Тема 1. ЛОГИЦИЗМ

С середины XIX в., в связи с появлением понятия «математическое доказательство», создается возможность обогащения аристотелевской логики. Интерес усиливается с открытием неевклидовой геометрии и введением понятия «парадокс» в математике в конце XIX в. В связи с этим нормы аристотелевской логики повсеместно пересматриваются, подвергаются тщательному анализу и критике: Дж. Буля (1815-1864), А. де Моргана (1806-1871), Ч. Пирса (1839-1914), Г. Фреге (1848-1925), Б. Рассела (1872- 1870), А. Уайтхеда (1861-1947), Г. Гильберта (1862-1943). Для обоснования логицизма предпринимаются попытки сведения к понятиям логики всех исходных понятий математики. Г. Фреге проблеме логического обоснования чистой математики посвящает книгу «Основные законы математики». В начале XX в. происходит арифметизация действительных чисел и других систем объектов большой мощности, что приводит к пониманию бесконечной совокупности как одного объекта, а множества всех таких объек-

тов - как новой совокупности.

Появление концепции логицизма в математике - вполне объяснимое явление. Именно в математике логические методы играют действительно первостепенное значение, ведь любая математическая теорема выводится из принятых заранее аксиом сугубо логическим путем. После в работах таких логицистов, как Р. Де- декинд и Ф. Рамсей, основным аргументом в пользу сведения математики и логики выступало раскрытие роли дедуктивного рассуждения и обобщения аналитических предложений в математике. Теорией данного рассуждения в процессе обобщения объявлялась логика.

Георг Кантор (1845-1918). Родился в Петербурге. Является основоположником теории множеств. Ему принадлежит огромный вклад в развитие теории трансфинитных (бесконечных) чисел. Сформулировал понятие множества множеств и разъяснил его как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных данному множеству. Нашел принцип сравнения множеств. Установил, что множество всех целых чисел, множество всех рациональных чисел и множество всех алгебраических чисел имеют одинаковую мощность и потому между ними можно установить взаимооднозначные соответствия.

Кантор ввел понятия «множество» и «элемент». Множество - это любое собрание определенных и различимых объектов, что мыслимо как единое целое, но элементы различны. Множества были поделены на конечные и бесконечные. Когда речь идет о конечных множествах, вопрос об отличии его от другого не возникает, но как отличить одно бесконечное множество от другого бесконечного? Существует ли одно бесконечное множество или можно говорить о бесконечности различной степени? Для того чтобы сравнить бесконечные множества по величине, Кантор вводит понятие «мощность множества». Два множества имеют одинаковую мощность, если элементы одного сопоставимы с элементами другого множества так, что образует с ними пары соответствующих элементов. Такое отношение между множествами называются одно-однозначным соответствием. Другими словами, это

эквивалентные множества, когда каждый элемент одного является и элементом другого множества, они состоят из одних и тех же элементов.

Опираясь на абстракцию абсолютной, завершенной бесконечности, Кантор отметил, что мощность континуума (непрерывное образование, такое, как совокупность всех точек отрезка, множество всех действительных чисел и т. д.) действительных чисел больше мощности счетного множества, и сформулировал вопрос: существует ли множество более мощное, чем множество всех целых чисел, но менее мощное, чем множество всех действительных чисел.

В начале XX в., еще при жизни Кантора, в связи с обнаружением парадоксов в его теории множеств доверие к ней было подорвано. Усилиями Б. Рассела, А. Уайтхеда, Л. Бауэра, А. Гей- тинга, Г. Вейля, Е. Цермело и др. появляется новая теория множеств, которая и предлагает глобальный пересмотр всех рациональных основ науки. В результате этих пересмотров и перенесения в логику математических методов анализа оформляется цельная, стройная логическая теория, которая позже ученое сообщество назовет классической, основное назначение которой - анализ математических рассуждений. Классическая логика сегодня определяется как раздел современной логики и включает в себя классическую логику высказываний и логику предикатов, опирающихся на принцип двузначности, в соответствии с которым всякое высказывание является или истинным, или ложным.

