2.2.2 Применение дисперсионного анализа

Этот метод состоит в том, что путем изменения соответствующих параметров объекта исследования изменяют заданным образом одну или несколько других составляющих объекта измерения.

На примере однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа поясним, как происходит выявление взаимосвязей между составляющими объекта измерения путем использования данного метода.

Пусть ставится задача определить, является ли составляющая Xk зависимой от составляющей Xa. Эта задача решается при помощи однофакторного дисперсионного анализа. Для этого составляющей XA задают

ряд значений Xa1, Xa2, , Xan и при каждом значении производится n

измерений составляющих Xk.

Для удобства результаты измерений обычно заносятся в таблицу 2.1.

Таблица 2.1 - Значения параметров ОИ (для одномерного дисперсионного анализа) Значения Номер измерения XA 1 J N XA1 Xkii Xk1j Xk1n Xai Xkii Xkj Xkin Xam Xkm1 Xkmj Xkmn В таблице 2.1 через Xkij- обозначен результат j-го измерения составляющей Xk при значении Xa = Xai . Как видно из таблицы, всего мы имеем n*m результатов измерения составляющей Xk .

Обозначим через X k1 среднее арифметическое из пизмерений составляющих Xk , выполненных при значении Xa=Xaj, через XK - среднее арифметическое из п измерений составляющей Xk, выполненных при значении Xa=Xa2 и т.д.

k1 j

X*1 =1X

j=1

(2.7)

Xki = X Xkij ,

kmj

n

V* _ 1 Xkm =~ X

j=1

Очевидно, если влияние составляющей Xa на составляющую Xk

существенно, то есть Xk зависит от Xa , то мы должны ожидать повышенного

^ ^ ^ *

рассеивания средних Xk, ..., Xki, ..., Xkm и наоборот.

1 m n 1 m

(2.8)

mn

m

X* = XX Xkij = X X*i •

i=1

i=1 j=1

Определим общую статистическую дисперсию всех результатов измерений составляющей Xk :

D* = —XX( -X*)2. (2.9).

mn

i=1 j=1

Эта дисперсия обязана своим, появлением всем действующим факторам - как влиянию составляющей XA , так и фактору случайности при каждом конкретном значении XA . Основная задача, которую решает дисперсионный анализ - это разделение общей дисперсии на компоненты, которые характеризовали бы влияние на составляющую Xk составляющей XA и фактора случайности, в отдельности.

Принимая во внимание формулу (2.7) и (2.8) , статистическую дисперсию представим в виде

D* = — X X [[ - X*.) + (X*. - Xk*)] + Q0), (2.10)

mn i=1 j=1 mn

где

QA = NX (X* - X*)2;

i=1

mn

Qo = nXX(Xkj -X*)2.

i=1 j=1

*

Таким образом, статистическая дисперсия D k результатов измерения составляющей Xk при различных значениях XA пропорционально сумме слагаемых QA и Q0, т.е. рассеивание, результатов измерения составляющей Xk

складывается из двух компонент: QA и Q0 . Величина QA характеризует

*

влияние на дисперсию D k составляющей Xk , а величина Q0 - влияние случайных погрешностей.

Для того чтобы оценить степень влияния составляющей XA на Xk , необходимо сравнить между собой слагаемые QA и Q0 . Очевидно в том случае, когда влияние составляющей XA на Xk существенно, т.е. зависит от XA, мы должны получить QA>>Q0. Если же влияние XA на Xk несущественно, то рассеивание результатов измерения, составляющей Xk будет вызвано лишь случайными погрешностями, и мы должны получить QA<Так как результаты измерения параметра Xk носят случайный характер, то и величины QA и Q0 будут также случайными. Поэтому их сравнения нужно проводить вероятностными методами.

На практике случайные погрешности измерений очень часто оказываются распределенными по нормальному закону.

F — Ст, (2.11)

где

С — С — Q.

A m -1 O m(n -1)

Величина F является случайной, так как величина QA и Q0 случайны. Доказано, что величина подчинена так называемому F-распределению с (m-1) и m(n-1) - степенями свободы.

Правило оценки степени влияния составляющей XA на Xk , сводится к следующему:

подсчитываются значения величин QA и Q0 (m-1) и m(n-1);

по этим значениям подсчитываются CA , С0 и затем F;

по специальным таблицам, имеющимся в справочниках, задаваясь доверительной вероятностью q (обычно полагают q=0.95,...,0.999) по степеням свободы (m-1) и m(n-1) с учетом CA , С0 и находится Fq.

гипотеза о том, что составляющая Xk зависима от XA принимается, если F>Fq;

если F<=Fq , то влияние составляющей XA на Xk нужно считать незначительным, так как в этом случае рассеивание результатов измерений вызвано в основном случайными, погрешностями измерений Xk.

