Тема 5. Сложные суждения
Теория к задачам 19-23: Сложные суждения - это суждения, в котором можно выделить правильную часть, которая являлась бы самостоятельным суждением. Сложные суждения образуются из простых с помощью так называемых логических союзов (логических операций): «НЕВЕРНО, ЧТО» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция), «ЛИБО, ЛИБО» (строгая дизъюнкция), «ЕСЛИ, ТО» (импликация), «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (эквиваленция).
Логический союз «НЕВЕРНО, ЧТО» (отрицание).
Обозначение: —А. Можно читать «не-А». Пример: «Неверно, что Земля - шар». Это унарная операция, т.е. относящаяся к одному суждению. Остальные операции - бинарные, т. к. соединяют два суждения.Логический союз «И» (конъюнкция). В предложениях конъюнкция может выражаться союзами «и», «а», «но», «да», «однако», «хотя» и т.д. Конъюнкцией можно также соединять предложения. Обозначение: л или &. Пример: «В корзине у Нелли лежат подберезовики и подосиновики». АлВ или А&В.
Логический союз «ИЛИ» (дизъюнкция). Обозначение: v. Пример: «В корзине у Нелли лежат подберезовики или подосиновики». АvВ. Эта дизъюнкция называется еще и слабой. В корзине у Нелли могут лежать одни подберезовики, или одни подосиновики, или то и другое вместе.
Логический союз «ЛИБО, ЛИБО» (строгая, сильная дизъюнкция). Обозначение: v. Пример: «В корзине у Нелли лежат либо подберезовики, либо подосиновики». АуВ. В корзине у Нелли могут находиться либо одни подберезовики, либо одни подосиновики, но не оба вида грибов вместе.
Логический союз «ЕСЛИ, ТО» (импликация). Обозначение: з. Пример: «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первая ситуация с необходимостью вызывает вторую. Суждения, выражающие подобные связанные ситуации, соединяются импликацией. Обозначим: А - «Через проводник проходит электрический ток», В - «Проводник нагревается». Символическая запись условного суждения: А^В или АзВ.
В этом случае суждение А называется основанием, а В - следствием.Логический союз «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (эквиваленция). Обозначения: -о. Пример: «В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов по Цельсию». Символически такое суждение можно записать так: А=В, или так: А—В. Первая ситуация с необходимостью вызывает вторую, а вторая ситуация с необходимостью вызывает первую. Суждения, выражающие подобные связанные ситуации, соединяются эквиваленцией.
Теория:
Таблицы истинности.
А) Напомним: суждение считается истинным, если оно соответствует действительности; и ложным, если оно не соответствует действительности. Например, «Уголь - черный» - истинное суждение, «Уголь - белый» - ложное суждение. Суждение А может быть истинным, или ложным. Если А - истинно, то отрицание А - ложно, и наоборот. Таблица истинности для отрицания ( I ): А —А И Л Л И Для остальных операций составим общую таблицу истинности (II):
А В АлВ АvВ АvВ А—В А=В И И И И Л И И И Л Л И И Л Л Л И Л И И И Л Л Л Л Л Л И И Запомнить её легко, если понять, как она заполняется:
Конъюнкция А л В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики и подосиновики». А - «В корзине у Нелли лежат подберезовики», В - «В корзине у Нелли лежат подосиновики». Тут может быть четыре варианта ситуаций. Рассмотрим эти ситуации - «смотрим в корзину». Первая ситуация: в корзине, действительно, есть подберезовики. - А - И; и, действительно, есть подосиновики В - И. Значит, общее суждение (АлВ) будет истинным. Вторая ситуация: в корзине есть подберезовики, но нет подосиновиков: А - И, а В - Л. Значит, общее суждение, что лежат те и другие, - ложное. Третья ситуация аналогична второй. Четвертая ситуация: нет ни тех, ни других. Значит, общее суждение, что лежат те и другие - ложное. Итак, конъюнкция (АлВ) истинна только в одном случае, если оба операнда (А и В) истинны. В остальных случаях (если хотя бы один из операндов ложен) конъюнкция ложна.
Дизъюнкция А vB.
«В корзине у Нелли лежат подберезовики или подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Значит Аv В - истинно. 2) А-И, В-Л. Значит, Аv В (лежат подберезовики или подосиновики) - истинно. 3) А-Л, В-И. Значит, Аv В - тоже истинно. 4) А-Л, В-Л. Нет ни того, ни другого. Значит, АvВ - ложь. Итак, дизъюнкция истинна, если хотя бы один операнд истинен. Дизъюнкция ложна, если только оба операнда ложны.Строгая дизъюнкция А vB. «В корзине у Нелли лежали либо подберезовики, либо подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение в случае строгой дизъюнкции будет ложным. 2) А-И, В-Л. Аv В - истинно. 3) А-Л, В-И. Ау В -истинно. 4) А-Л, В-Л. Аv В - ложь.
Импликация А —В. «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Рассмотрим ситуации: 1) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), В - И (проводник нагревается). Общее суждение А—В будет истинным. 2) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), но В - Л (проводник не нагревается). Такая ситуация невозможна, поэтому А—В - ложь. 3) АЛ, В-И: А—В - считается истинным, потому что проводник может нагреваться и по другим причинам. 4) А-Л, В-Л: А—В - истина. Итак, импликация (А—В) истинна во всех случаях, кроме одного, когда основание (А) истинно, а следствие (В) ложно. В таком случае импликация ложна.