В начале XX в. обоснованием логицизма занялся Б. Рассел. В 1903 г., сначала в письме Фреге, а после в работе «Принципы математики» Рассел выступает с доказательством, что сведение математики к логике вполне возможно и что это обосновывается всей историей науки и философии. Свою завершенную форму логицизм находит в трехтомном труде «Принципы математики» (1910-1913) Б. Рассела и А. Уайтхеда. Основную цель своего труда авторы видели в разработке целой системы символической логики, которая исчерпывающим образом раскрывала бы логические зависимости между математическими объектами.

Однако идея логицистов не смогла получить успешного развития.

Узнав об этом, Г. Фреге отказался от дальнейших попыток изложить идею чистого логического обоснования чистой математики. Парадокс Рассела поразил математиков. Под угрозой оказались основания математики и сама формальная логика, частью которой был парадокс Рассела. Математическое сообщество раскололась на три части.

Одни математики решили, что при рассмотрении множеств нельзя просто полагаться на интуицию, хотя множество является фундаментальным понятием математики и человеческого мышления. Другие - стали отвергать всю теорию множества, называя ее ошибочной и несостоятельной. Третьи - предложили исходить из того, что парадоксы не затрагивают теории множеств по той причине, что они возникают из-за определений и рассуждений, искажающих математическую интуицию и существенно отличающихся от правомочных выводов, обычно применяемых в математике. На основе именно этого подхода начинается работа по уточнению тех представлений, которые лежат в основе теории множеств, и более четкому определению тех рассуждений, которые ведут к антиномиям. Самым подходящим оказался аксиоматический метод4, который возникает в 1908 г. на основе двух аксиоматических систем, разработанных Б. Расселом и Е. Цермело независимо друг от друга.

Самого же Рассела его парадокс не смог заставить отказаться от идей логицизма. Он только изменил тактику обоснования. Во избежание парадоксов в процессе осуществления логицисти- ческого тезиса, Рассел и Уайтхед вводят теорию типов5. Рассел предложил обозначить каждый логический объект некоторым неотрицательным числом, тем самым установить тип данного объекта и расположить все логические объекты по своим местам в иерархии типов. Суть теории в том, что никакое множество не

должно содержать такие элементы, которые определялись бы в терминах самого множества.

Так, логика стала развиваться за рамками силлогистического ряда, и, кроме суждения «все люди смертны», стала возможна его численная форма «два человека смертны». Как писал Френк Пламптон Рамсей, Рассел и Уайтхед доказали, что математика является частью логики. Все идеи чистой математики могут быть не определены явно в математических терминах, а включены в сложную мысль любого описания. Все пропозиции математики могут быть выведены из пропозиции формальной логики.

Тем не менее в целом логицизм остался в истории как не совсем удавшаяся попытка сведения логики с математикой. Советский логик Д.А. Бочвар писал: математика не выводима из формальной логики, так как для построения математики необходимы аксиомы, которые устанавливают определенные факты, а такие аксиомы обладают уже внелогической природой [4, 382]. Американский логик А. Черч по проблемам логицизма высказывался также без энтузиазма, утверждая, что попытки свести математику к логике удались не более чем наполовину [24]. Американец X. Карри называл понятие «логицизм» расплывчатым, так как термин «чистая логика», с которой связан логицизм, сам не определен и нарушает закон: определение должно быть ясным, четким однозначным (ошибка: «определение неизвестного через неизвестное»).

Однако логики и математики не склонны отрицать все результаты логицизма. Так, А. Черч утверждает его пользу в двух следующих моментах: сведение математического словаря к неожиданно краткому перечню основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики, и обоснование всей существующей

математики с помощью сравнительно простой унифицированной системы аксиом и правил вывода.

Все те работы и открытия, которые возникают позже, подвергая жесткой критике как математические методы анализа, так и их результаты, подпадают под определение неклассической логики.

В 1912-1918 гг. американский логик Кларенс Ирвинг Льюис (1883-1964), основоположник концептуалистического прагматизма, разработал модальную логику и применил ее к формализации логического исследования. В книге «Очерки символической логики» он изложил исчисление, в которое вводилось новое понятие «строгая импликация».

