Язык классической логики

Классическая логика предикатов является расширением классической логики высказываний за счет более глубокого и детального анализа структуры языковых выражений. Элементарными осмысленными выражениями языка логики высказываний являются атомарные формулы и соответствующие им атомарные высказывания типа: «Сегодня прекрасная погода», «Я получил двойку на экзамене» или «Политическая ситуация в настоящее время характеризуется стабильностью».

Очевидная слабость выразительных возможностей формального языка логики высказываний заключается в том, что в нем не проводится логический анализ структуры самого атомарного высказывания. Тот факт, что этот недостаток языка логики высказываний не является тривиальным, можно продемонстрировать на следующих примерах. Интуитивно ясно, что высказывание «Все политики — болтуны» можно эквивалентно преобразовать в высказывание «Не существует молчаливых не болтливых политиков», однако данная логическая интуиция не может быть прояснена средствами логики высказываний.

Формальный язык классической логики предикатов полностью содержит все логические правила образования и преобразования формул языка, принятые в логике высказываний. В то же время в нем проводится дальнейший анализ, связанный со структурой атомарных высказываний. По аналогии с силлогистикой, в которой простое категорическое суждение рассматривается в его субъективно-предикатной структуре, в атомарном высказывании языка логики предикатов выделяются предметные или индивидные символы и предикатные символы. Индивидные символы выражают в языке логики предикатов, как обычно, собственные имена или единичные термины, которые в качестве своих значений указывают на отдельные предметы, индивиды из фиксированного предметного индивидного универсума мышления. Например, собственное имя «Анна» указывает в качестве своего значения на человека в контексте фиксированной группы людей. Имя «Венера» в контексте астрономии указывает на планету Солнечной системы, а в контексте древнегреческой мифологии — на богиню любви. На отдельные, единичные индивиды из предметного универсума указывают и такие термины, как «этот человек», «данный прецедент», «определенная выше ситуация» и так далее. Термины, указывающие на единичные предметы из универсума мышления в качестве своих значений, будем называть индивидными константами.

Индивидные термины естественного языка и индивидные символы языка логики предикатов могут не указывать явным образом на определенный единичный индивид в качестве своего значения в некотором фиксированном предметном универсуме. К таким терминам можно отнести выражения «кто- то», «что-то», «некто», «нечто» и так далее. Значения подобных терминов мыслятся как «пробегающие» по предметному универсуму, когда каждый индивид из универсума мог бы быть, а мог бы и не быть значением данного термина.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов включает в себя не только высказывания, но и индивидные константы и переменные. Это, конечно, расширяет его выразительные возможности и логический потенциал.

Структура атомарного высказывания языка логики предикатов помимо индивидных символов — индивидных констант и переменных — содержит так называемые предикатные символы. Предикатные символы, или просто — предикаты, указывают в качестве своего значения на определенные свойства индивидов или на некоторые отношения между индивидами. Схемы предикатных выражений языка могут выглядеть следующим образом: « - прекрасен», « - любит -»,«—,-,- определяют деловой треугольник в советский период». Предикатные выражения языка фиксируют свойства, приписываемые некоторому индивиду в атомарном высказывании, — «Аполлон прекрасен», двуместные отношения между индивидами — «Миша любит Машу», трехместное отношение — «Администрация, партком и профком составляли рабочий треугольник учреждения в советский период», «Маша, Миша и Коля составляют пресловутый любовный треугольник», четырехместные отношения — «АВ, ВС, CD, DA — упорядоченная четверка, образующая стороны квадрата». Таким образом, каждое атомарное высказывание языка логики предикатов включает в свою структуру предикатный символ и один или несколько индивидных символов.

Пусть Р1 — одноместный предикат «быть доказанным», Р2 — двуместный предикат «кричать на», ах — «этот тезис», а2 — «жена», а3 — «муж». Тогда Р1(а1) можно прочесть как: «Этот тезис доказан», высказывание —iP2(a2, а3)дР2(а3, а2) читается: «Неправда, что жена накричала на мужа, это муж наорал на жену».

Чтобы прояснить вопрос, всему ли множеству индивидов из предметного универсума принадлежит некоторое свойство или только части индивидов универсума, в язык логики предикатов вводятся кванторы: квантор всеобщности — vxgt; читается: «Для всякого х», и квантор существования — Эх, читается: «Для некоторого х». Так, формула логики предикатов vхР(х) означает высказывание «Для всякого х, х обладает свойством Р»; формула ЭхР(х) означает — «Для некоторого х, х обладает свойством Р»; формула \/х1Зх2К(х1, х2) означает — «Для каж» дого xt существует х2 такой, что находится с х2 в отношении R». Логика предикатов иногда иначе называется кванторной логикой.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов обладает необходимыми средствами логического анализа структуры естественного языка. Этот факт приобретает важное значение не только для математики и естественнонаучного знания, но и для различных областей гуманитарного познания, где изучаются методы и средства логического моделирования: для лингвистики, экономики, социологии.