Если с помощью дисперсионного анализа установлено, что составляющая XA зависит от Xk, то это отнюдь не означает, что составляющая XA зависит от Xk, так как первая может быть причиной, а вторая - следствием. Так, например, ЭДС. Термопары зависит от разности

температур между ее холодным и горячим спаями. Но температура между горячим и холодным спаями этой термопары ни в коем случае не зависит от термоэдс. Точно так же, если Xk не зависит от XA, то это не означает XA, что также не зависит от Xk. Поэтому, чтобы выявить взаимонезависимые составляющие объекта измерения, нужно проверять с помощью дисперсионного анализа взаимное влияние их друг на друга.

Рассмотрена методика применения дисперсионного анализа для выявления наличия зависимости какой - то одной составляющей объекта измерения от другой. Теперь необходимо определить, является ли составляющая объекта а Xk зависимой от двух других XA и XB или зависит от какой - то одной из них.

В этой таблице через Xkij; обозначен результат измерения Xk при значении ХА = XAi и XB = XBj.

Введем обозначения: * 1 n

X*Ml = —? xtai, - среднее значение составляющей при ХА = XAij- nl=i

Щ

Х*кВг = — ? xkj, - среднее значение составляющей при XB = Xi ml=i

1 m n 1 m 1 n

v* 1 ^^ v 1 v* 1 v*

Xk = ?? Xkij = —? X kAl = X kBl

mn

m

n

i=1 j =1

j =1

среднее арифметическое результатов измерений составляющей Xk.

Таблица 2.2 - Значения параметров ОИ (для двумерного дисперсионного ХА ХВ ХВ ХВ ХВ XAI Xkii Xkij Xkin XAI Xkii Xkij Xkin XAm Xkmi Xkij Xkmn зависит лишь от значений составляющей XB . Поэтому рассеивание X kAi

*

средних не будет зависеть от значений XB а рассеивание X kBj - от значений XA.

Общее рассеивание результатов измерения составляющей Xk может быть оценено величиной статистической дисперсии:

D* = — SS(( -X*)2. (2.12)

mn

i=1 j=1

Принимая во внимание обозначения, введенные выше, формулу (2.12) представим в виде:

(X*M-X*) + (X*Bj - X*) +

mn

D* = — SS

mn i=1 j=1

(Xk,] + XkAi - XkB] + Xk ) —(QA + QB + Qo), (2.13)

mn

где

mn

QA = SS(XA -X*)2;

i=1 j=1 mn

QB = SS(XB -X*)2;

i=1 j=1 mn

Qo = SS (XkiJ - XkAi - XkBj + Xk) 2-

i=1 j=1

*

Таким образом, статическая дисперсия D k пропорциональна сумме трех слагаемых QA, QB, Q0.

Оценка степени влияния составляющих объекта измерения XA и XB на составляющую Xk как и при однофакторном дисперсионном анализе, производится при условии нормального распределения случайных погрешностей измерений с помощью F-критерия:

-1-Q С

Fa = = СЛ.; (2.14)

1 QO Co

(m - 1)(n -1) O

1 Q

0iiB С

FB =JjT = ^. (2.15)

1 QO Co

(m - 1)(n -1) O

Правило оценки степени влияния составляющих XA и XB на Xk заключается в следующем:

1) подсчитываются величины QA, QB, (m-1), (n-1) и (m-1)(n-1);

по значениям величины п.1 определяются CA, CB, C0, а затем Fa, Fb;

задаются величиной доверительной вероятности q ;

по специальным таблицам по степеням свободы (m-i) и (m- i)(n-i) с учетом CA, и C0, находится FqA, а по степеням свободы (n-i) и (m-i)(n-i) с учетом CB и C0 -Fgb;

если Fa < FqA и FB< FqB ,то влияние составляющих объекта измерения XA и ХВ на XK несущественно и может считать, что практически не зависит ни от XA, ни от XBA;

при Fa > FqA и FB > FqB принимается гипотеза о том, что влияние составляющих объекта измерения XA и ХВ на XK существенно, т.е. XK зависит как от XA, так и от ХВ;

если Fa < FqA и FB< FqB ,то на составляющую влияет в основном не XA, а ХВ , т.е. составляющая XK зависит лишь от ХВ ;

при Fa > FqA и FB< FqB принимается гипотеза о том, что составляющая объекта измерения зависит лишь от XA.

Итак, рассмотрена методика применения дисперсионного анализа доя выявления взаимосвязанных и взаимонезависимых составляющих объекта измерения. При этом необходимо подчеркнуть, что применение дисперсионного анализа особенно эффективно при одновременном излучении нескольких составляющих объекта измерения на какую - то другую составляющую.

Дисперсионный анализ позволяет решить лишь качественную задачу - выделить из общего числа составляющих объекта измерения xi..xN взаимонезависимые и взаимозависимые.

Следующей, более высокой ступенью описания исследуемого объекта должно явиться выявление количественных соотношений между взаимосвязанными составляющими объекта измерения.