Устранение эстетического и прагматического понятий простоты
Слово «простота» используется во многих различных смыслах. Теория Шредингера, например, очень проста в методологическом смысле, но в другом смысле ее вполне можно назвать «сложной».
Мы также можем сказать, что решение некоторой проблемы представляется не простым, а трудным, или что некоторое изложение или описание является не простым, а запутанным.Для начала я исключу из нашего рассмотрения применение термина «простота» к чему-то, подобному изложению или описанию. О двух изложениях одного и того же математического доказательства иногда говорят, что одно из них проще или элегантнее другого. Однако это различение представляет незначительный интерес с точки зрения теории познания. Оно не относится к сфере логики, а только указывает на предпочтение, имеющее эстетический или прагматический характер. Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда говорят о возможности решить одну задачу «более простыми средствами», чем другую, подразумевая, что это можно сделать легче или что для этого потребуется меньше умения или меньше знаний. Во всех этих случаях слово «простой» можно легко устранить: оно используется здесь во внелогическом смысле.
- Методологическая проблема простоты
Что же остается после того, как мы устранили эстетическое и прагматическое понятия простоты, и остается ли вообще что-либо? Существует ли понятие простоты, представляющее интерес для логика? Возможно ли различить теории, которые были бы логически неэквивалентны по своим степеням простоты?
Положительный ответ на эти вопросы вполне может показаться сомнительным, если вспомнить, сколь мало успеха принесло до сих пор большинство попыток определить это понятие. Шлик, например, дает отрицательный ответ на эти вопросы. Он говорит: «Простота представляет собой... понятие, указывающее на предпочтения, которые по своему характеру являются, частично практическими, частично эстетическими» [86, с.
148] Примечательно, что Шлик дает такой ответ как раз тогда, когда пишет об интересующем нас сейчас понятии, которое я буду называть эпистемологическим понятием простоты. Далее он продолжает: «Даже если мы не способны объяснить, что в действительности подразумевается нами под понятием «простота», нам все же следует признать тот факт, что любой ученый, которому удалось представить серию наблюдений при помощи очень простой формулы (например, при помощи линейной, квадратичной или экспоненциальной функции), сразу же убеждается в том, что он открыл3аК?Йлйк обсуждает возможность определения понятия законосообразной регулярности, и в частности возможность различения «закона» и «случая», на основе понятия простоты. В конечном счете он отвергает такую возможность, отмечая при этом, что «простота, без сомнения, является полностью относительным и неопределенным понятием и на его основе нельзя построить ни строгого определения причинности, ни четкого различения закона и случая» (там же). Приведенные цитаты из работы Шлика ясно показывают, какова в действительности та простота, которой мы желаем достичь. Это понятие должно дать нам меру степени законосообразности или регулярности событий. Аналогичная точка зрения выдвигается Фейглем, когда он говорит об «идее определения степени регулярности или законосообразности с помощью понятия простоты»^Эписсте?мологическое понятие простоты играет особую роль в теориях индуктивной логики, например в связи с проблемой «простейшей кривой». Сторонники индуктивной логики полагают, что мы приходим к законам
*' Я даю вольный перевод используемого Шликом термина «prag- matischer».
природы путем обобщения отдельных наблюдений. Если мы представляем различные результаты, полученные в некоторой серии наблюдений, точками в некоторой системе координат, то графическое представление закона будет иметь вид кривой, проходящей через все эти точки. Однако через конечное число точек мы всегда можем провести неограниченное число кривых самой разнообразной "формы.