Позже были разработаны аксиоматические системы модальной логики Курта Геделя (1906-1978), Альфреда Тарского (1902-1983), Герхарда Генцена (1909-1945) и др.

В 1920 г. поляк Ян Лукасевич (1879-1956) создает трехзначную, четырехзначную, многозначную логику. Год спустя систему многозначной логики независимо от Лукасевича разрабатывает американец Э.Л. Пост (1897-1954).

В 1925 г. советский математик и логик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) в статье «О принципе tertium поп datur» доказывал, что интуиционистская логика может быть истолкована как исчисление задач, так как в задаче говорится о построении (конструировании) объекта (а не об объективной истинности или ложности предложения). Это обоснование открыло путь к созданию конструктивной логики. Так, классическая арифметика может быть переведена на интуиционистский язык, и он скорее обосновывает, чем опровергает, арифметику. Стало возможно по-другому взглянуть на аксиомы арифметики6.

В 1928-1929 гг. советский логик и математик Василий Иванович Гливенко (1896-1940) сформулировал систему аксиом интуиционистского исчисления высказываний. В 1936 г. К. Бирк- гоф (1884-1944) выступает с работами по логике квантовой ме-

ханики. Советский логик Александр Александрович Зиновьев

(1922-2006) разрабатывает комплексную логику.

Все эти логические системы получили название неклассической логики. Таким образом, неклассическими называются разные современные логические направления, которые возникают в начале XX в.

Необходимо отметить, что принципиально нового не было ничего. В основном это те идеи, которые фиксировались еще древнегреческими и средневековыми мыслителями, но которые в ходе оформления логики как науки эпохи Нового времени остались за ее рамками. Все эти направления, находясь в известной оппозиции к классической логике, представляют собой попытки усовершенствования, дополнения и развития классических логи-ческих идей, которые составляют основу современной логики.

Основой любой логической системы объективно являются соответствующие работы Аристотеля, который ввел принцип двузначности. Однако сам Аристотель данный принцип не считал универсальным и отмечал, что на суждения о будущем, об объектах, недоступных человеческому восприятию, о неустойчивых, переходных состояниях, о несуществующих объектах и т. д. он не распространяется.

Нельзя утверждать, что двузначность или многозначность логических значений являются имманентными человеческому мышлению. Есть проблемы, которые успешно решаются в рамках двузначной логики, но есть и такие, для решения которых они не пригодны. Появление многозначной логики потребовало по-дру- гому взглянуть на саму науку о способах организации знания и осознать, что логика как наука находится в процессе активного развития. Многозначные логики имеют такие функции, которые невыразимы на языке и способами двузначной логики, они поглощаются двузначностью и тем самым остаются за рамками ло-гической имитации. Так, в двузначной логике имеются только четыре разные функции, а в трехзначной - соответственно их двадцать семь. Трехзначная логика наряду с А и не-А допускает третью возможность - «неизвестно, а или не-а», т. е. кроме истины и лжи появляется третье значение - неизвестность. В таком случае закон исключенного третьего аннулируется и появляется

закон исключенного четвертого: А V-| А VА. Сведения о трехзначной истинности (истинно, ложно, неопределенно) можно найти у У. Оккама (1285-1349).

По идее введение многозначности должно позволить более адекватно выявлять логическую структуру, что обеспечит более полноценный информационный поиск и создаст возможность построить общую теорию и формализованным языком, логическими средствами точнее имитировать естественный язык. Кроме того, исследования неклассической логики могут быть очень полезны и интересны и по методологическим причинам: они дают возможность принять другую интерпретацию смысла пропозициональных связок и другую точку зрения на проблему истинности предложения.

Необходимо отметить расхожее мнение о том, что методология некоторых формализованных теорий представляет большой интерес ввиду их связи с топологией и теорией решеток. Топологическая логика (греч. - место) считается направлением неклассической логики, которая исследует относительное место двух двухместных высказываний в ряду значений истинности от 0,1,2,..., до п. когда значение 0 рассматривается как самая высокая степень истины (абсолютно истинно), значение п - как самая низкая (абсолютно ложно)7.