Введем далее строгие формулировки языка кван- торной логики, необходимые для исследования теории, методов и средств классической логики предикатов, а также ее применения к анализу естественного языка. Объективный формальный язык классической логики предикатов является расширением языка классической логики высказываний. Для целей, в которых будет использован данный объективный язык, его синтаксис ограничивается символами, принадлежащими к следующим категориям.

Индивидные символы. Язык классической логики предикатов (КЛП) содержит счетные множества индивидных констант а1? ..., ат, связанных предметных переменных Xj, ..., xm, а также свободных предметных переменных у4, ..., ут. Различные обозначения для свободных и связанных предметных переменных вводятся исключительно в технических целях. Различие свободных и связанных переменных определено ниже.

Предикатные символы. Язык КЛП содержит счетное множество n-арных предикатных символов Р", ..., Р^ для п = О и более. О-местные предикатные символы образуют счетное множество пропозициональных переменных языка классической логики высказываний (КЛВ).

Высказываниеобразующие операторы. Язык КЛП содержит следующие символы: —і — для одноместного оператора «неверно, что»; —» — для двуместной пропозициональной связки «влечет»; Vх — Для универсального квантора «для каждого х такого, что».

Технические символы. (, ) — скобки.

Определение 5.1. Понятия термина, атомарной формулы и формулы языка КПП определяются индуктивно совместными условиями:

Каждая свободная предметная переменная есть термин.

Каждая индивидная константа есть термин.

Если Рг — л-местный предикатный символ, п gt;0, t,, ..., tn — термины, то РЦ,, tn) есть атомарная формула.

Каждая атомарная формула есть формула.

Если Аи В—формулы,то —і А, А—» В есть формулы.

Если A(t) — формула, t — термин, х — связанная предметная переменная, не входящая в А, то V х А(х) есть формула.

Термины, атомарные формулы и формулы языка КПП образуются только в соответствии с вышепере- _ численными условиями.

Определение 5.1, как и последующие, является конструктивным. В нем понятия термина, атомарной формулы и формулы определяются через способ указания на их построение. Это делает возможным строго отличить осмысленные выражения языка КЛП от бессмысленных.

Определение 5.2. Понятия свободного и связанного вхождения предметной переменной в формулу А языка КЛП определяются индукцией по длине формулы А.

A = P(t, t, ,): вхождение переменной у в формулу

А свободно, если у = tj, 1 lt;ilt;n; А не содержит связанных вхождений.

А = V хВ(х): вхождение переменной у в формулу А свободно, если вхождение у в В свободно и у^х; вхождение переменной х в формулу А связано.

А =—і В: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если у (х) в В свободно (связано).

А = В —gt; С: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если свободно (связано) вхождение у (х) в формулу В или С.

Таким образом, предметные переменные могут входить в формулы свободно и связанными квантификацией, Например, в формуле КЛП:

Vx^Afc^y)—gt; -іЗх2В(х2,х1)) предметные переменные хх и х2 связаны соответственно универсальным квантором и квантором существования. Свободной в формуле является переменная у. Различия между свободным и связанным вхождением предметных переменных в формулу важны, так как они определяют различные области интерпретации для этих переменных. Универсумом значений для свободной предметной переменной является весь фиксированный универсум мышления в целом, в то время как для связанной предметной переменной область интерпретации ограничена областью действия соответствующего квантора.

Определение 5.3. Множество всех подформул формулы А определяется индукцией по длине А.

А = P(t,, ..., tn): формула P(t,,   tn) является единственной подформулой формулы А.

А = -г В: подформулами формулы А являются все подформулы формулы В и сама формула —і В.

А = В —gt; С: подформулами формулы А являются все подформулы формул В и С и сама формула В-у С.

А = v хВ(х): подформулами формулы А являются все подформулы каждой формулы вида B(t), где t — произвольный термин, и сама формула V хВ(х).

Свойство подформульности, определенное, может быть, излишне педантично, тем не менее, играет важную роль в построениях КЛП.

Определение 5.4. Символы: д, v , lt;-gt;соответственно для двуместных пропозициональных связок «и», «или», «взаимно влечет»; зх —для квантора существования «для некоторого х такого, что» определяются следующими дефинициями.