Таким образом, поскольку имеющиеся наблюдения не позволяют единственным образом определить данный закон, индуктивная логика сталкивается, следовательно, с проблемой установления той кривой, которую следует выбрать из всех этих возможных кривых.Обычный ответ на этот вопрос звучит так: «Выбирай простейшую кривую». Витгенштейн, к примеру, говорит: «Процесс индукции состоят в том, что мы принимаем простейший закон, согласующийся с нашим опытом» [95, утверждение 6.363]. При выборе простейшего закона обычно неявно предполагается, что линейная функция проще квадратичной, окружность проще эллипса и т. д. Однако при этом не приводится никаких оснований, кроме эстетических и практических, ни для предпочтения этой конкретной иерархии степеней простоты любой другой возможной иерархии, ни для убеждения в том, что «простые» законы имеют какие-то преимущества по сравнению с менее простыми законами[79]. Шлик [86] и Фейгль [25] ссылаются в этой связи на неопубликованную работу Наткина, который, согласно сообщению Шлика, предлагает считать одну кривую проще другой, если усредненная кривизна первой кривой меньше усредненной кривизны второй, или, согласно описанию Фейгля, если она меньше, чем вторая кривая, отклоняется от прямой (эти описания неэквивалентны). Это определение на первый взгляд довольно хорошо согласуется с нашей интуицией, однако в нем упускается из виду самое важное. Согласно такому определению, к примеру, некоторые (асимптотические) отрезки гиперболы значительно проще круга,
и т. п. Впрочем я не думаю, чтобы этот вопрос можно было бы действительно разрешить при помощи таких «хитроумных изобретений» (как называет их Шлик).
К тому же все равно остается загадкой, почему мы должны отдавать предпочтение простоте, которая определена столь специфическим способом.
Вейль рассматривает и отвергает очень интересную попытку обоснования понятия простоты с помощью понятия вероятности: «Предположим, например, что двадцать пар значений (к, у) одной функции у =f(x) при нанесении на миллиметровую бумагу располагаются (в пределах ожидаемой точности) на прямой линии.
В таком случае напрашивается предположение о том, что здесь мы имеем дело с точным законом природы и что у линейно зависит от х. Это предположение обусловлено простотой прямой линии или, иначе говоря, тем, что расположение двадцати пар произвольно взятых наблюдений очень близко к прямой линии было бы крайне невероятным, если бы рассматриваемый закон был бы иным. Если же теперь использовать полученную прямую как основание для интерполяции и экстраполяции, то мы получим предсказания, выходящие за пределы того, что говорят нам наблюдения. Однако такой ход мысли может быть подвергнут критике. Действительно, всегда имеется возможность определить все виды математических функций, которые... будут удовлетворять двадцати нашим наблюдениям, причем некоторые из этих функций будут значительно отклоняться от прямой. И относительно каждой такой функции мы можем считать, что было бы крайне невероятно, чтобы наши двадцать наблюдений лежали именно на этой - кривой, если бы она не представляла собой истинный закон. В этой связи действительно важным является то, что данная функция или скорее данный класс функций предлагается нам математикой a priori именно в силу их математической простоты. Следует отметить, что параметры, от которых этот класс функций должен зависеть, не должны быть столь же многочисленны, как и наблюдения, которым эти функции должны удовлетворять» [90, с. 156] [80]3. Замечание Вейля о том, что
-«данный класс функций предлагается нам математикой a priori именно в силу их математической простоты» и его упоминание числа параметров согласуются с моей точкой зрения (как она будет изложена в разд. 43). 'Однако Вейль не разъясняет, что же представляет собой «математическая простота», а главное, он ничего не говорит о тех логических или эпистемологических преимуществах, которыми, как предполагается, обладает4 более простой закон по сравнению с более сложным .
Приведенные цитаты из работ разных авторов очень важны для нас, поскольку они имеют непосредственное отношение к нашей цели, то есть к анализу эпистемологического понятия простоты. Дело в том, что это понятие до сих пор не определено с достаточной точностью. Следовательно, всегда имеется возможность отвергнуть любую (к примеру, мою) попытку придать этому понятию точность на том основании, что интере- -сующее эпистемологов понятие простоты в действительности совершенно отлично от того понятия, которое предлагается. На такие возражения я мог бы ответить, что я не придаю какого-либо значения самому слову «простота». Этот термин был введен не мною, и я хорошо сознаю его недостатки. Я только утверждаю, что понятие простоты, которое я стремлюсь уточнить, помогает ответить на ге самые вопросы, которые, как показывают приведенные цитаты, часто ставились философами науки в связи с «проблемой простоты».