Общие требования к постановке классических задач для уравнений в частных производных

Эти требования впервые сформулировал Адамар. Задача для уравнения в частных производных называется корректно поставленной (по Адамару), если она удовлетворяет следующим требованиям:

1.

На решение задачи не должно быть наложено слишком много дополнительных условий, и они не должны противоречить друг другу.

2. Решение задачи должно быть единственным

Точки ветвления – параметры, при которых возникает неединственность решения (например существует 2 решения в одной точке).

3. Решение задачи должно быть устойчивым

А именно, малому изменению данных задачи должно отвечать малое изменение решения. В противном случае задача называется неустойчивой. Адамар считал, что поскольку данные задачи получаются из экспериментов, которые всегда содержат ошибки, то для неустойчивой задачи ошибки эксперимента будут приводить к каким угодно решениям, а такие задачи решать не имеет смысла.

Пример:

При любом возмущении поверхности на границе раздела двух сред ртути и воды, кусок ртути начнет падать.

Рассмотрим пример , здесь a=1, b=1, c=0. Поэтому уравнения характеристик можно записать:

, , .

Параметр S можно исключить: 1-ое и 3-е разделим на 2-ое:

,

Из 1-го уравнения следует, что характеристиками уравнения (1) будут прямые (угол наклона 45º) .

Константу С определим при t=0 в точке пересечения характеристики с осью абсцисс. При t=0 x=x₀ (где x₀ – значение абсциссы в точке, где характеристика пересекает ось абсцисс), тогда .

Из равенства следует, что вдоль этой характеристики u=const. Вдоль каждой характеристики константа может быть своя, поэтому в общем случае, функция u не является постоянной, она постоянна только вдоль характеристики.

Для дальнейшего удобно записать общее решение уравнения (1). Введем новые переменные ξ=x-t, η=x+t, и сделаем замену, тогда:

,

При подстановке производных в уравнение, получим , откуда , следовательно, u зависит только от ξ, и общее решение .

Пример 1

Требуется найти решение в полосе, ограниченной отрезком оси абсцисс (x’;x’)’ и характеристиками, выходящими из точек x’ и x’’. Потребуем также, чтобы функция u принимала заданные значения φ(x) на отрезке x’x’’.

Полагая в общем решении t=0, найдем, что u(0,x)=f(x)=φ(x), откуда следует, что решение нашей задачи u(x,t)=φ(x-t) для конкретной характеристики x-t=x₀, проходящей через точку x₀ принимает значение u=φ(x₀). Это константа на выбранной характеристике.

Таким образом, решение поставленной задачи существует.

Пусть требуется найти решение уравнения (1) в полосе, ограниченной отрезком (0;t’) оси ординат и характеристиками, выходящими из точек t=0 и t=t’. И пусть функция u задана на указанном отрезке оси ординат u=ψ(t) (ψ – известная функция).

Для решения задачи воспользуемся снова общим решением. Константу С на характеристике определим при x=0: x=C+t, следовательно C=-t₀. t₀ – точка, в которой характеристика пересекает ось ординат. Тогда уравнение характеристик x=t-t₀ или x-t=-t₀. Общее решение запишем в виде произвольной функции u=f[-(x-t)].

Подставляя уравнение характеристик u=f(t₀) видим, что на характеристике u принимает постоянное значение f(t₀).

Если мы возьмем функцию f(ξ)?ψ(S), то наше решение будет иметь вид u=ψ[-(x-t)]. u на характеристике будет принимать значения u=ψ(t₀).

Таким образом, решение данной задачи также существует, мы его нашли. Пример 3

Рассмотрим теперь задачу поиска решения в полосе, показанной на рисунке с дополнительными данными, заданными на отрезках (0;x’) и (0;t’).

Разбивая эту полосу на 2 полосы характеристикой, выходящей из начала координат x=t, сведем нашу задачу к двум предыдущим, и, таким образом, найдем решение, для непрерывности которого необходимо только потребовать, чтобы φ(0)=ψ(0), т. е. функции φ и ψ в начале координат совпадают. Пример 4

Рассмотрим задачу для области, показанной на рисунке. При этом потребуем, чтобы на отрезке (x’;0) решение принимало значение u=φ(x), а на отрезке (0;t’) u=ψ(t). Эта задача похожа на предыдущую, но решение ее не существует. Если потребовать, чтобы решение задачи при t=0 принимало значение φ(x), то можем записать u=φ(x-t), где φ – известная (заданная) функция.

При x=0 эта функция принимает значение φ(-t)≠ψ(t). Таким образом, в общем случае удовлетворить второму условию невозможно, следовательно, поставленная задача не существует.

Пример 5 (пример неединственного решения)

Пусть требуется найти решение уравнения (1) в области, показанной на рисунке, ограниченной отрезком (a;b) оси абсцисс и характеристиками, выходящими из этих точек. И пусть дополнительные данные задачи заданы на отрезке (a’;b’): u=φ(x) при a’≤x≤b’. Для того, чтобы решить поставленную задачу продолжим непрерывным образом функцию φ(x) на весь отрезок (a;b), и продолженную функцию обозначим , a≤x≤b. Как мы знаем, решение такой задачи существует и единственно. Однако, осуществляя продолжение различным образом, мы получим различные решения задачи. Откуда следует, что исходная поставленная задача имеет неединственное решение.

Пример 6 (пример неустойчивого решения, рассмотрел Адамар)

Рассмотрим в полуплоскости y>0 решение задачи Коши для уравнения Лапласа: .

Пусть первое решение удовлетворяет при y=0 начальным условиям: u₁(x,0)=0, (2 условия - 2 произвольные функции).

Очевидно, решением этой задачи является тождественный ноль u₁(x,y)?0.

Вторую задачу поставим так, чтобы она удовлетворяла при y=0 условиям: (производная по нормали)

Простой проверкой можно установить (методом разделения переменных), что решением данной задачи будет .

При достаточно больших n начальные условия в данной задаче отличаются сколь угодно мало. В то же время растет как показательная функция . Из анализа мы знаем, что показательная функция растет быстрее любой степени аргумента, поэтому при больших n разность будет сколь угодно велика за счет . Следовательно, сколь угодно малому изменению данных задачи может отвечать неограниченное изменение решения.

На самом деле многие физические задачи являются неустойчивыми с точки зрения физики. Для их решения применяют регуляризирующие численные методы.

Пример:

Концы стержня находятся в воде T=const. Через промежуток времени определить то, что было раньше невозможно.