Дф 1.1              А а В =дф —gt;(а              —gt;в);

ДФ 1-2              A v В =Дф -iA -» В ;

Дф 1.3              А о В = дф (а —gt; в) л (в —gt; а) ;

ДФ 1-4              Эха(х) =дф —Л/х-,а(х) .

Таким образом, язык классической логики предикатов может быть сформулирован без ущерба для его выразительных возможностей, используя лишь отрицание, одну любую пропозициональную связку и один любой квантор. Остальные пропозициональные связки и квантор могут быть введены в теорию КЛП соответствующими дефинициями.

А

Определение 5.5. Формула А языка КЛП имеет негативно-нормальную форму, если в любой ее подформуле вида —і В формула В является атомарной, а сама формула А построена без использования двуместных пропозициональных связок —» и lt;-gt; •

Иначе говоря, формула языка КЛП находится в негативно-нормальной форме, если она содержит лишь связки конъюнкцию л и дизъюнкцию v , кванторы всеобщности v и существования э, а все отрицания —і в ней находятся лишь перед атомарными подформулами. Скажем, формула

3XjVx2((—iA(xj, у) л В(у)) v Vx3-iC(x2,x3))

имеет негативно-нормальную форму, если ее подформулы А и С являются атомарными формулами и подформула В не содержит отрицаний перед неатомарными подформулами.

Теорема 5.1. Пусть А — произвольная формула КЛП-языка. Тогда А lt;-gt; А0, где А0 есть формула А в негативно-нормальной форме (н.н.ф.).

Доказательство. Индукцией по длине подфор- мульности формулы А, используя тезисы КЛП и определение 5.4.

А = —iP(tt,А — формула в негативнонормальной форме по определению 5.5.

А = (В lt;-gt; С): А lt;эgt; (В -gt;¦ С)л (С -> в) по Дф 1.3

А = (в С): А « (-iB v С) по КЛВ А = -.(В л С): А lt;эgt; (-iB v -,С) по КЛВ А = -gt;(в v с): Ао(^Вл -,с) по КЛВ А = -iVxB(x): А lt;=gt; Зх-,в(х) по Дф 1.4 и КЛВ А = -іЗхВ(х): А о Vx—,в(х) по Дф 1.4 и КЛВ

Теорема доказана. Действительно, отрицание атомарной формулы есть формула в н.н.ф. Эквиваленция может быть представлена как конъюнкция импликаций по законам KJIB. Отрицание конъюнкции (дизъюнкции) эквивалентно по KJIB дизъюнкции (конъюнкции) отрицаний. Отрицание перед кванторами легко «проносится» в формулу по Дф 1.4.

Пример. Привести следующую формулу КЛП-язы- ка к н.н.ф.

—i(Vx(a(x) -gt; (в(х) v с(х)))л Зх(-іА(х)л В(х))) .

Решение. Методом эквивалентных преобразований, используя К JIB и дефиниции определения 1.4.

1. -Л/х(а(х) -» (в(х) v С(х))) v —»Зх(-іА(х) л в(х)) 1 л/ 1.

2. Эх-,(а(х) -» (в(х) vc(x))) vVx-,(-iA(x)aв(х)) jV/ ^

3. Эх—1(—iA(x) v в(х) v с(х)) v Vx-i(-iA(x) л в(х)) j -gt;/ ^
4. Вх(а(х)л -іВ(х)л -іС(х)) vVx(a(x) v-іВ(х)) j \// ^

Язык классической логики предикатов очень удобен для логического анализа силлогистических суждений и рассуждений.

1. Все S есть Р: Vx(S(x) —gt; Р(х)); -r3x(s(x) a-iP(x)).
2. Все S не есть Р: Vx(s(x) —» -iP(x)); -i3x(s(x) a p(x)).
3. Некоторые S есть Р: 3x(s(x)a Р(х)).
4. Некоторые S не есть Р: 3x(s(x)a -і Р(х)).
5. ТолькоSестьР: Vx(p(x)—gt; S(x)); —i3x(p(x)a-iS(x)).
6. Не все S есть Р: -gt;Vx(s(x) —gt; Р(х)); 3x(s(x) a -iP(x)).
7. Не все S не есть Р: —iVx(s(x) —gt; -iP(x)); 3x(s(x) л Р(х)).

Легко увидеть, что 3 lt;=gt; 7 и 4 lt;=gt; 6.

Можно сформулировать следующие эквивалентности, проясняющие смысл связей и логических отношений между квантором всеобщности и квантором существования.

1- VxA(x) о —i3x-iA(x) ;

Vx-iA(x) «• -іЗх a(x) ;

3. —iVxА(х) о Зх-іА(х) ;
4. —,Vx-iA(x) lt;=» ЗхА(х) .

