Некоторые сведения о совокупности решений уравнений с частными производными
В отличие от обыкновенных д. у. в случае уравнения с частными производными элементы общего решения являются не константами, а функциями. При этом, выбирая указанные функции с помощью дополнительных условий, мы получим частное решение уравнения в частных производных.
Рассмотрим ряд примеров:
Пример 1. Для функции u=u(x,y) решим д. у. 
. Очевидно, что функция u не зависит от x, следовательно, u=f(y), где f(y) – произвольная функция y.
Пример 2. Для функции u=u(x,y)
, 
, 
, 
Интеграл от произвольной функции также является произвольной функцией. 
. Таким образом, общее решение уравнения второго порядка содержит две произвольные функции f(y) и φ(x).
Пример 3. Рассмотрим более сложный пример 
.
Для упрощения сделаем замену ξ=y-x, η=y+x.
подставим производные в новых переменных в д. у.
, следовательно, 
.
u не зависит от η, следовательно 
, f – произвольная функция.
Пример 4. Найдем общее решение уравнения колебаний струны 
Разделим все уравнение на а2, которую считаем постоянной.
, обозначим at=y, 
.
Введем новые переменные ξ=x-y, η=x+y, и вычислим в этих переменных производные 1-го и 2-го порядков:
Найденные решения подставим в уравнение, получим 
.
При решении примера 2 мы получили, что решением такого д. у. является сумма двух произвольных функций 
. Возвращаясь к старым переменным найдем общее решение уравнения колебаний:
.
Пример 5. 
(якобиан равен нулю).
Следовательно, функции u и v зависимы и общее решение данного д. у. 
. Произвольные функции могут входить в общее решение достаточно сложным образом.
Пример 6. Рассмотрим простое д. у. 
, u=u(x,t). Общим решением будет 
, где φ – произвольная функция. Проверим, что данная функция есть общее решение:
, откуда 
.
, откуда 
.
Подставим все в д. у. 
, получили тождество.
Пример 7. Рассмотрим уравнение 4-го порядка
(бигармоническое уравнение). 
. Интегрируя по x получаем 
. Полученное выражение проинтегрируем по y: 
. Интегрируя еще раз по y получим 
.
Учитывая, что интегралы от произвольных функций также являются произвольными функциями, можно записать 
. Таким образом, общее решение уравнения 4-го порядка содержит 4 произвольные функции.
Пример 8. u=u(x,y,z), , 
.
Рассматривая приведенные примеры можно сделать предварительные выводы. Общее решение д. у. в частных производных зависит от произвольных функций. Число этих функций совпадает с порядком д. у., а число независимых переменных входящих в эти произвольные функции на единицу меньше, чем число независимых переменных входящих в д. у. Данный вывод подтверждается всеми существующими решениями уравнений в частных производных, однако существует достаточно общая теорема, которая фактически содержит это утверждение.
Теорема существования Коши-Ковалевской (для одного д. у.)
В этой теореме рассматривается д. у. порядка k, записанное в нормальном виде:
(1)
где x – некоторое выделенное направление в пространстве.
Рассматривается решение в окрестности точки x=0. Предполагается, что в окрестности начальной точки: x=0, y1=0, …, yn=0.Заданы дополнительные условия вида
(2)
Если функция f в уравнении (1) и функции φi(y1,y2,..,yn), входящие в начальные условия (2) аналитичны в окрестности начала координат, то задача Коши для уравнения (1) с условиями (2) имеет в этой окрестности единственное решение (без доказательства).
Из этой теоремы следует, что решение уравнения k-го порядка должно содержать k произвольных функций, которые можно определить из k начальных условий (2). Заметим, что решение состоит из произвольных функций, которые содержат число независимых переменных на единицу меньше, чем их число в уравнении.
Задача Коши состоит в том, чтобы построить решение уравнения (1), которое при x=0 принимает начальные значения (2).