Производная по направлению. Характеристическая альтернатива
В данном разделе будем рассматривать квазилинейные уравнения 1-го порядка вида
(1)
где, коэффициенты ai и a зависят от независимых переменных и искомой функции v.
, .
Пусть в n-мерном пространстве x1,x2,…,xn задана функция v(x1,x2,…,xn) непрерывная и дифференцируемая по всем своим переменным.
Пусть в точке P(x10,x20,…,xn0) этого пространства задан некоторый вектор . Рассмотрим в этой точке бесконечно малый вектор приращений координат (dx1,dx2,…,dxn) коллинеарный вектору . Из условий коллинеарности можем записать
,
откуда получаем дифференциальные уравнения
; ; …; (2)
Интегрируя эти уравнения от точки Р
получим уравнение прямой в n-мерном пространстве, проходящей через точку Р и коллинеарной вектору . На этой прямой функция v примет значение .
Дифференцируя функцию v по S вычислим скорость изменения функции v в точке P, из (2) получим
(3) - производная функции v по направлению вектора .
С помощью этой производной перепишем (1): (4).
Уравнения (2) и (4) образуют дифференциальные уравнения характеристик уравнения (1).
Рассмотрим в n-мерном пространстве некоторое (n-1)-мерное многообразие В, которое будем записывать в неявном виде:
(5) - уравнение гиперповерхности.
x1,x2 ? φ(x1,x2)=0 ? x1=f(x2) – кривая.
x1,x2,x3 ? φ(x1,x2,x3)=0 ? x1=f(x2,x3) – поверхность.
Рассмотрим на гиперповерхности (5) точку Р и бесконечно малый вектор (dx1,dx2,…,dxn) касательный к гиперповерхности в этой точке. Дифференцируя φ вдоль этого вектора, получим: , или ,
откуда следует ортогональность этих векторов.
Так как вектор (dx1,dx2,…,dxn) произвольный касательный вектор в точке Р, то отсюда следует, что вектор является вектором нормали к гиперповерхности.
Пусть компоненты вектора , входящие в производную по направлению вектора , можно записать в виде: , тогда производная называется производной по направлению нормали к гиперповерхности в точке Р и ее можно записать в виде: .
Пусть теперь в точке Р (в этом случае вектор лежит в касательной плоскости к гиперповерхности в точке Р), тогда производная по направлению вектора называется тангенциальной производной или внутренней производной на гиперповерхности.
Если функция v на гиперповерхности задана, то внутренние производные этой функции на гиперповерхности нам известны, покажем это.
Введем в окрестности гиперповерхности В новую систему координат ξ1,ξ2,…,ξn, при чем в качестве координат ξ1,ξ2,…,ξn выберем внутренние криволинейные координаты на гиперповерхности. А в качестве ξ1 возьмем .
Производная функции v будет , а производная по направлению
Так как по предположению вектор касается гиперповерхности в точке Р, то
Когда функция v на гиперповерхности задана, эта производная в точках поверхности может быть вычислена.
Может случиться, что вектор в точке Р удовлетворяет соотношению , откуда следует, что существует проекция вектора на нормаль к поверхности отличная от нуля.
Производная в этом случае называется выводящей.Обратимся вновь к уравнению (1), которое может быть записано в виде: (4), где - производная по направлению вектора , и пусть на гиперповерхности В задана функция v.
Рассмотрим вопрос о возможности нахождения функции v в окрестности гиперповерхности с помощью уравнения (1). Возможны 2 случая:
1. В точке Р имеет место, и, следовательно, производная задаваемая дифференциальным уравнением является выводящей. В этом случае функцию v в окрестности гиперповерхности можем найти, например, расписывая в разностном виде уравнение (4):
(6)
где x1,x2,…,xn – значения координат на гиперповерхности. Зная значение функции v(x1,x2,…,xn) в точке Р с помощью соотношения (6) можно найти ее значение в окрестности гиперповерхности.
2. производная, входящая в дифференциальное уравнение является внутренней, она нам известна, и тогда д. у. (4) задает ограничение на задание функции v на гиперповерхности.
Поставленная задача (задача Коши) с данными на гиперповерхности является либо разрешимой, если везде на гиперповерхности выполняется неравенство , либо д. у. задает на гиперповерхности тангенциальную (внутреннюю) производную, и, таким образом, задает ограничение на задание функции v на этой поверхности. В этом случае сама гиперповерхность называется характеристической гиперповерхностью.