В заключение раздела следует сказать несколько слов о смысле и ценности формализации научного знания, в том числе и гуманитарного. Формальные языки, подобные КЛП-языку, не ставят перед собой задачу заменить естественный язык. Естественный язык и формальный язык различны по своим целям и функциям. Естественный язык возникает и функционирует в процессе коммуникативной практики общения людей, их интеллектуального взаимодействия в гуманитарной и социокультурной деятельности, связанной с получением, обменом и хранением социально значимой информации. Естественный язык выразителен, метафоричен, гибок и многозначен. Для него эти характеристики подчеркивают важность роли, которую язык играет в развитии культуры и духовной жизни общества.

Формальный язык — это искусственный язык, построенный на основе точно сформулированных (синтаксических и семантических) правил. Синтаксис формального языка регулирует в нем правила осмысленных логических структур — терминов, формул, выводов и доказательств с точки зрения их эффективности, регулярности и универсальности для целей логического исследования оснований естественнонаучного или гуманитарного знания. Для гуманитарного познания эта задача оказывается тем более нетривиальной, что в основаниях, скажем, этики или юриспруденции заложены нормативные понятия, требующие для своего анализа особого нормативного искусственного языка с его специальной дедуктивной логикой суждений и рассуждений. Для социологии, политологии или эстетики требуется эффективный формальный аппарат, оценочные фрагменты естественного языка.

Следует отметить значение формализации языка для структурной лингвистики. Важную роль здесь играет само появление формального языка логики предикатов, поскольку в нем реконструируется и моделируется естественный язык в более строгом определении его основных признаков и существенных черт. При формализации определяются и фиксируются в языке логики основные категории языка, различные контексты его использования — экстенсиональный и интенсиональный, а также аспекты исследования — синтаксический, семантический и прагматический. При формальной реконструкции естественного языка в категориальном, контекстуальном и структурно-уровневом аспектах выделяется достаточно строгая система, которую можно назвать концептуальной моделью исследуемого фрагмента языка.

Ошибочно полагать, что формализация естественного языка преследует цели краткости и сжатости его изложения, в чем-то похожего на стенографирование. В действительности, направленность формального языка на поиск строгих, логически корректных, содержательно адекватных и конструктивных моделей для отображаемых объектов естественного языка заставляет часто поступаться в формализме принципами краткости и сжатости. Г. Фреге как- то заметил, что тенденция к краткости не всегда оправдана даже в языках математики, так как приводит к неточным выражениям и открывает дорогу ошибочным определениям. Логическую корректность нельзя приносить в жертву краткости выражения. Формальный язык, прежде всего, является инструментом эффективного представления логических и вне-логических связей и отношений формализуемого фрагмента языка. Во-вторых, формальный язык в строгой форме воспроизводит принципы логической дедукции, принятые в исследуемой области научного познания.

Упражнения

1. Следующие силлогизмы переведите на формальный язык классической логики предикатов. Поясните с точки зрения собственного логического опыта и логической интуиции, какие силлогистические рассуждения не являются логически корректными, надежными.

Пример.

Только философы эгоисты.

Нет циника, который не был бы эгоистом.

Следовательно, все циники — философы.

Ух(э(х) -gt; ф(х))

-.Зх(ц(х) л -тЭ(х))

Ух(ц(х) ф(х))

Силлогистическое рассуждение логически корректно, но не надежно, так как, но-види- мому, ложна первая посылка.

1. Только демократическое государство может быть правовым.

Тоталитарное, значит антидемократическое государство.

Нет правового государства с тоталитарным режимом.

2. Лишь глупые люди верят в конец света.

Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.

Всегда найдется глупец, который не верит в гармонию мира.

3. Каждого, кто верит в себя, можно считать человеком. Никто, ни один человек не верит политикам.

Все, кто верит политикам, не верят в себя.

4. Лишь идеалистом может быть юрист.

Все мошенники придерживаются материалистических взглядов.

Юрист не может быть мошенником.

5. Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве.

Только 12% членов парламента составляют юристы.

Не все, кто создают законы, являются юристами.

6. Этот политик — лжец.

Только болтуны могут быть лжецами.

Этот политик, помимо всего прочего, еще и болтун.

7. Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.

Настоящий бизнесмен не боится инфляции.

Некоторые юристы не опасаются инфляции.

8. Только политики верят в пользу насилия.

Не всякий любитель насилия любит собственных детей.

Некоторые политики не любят своих детей.

9. Только в споре рождается истина.

Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.

Лишь глупец или мошенник может достичь истины.

