКФ по соотношениям (1.189), (1.190) и (1.191), то придется иметь с двойными интегралами, в то время как эти характеристики можно найти проще, пользуясь найденной зависимостью (1.192):

2

Dy = [ Sy (w)dw = ? Sx (W) IW (jw)\ dw, (1.193)

то есть дисперсия, так же как и СПМ, зависит не от всей частотной характеристики, а только от АЧХ.

2

лад лад . |

Ry(т) = L Sy(w) exp(jw i:)dw=L Sx(w)\W(jw)\ exp(jw i:)dw-

Рассмотрим, какое практическое применение имеет найденная зависимость.

Пусть на выход ЛДС подается белый шум, тогда

Sy (w) = S 0 = const, (1.194)

Sy (w) = Sо\W(jwf ,

то есть СПМ выходного сигнала зависит только от квадрата модуля частотной характеристики системы. Меняя частотную характеристику, можно получать сигналы с различными спектрально-корреляционными свойствами, окрашенные шумы. Это очень важный вывод, так как многие задачи планирования эксперимента решаются имитационным моделированием, которое предполагает, в свою очередь, использование в качестве исследуемых сигналов случайных процессов с заданными спектральными характеристиками (для проверки свойств синтезируемых фильтров, систем, и т.д.).

ад

Ryx (и) = | h(т) Rx (и + т)4т. (1.195)

о

Пусть мы определили АКФ входного сигнала и функцию взаимной корреляции между входным и выходным сигналами. Соотношение (1.95) можно использовать для определения ИПХ исследуемой системы. Найдем ВКФ между входным X(t) и выходным Y(t) сигналами системы, заменив в соотношении (1.195) у аргумента знак на противоположный:

ад

Ryx (—и) = | h(т)Rx (—и + т^т (1.196)

0

ад

Ry (и) = |h(т)Rx (и — т)4т. (1.197)

0

Пусть на вход системы подается стационарный белый шум. Его корреляционная функция:

Rx (т) = N5(т), Rx (и — т) = N5(и — т),

ад

Ry (и) = N| h{т)5(и — т)йт.

0

Согласно фильтрующему свойству дельта - функции:

Rxy (и) = N * h(u),

то есть вид ВКФ совпадает с видом импульсной переходной характеристики ЛДС.

h(u) = . (1.198)

Соотношение (1.198) можно использовать как алгоритм определения

ИПХ.

Далее подается тестовый сигнал - белый шум и вычисляются взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов.

1 W

^^ (w) = — J" Rxy (u)exP(-jwu )du = 2П J

—w

CO Г 1 w |

= Jh(jT\ 2n JCRxy(u - т) exP(-jwu)du |

Внутренний интеграл:

u -т = u u = ux +T du = du1

щв = w

u1H = -00

1 со

— JRx(щ)е +т)dux =

-w

= e"^{n JRx(u1)e ^ dux| = e-iwTSx(w)

подставляем в исходный интеграл:

CO

Sxy (w) = Sx (w)Jh(T) exp(-jw T)dT = Sx (w) * W(jw). (1.199)

0

То есть взаимная спектральная плотность между входными и выходными сигналами связана с СПМ входного сигнала через частотную характеристику системы.

Вещественная частотная характеристика оказывает влияние на вещественную часть ВСП и не оказывает влияния на мнимую часть ВСП, и наоборот.

Вывод: частотную характеристику системы можно определять, зная взаимную спектральную плотность входного и выходного сигналов, а также СПМ входного сигнала.

S (w)

W (jw) = (1.200)

Sx (w)

(1.201) 87

х (t) = S (т) + X(t)

Любой сигнал можно представить как аддитивную смесь полезного сигнала и помехи:

Выходной сигнал системы:

Y(t) = my (t) + Y(t). (1.202)

КДС осуществляет преобразование, причем

(t) = | h(^S (т^т, Dy = D Г]

my

Dy=min - условие минимума помехи.

Зададимся вопросом, что надо сделать для того, чтобы значение дисперсии выходного сигнала понизилось (а значит, и уменьшилось значение помехи)?

ад ад ад

Dy = | Sy (w)dw = | Sx (w) | W Сjwf dw = 2| Sx (w)| W (jwf dw . (1202)

0

ад

ад

Пусть максимальное значение СПМ входного сигнала SxH, тогда S(w)<=SxH.

ад ад

Dy = s\Sx (w)\W(jwf dw < 2SXH |\W(jwf dw . (1.203)

0 0

Это оценка дисперсии сверху, то есть оценка той величины, которой она не превышает.

0

Пусть эквивалентная ширина спектра мощности сигнала X(t) будет

D

Awc =

x

c

2S н

Пусть ширина полосы пропускания ЛДС определяется выражением

ад

|[W (jw)] dw

Awc =

\W(jwf '

Dx

Sh.

2Awc

||W(jwf dw = Awc\W(iw)\2 .

Подставим это выражение для дисперсии (1.203):

2D^AwфWOf = DX\W(jwf AWф

2Awc ф Awc

с

D, < DxW(jwf . (1.204)

Выражение (1.204) определяет оценку сверху дисперсии выходного сигнала.

Выводы.

Мощность выходной помехи тем больше, чем больше мощность входной помехи.

Ширину полосы пропускания ЛДС нужно делать как можно меньше ширины спектра мощности сигнала, стремится к тому, чтобы отношение

Awф

было как можно меньше.

Awc

Перепишем соотношение по-другому:

ти AWф = const, тк Awc = const

Aw )k Aw „ т

ф = 1*. = const, = С^- .

Awc ти Awc т

и

С - константа, которая зависит от способа задания

величин Awф, Awc ,Ти

Dy = С * Dx\W(jwf Т. (1.205)

Т и

Соотношения (1.204) и (1.205) используется на равных основаниях.

Вывод: для наилучшего подавления помехи нужно увеличивать длительность ИПХ системы по сравнению с интервалом корреляции исследуемого процесса. Но увеличивая длительность ИПХ, мы ухудшаем быстродействие.