Топологическое пространство - это непустое множество, обозначаемое цифрой 1, элементы которого называются точками. Для топологического пространства выполняются следующие аксиомы:

1 (А В) = -| АГ\-\ В, где А и В - подмножества топологического множества;

АГ)В<АГ)В;

А < (АГ\В).

Каждому подмножеству топологического множества А соответствует множество нс-А. которое называется замыканием множества А и которое тоже содержится в топологическом пространстве.

В топологической логике высказывания упорядочены по степеням истины в следующем специфическом смысле: имеют место два двухместных отношения «равноистинно» и «менее ис-

тинно», которые обозначаются соответственно «G» «W». В терминах этой логики невозможно выразить точное место одного высказывания, а возможно только выразить относительное место двух предложений в ряду истинности.

Пример: если дано относительное место двух пар высказываний (х/, y,j и fx 2, у 2). то топологические таблицы истинности отвечают на вопрос следующего типа: какое относительное место имеет (xi Vу 1) относительно fx2 Vу2)? При этом указывается на следующее различие между двузначной и многозначной логиками, с одной стороны, и топологической логикой - с другой, в решении проблемы истинности: если первые при помощи таблиц истинности могут установить, какие формулы являются тавтологиями (тождественно-истинными), то в топологической логике такой возможности нет, так как нет выделенных и невыделенных значений истинности.

Как и в любой системе логики, в топологической логике самой важной задачей считается установление правил логического следования. Для обозначения отношения логического следования используется знак « V ». На левой стороне от него записывают

8

посылки, а на правой - заключение .

Адепты топологической логики видят ее отличие от двузначной в том, что в обычной двузначной предполагаются данны-ми точные значения истинности элементарных (простых) высказываний: каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Истинное значение сложных высказываний является функцией от истинных значений элементарных высказываний. Такая же картина в многозначных логиках, с той разницей, что здесь возможно три и более значения истинности. В отличие от них, в топологической логике невозможно точное (числовое) значение истинности одного высказывания. Возможно лишь выразить относительное место двух высказываний в ряду истинности. То есть в топологической логике для двух высказываний предполагается только их логико-топологическое отношение, топологическое значение истинности. Так, если даны логико-топологические отношения четырех высказываний X/, уг х2, у2, то по топологическим таблицам истинности можно получить, например, логико-топологичес- кое отношение двух сложных высказываний»: X/ Vyt х2 Vу2.

Достоинством топологической логики считают прежде всего то, что она некоторым образом соответствует понятию относи-тельной и абсолютной истины в смысле степеней приближения к абсолютной истине. При этом делается оговорка, что топологической логикой не охватываются сами эти различные степени приближения между высказываниями и положением вещи. Однако утверждается, что топологическая логика может быть истолкова-на так, что она охватывает исторический аспект учения об истине, поскольку предпринимаются попытки ввести в топологическую логику в качестве критерия истинности практику.

Исходя из этого, вводится следующее определение топологического значения истинности: «равноистинно», «менее (более) истинно».

Два высказывания х и у являются равноистинными тогда и только тогда, когда они утверждаются или отвергаются теми же самыми видами практики.

Высказывание х является более (менее) истинным, чем высказывание у, если и только если х подтверждается (отвергается) определенной практикой, отвергающей (подтверждающей) в то же время высказывание у.

При этом отмечается, что данное определение вносит некоторый элемент относительности и неопределенности в силу относительности критерия истины.

Недостатками топологической логики считают то, что она строится не на объективном языке, а на метаязыке второй ступе-ни, что существенно усложняет оперирование логикой. Кроме того, пока не удается найти практические приемы для установления равенства или различия истины данных высказываний на данном конкретном уровне развития человеческого знания.

В любом случае в топологической логике отражаются только некоторые логические отношения между относительными высказываниями и совсем не учитываются их отношения к абсолютно истинным высказываниям.