10. Ведь никто не будет отрицать, что Аполлон прекрасен. Лишь обладающие женской логикой относятся к прекрасной половине человечества.

Выходит, что Аполлону была свойственна женская логика.

11. Все люди смертны.

Некоторые писатели бессмертны.

Значит, некоторые писатели не люди.

12. Боязливый к прекрасному полу— боязлив и в жизни. Тот, кто знает логику, не боится женщин.

Трус не разбирается в логике.

13. Среди болтунов нет логиков.

Только болтун может стать политиком.

Этот логик, как и все его коллеги, никогда не станет политиком.

14. Иногда проходимец может оказаться ясновидцем. Если ты ясновидец, то не имеешь права лгать.

Существуют проходимцы, которые обязаны говорить лишь правду.

15. Лишь двоечник по убеждению — лентяй.

Ни один студент не любит получать двойки.

Значит, среди студентов нет лентяев.

16. Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.

Только демократическое государство может быть правовым.

Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.

17. Любой честный человек не любит лжецов.

Каждый принципиальный человек честен.

Принципиальные люди не любят лжецов.

2. Пусть задан некоторый перевод силлогизма из упражнения 5.1 на язык классической логики предикатов в форме: А, В=»С. Объединим посылки силлогистического рассуждения конъюнкцией, а полученный конъюнктур свяжем с заключением импликацией: (А л В)-»С. Представим результирующую формулу в негативно-нормальной форме.

Пример. (См. пример к упр. 5.1)

(ух(э(х) —gt; Ф(х)) л -]Эх(ц(х) л -]Э(х))) —gt; Ух(ц(х) —gt; ф(х)).

1. -і(ух(-,з(х) V ф(х)) А -Дх(ц(х) А -|Э(х))) V Vx(-iL((x) V ф(х)).
2. -іУх(-,з(х) vф(х)) vЭх(ц(х) л -іЗ(х)) vVx(-ilj(x) vф(х)).
3. Зх-і(-,з(х) vФ(х)) vЭх(ц(х) л -,з(х)) vVx(-ilj(x) vф(х)) .
4. Зх(э(х) а -іф(х)) vЭх(ц(х) л -іЗ(х)) vVx(-ilj(x) vф(х)).

Обоснуйте шаги эквивалентных преобразований

самостоятельно.

3. Пусть А — формула КЛП-языка в негативно-нормальной форме, определенная по условиям упражнения 5.2. Покажите, что —і А «В, где В — формула, полученная из А заменой всех кванторов \/х нamp; Эх и Эх на Vх? всех пропозициональных связок д на v и v на д ; всех отрицаний атомарных формул на сами эти формулы и всех атомарных формул на их отрицания.

Пример. (См. пример к упр. 5.2.)

А = Зх(э(х) л -,ф(х)) v Зх(ц(х) л ~,э(х)) v Ух(-,ц(х) v ф(х)).

-¦А = -і(зх(з(х) л -іф(х)) v Эх(ц(х) л -|Э(х)) v Ух(-gt;ц(х) v Ф (*)))¦

-¦А = -.Зх(э(х) л -gt;ф(х)) л -3х(ц(х) л -іЗ(х)) л -Л/х(-ц(х) v ф(х)).

-.А = Ух-,(э(х) л -|ф(х)) л Ух-,(ц(х) л -gt;э(х)) л Зх-.(-іЦ(х) v ф(х)).

-iA = Ух(-,э(х) v Ф(х)) л Ух(-,ц(х) л э(х)) л Зх(ц(х) v -іф(х)).

Определение 5.6. Пусть А — формула КПР-языка в негативно-нормальной форме, формула В получена из формулы А заменой всех встречающихся в ней

кванторов V х на 3 х, кванторов 3 х на V х; всех встречающихся в ней пропозициональных связок а на v и v на а gt;' всех встречающихся в ней отрицаний атомарных подформул на сами эти подформулы м всех встречающихся в ней атомарных подформул на их отрицания. Тогда формула В называется контр- дуалом для формулы А в КЛП-языке.

4. Докажите следующую теорему.

Теорема 5.2. Пусть А — произвольная формула КЛП-языка в негативно-нормальной форме, формула В является контрдуалом формулы А. Тогда і— -,А lt;=gt; В .

5. Следующие выводы КЛП переведите на язык силлогистики, подобрав подходящие примеры, сформулированные в естественном языке.

1. Vx(m(x) -gt; ~.Р(х)), 3x(s(x) А м(х))              3x-i(s(x)              -»              Р(х)).
2. —Зх(м(х) лр(х)), Vx-i(m(x) a -gt;s(x)) =gt; 3x(s(x) л-iP(x)).