Эквиваленция А =В. «В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов по Цельсию». Обозначим: А - «Вода замерзает», В - «Температура ниже нуля градусов». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение будет истинным. 2) А - И, В -Л: Вода замерзает, а температура не ниже нуля градусов. А = В - ложно. 3) А - Л, В - И: А = В - ложно. 4) А - Л, В - Л (Вода не замерзает, температура не ниже нуля градусов): Общее суждение (А = В) - истинно, так как соответствует действительности.
Таблицы I и II будут опорными для составления других таблиц истинности.
Законы пронесения отрицания:
—I (А л В) = —| А v —В;
—I (А v В) = —I А л —В;
—I (А — В) = А л —В;
— — А = А.
Для решения многих логических задач необходимо выяснить: является ли одна формула логическим следствием других.
Определение: Из множества формул F1, F2, ...Fn логически следует формула F, тогда и только тогда, когда импликация (Р1лР2л..
.лБи)—F - является логическим законом.Пример: Пусть формула F1 - АлВ, а F - АvВ. Определить, следует ли из F1 формула F.
Составим таблицу истинности для формулы (АлВ) ^ (AvB); Порядок операций ^ 1 3 2 А В (АлВ) ^ ^В) И И И И И И Л Л И И Л И Л И И Л Л Л И Л Импликация (здесь: главный знак формулы) всегда принимает истинное значение. И, так как импликация F1^F2 является логическим законом, значит, из формулы F1 логически следует формула F.
Сокращенный метод.
Для установления отношения логического следования таблицы истинности составлять не обязательно.
Применим рассуждение от противного. Допустим, формула (Ф1^Ф2) не всегда истинна, т.е. она принимает значение ложь при какой-нибудь интерпретации ее аргументов. Тогда в этом случае формула Ф1 должна принимать значение истина: (АлВ) = И, а Ф2 - ложь: (АvВ) = Л. Из первой формулы следует, что А=И и В=И, а из второй формулы следует, что хотя бы один из аргументов (А или В) должен принимать значение ложь. Пришли к противоречию. Значит, нет таких интерпретаций аргументов А и В, при которых эта формула принимает значение ЛОЖЬ. Значит, формула (Ф1^Ф2) всегда истинна. Если бы нашлись такие А и В, при которых не было противоречия, то данная формула не была бы тождественно истинной, а значит, не было бы отношения логического следования.
Задача 19. Переведите на символический язык сложные суждения:
Пример:
«Если у человека много доброго и мало злого, то он - достойный муж. Если у человека ничего доброго и много дурного, то он - низкий человек» (Из наследия Чжан Чао).
Решение:
Обозначим: А - «У человека много доброго», В - «У человека мало злого», С - «Человек - достойный муж», D - «У человека много дурного», Е - «Человек - низкий».
((АлВ)^-С) л ((—АлD)^¦Е).
Задачи 20 и 21. Построить таблицы истинности. Определить, является ли выражение логическим законом.
Пример 1: Составить таблицу истинности для выражения: ((А^В) л—В)^—А.
Решение: Сначала определяем порядок выполнения операций. Ясно, что сначала мы можем вычислить значениях в столбцах (А^В) [1] и —В [2].
После конъюнкции (А^В) л—В) [3] вычисляем —А [4]. И затем вычисляем значения главного знака формулы - импликации ^ [5] между (А^В) л—В) [3] и —А [4]. Для выполнения каждой операции смотрим в опорную таблицу истинности соответствующих операций. Например, третье действие - конъюнкция «(А^-В)л—В» [столбец 3] в первой строке интерпретаций принимает значение «Л», так как И [1] л Л [2] = Л. Порядок операций ^ 1 3 2 5 4 А В ((А^В) л —В ^ —А И И И Л Л И Л И Л Л Л И И Л Л И И Л Л И И Л Л И И И И И Пример 2: Составить таблицу истинности для выражения((А^В)л(ВvС))^(АvС). Определить, является ли выражение логическим законом.
Теория: Выражение, принимающее значение «истина» при любых интерпретациях переменных, является логическим законом.
Решение: Так как в данном выражении три суждения - А, В и С, то в таблице необходимо рассмотреть 8 интерпретаций значений переменных.
Порядок операций — 1 3 2 5 4 А В С ((А—В) л (HvO) — (А^) И И И И И И И И И И Л И И И И И И Л И Л Л И И И И Л Л Л Л Л И И Л И И И И И И И Л И Л И И И Л Л Л Л И И И И И И Л Л Л И Л Л И Л В главном знаке (столбец 5) выражение принимает значение «ложь» в шестой строке интерпретаций. Поэтому данная формула не является логическим законом.
Задача 22. Произведите отрицание данного суждения, используя законы пронесения отрицания:
Пример 1: «Он хорошо играет в шашки или в шахматы».
—I (А v В) = —| А л —В;
Решение: «Неверно, что он хорошо играет в шашки или в шахматы» эквивалентно «Он плохо играет в шашки и плохо играет в шахматы».
Пример 2: «Если воду охлаждать, то ее объем уменьшится».
—I (А — В) = А л —В;
Решение: «Неверно, что если воду охлаждать, то ее объем уменьшится» эквивалентно «Воду охлаждали, но ее объем не уменьшился».
Задача 23*: Правильно ли построено рассуждение?
Пример: Если Паркинсонс был в Чикаго, то он не мог быть в это время в Детройте, а значит, совершить это преступление. А он не был в Чикаго в это время. Значит, он мог совершить преступление.
Решение: Запишем рассуждение на символическом языке:
((А——В) л (—В——С)л—А)—С.
Если данная формула является логическим законом, значит, рассуждение правильное. Для того, чтобы проверить является ли формула логическим законом, можно построить таблицу истинности, а можно применить сокращенный метод.
Нетрудно определить, что формула рассуждения не является логическим законом, а значит, такое рассуждение неправильное.