Существует ли традиционная совершенная интегральная силлогистика с числом базисных суждений между 20 и 50?

Аннотация. Проведены новейшие исследования по выявлению всех сильных правильных модусов интегральной силлогистики традиционного типа с базисным множеством из 42 категорических суждений различной семантической структуры с помощью предложенного автором ранее метода вычисления результирующих отношений.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

Is There a Traditional Perfect Integral Syllogistics with a Number of Basic Judgments between 20 and 50?

Abstract. The latest research have been carried out to identify all the strong correct modes of the integral syllogistic of the traditional type with a basic set from 42 categorical judgments of different semantic structure using the method of calculation of the resulting relations offered earlier by the author. The syllogistics constructed in the subsection, perfect in a certain sense, significantly expands the deductive possibilities of traditional syllogistics from Aristotle's judgments and can serve as its alternative in creating artificial intelligence systems.

Keywords: syllogism, syllogistic, resultant relations, solution of syllogisms, constructing of syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистика из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими позднее обозначения A, E, I, O и c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием правильных модусов из них [2].

Цель публикации

Учитывая большой практический интерес к этому эффективному и простому методу, вполне доступному для не математиков, а также тот факт, что указанный метод пока ещё остается малоизвестным широкому кругу читателей и специалистов по логике, автор считает целесообразным изложить применение метода вычисления результирующих отношений в данной публикации более подробно на примере построения традиционной интегральной силлогистики из 42 категорических суждений с различной семантикой. Указанная силлогистика является в некотором смысле совершенной (см. ниже), обладает гораздо большими дедуктивными возможностями, чем силлогистика из одних только суждений Аристотеля, и может служить хорошей альтернативой классической силлогистике при рассуждениях на естественном языке наряду с другими силлогистиками, построенными ранее [5, 6]. Интегральная силлогистика из 42 выбранных суждений с различной интерпретацией кванторных слов рассматривается впервые.

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [7] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [8] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.

Таблица 1

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией

универсума рассуждений

Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько).

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

Таблица 3

Базисные суждения традиционной совершенной интегральной силлогистики из 42 суждений

Интерпретация кванторных слов в суждениях таблицы 3 указана в явном виде.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления, как минимум, всех её двухпосылочных законов, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [14].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений данной силлогистики выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя). При этом если результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из базисных суждений (при наличии правильного модуса), или полностью совпадают с логической структурой тождественно-истинного суждения, содержащей все 7 отношений (при отсутствии правильного модуса),

для всех возможных вычислений, то данная силлогистика обладает свойствами силлогистической плотности и однозначности результатов.

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO-^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*) '^(OI*)', A 'II'^AA 'I, AA 'I'^AII', (A 'II') '^(AA 'I)', (AA'I') '^(AII)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры. Ниже приведены примеры вычислений для первой фигуры силлогизма для характерных случаев, соответствующих разным степеням неопределенности базисных суждений рассматриваемой интегральной силлогистики, связанных с введением в неё новых по сравнению с [6] суждений. Для остальных случаев примеры вычислений представлены в работе [6]. Правильные сильные модусы выделены. Для выявления всех правильных модусов с 42 базисными суждениями необходимо произвести 42*42 = 1764 вычисления. Если же следовать по классическому пути отбраковки неправильных модусов, то потребовалось бы проанализировать 42*42*42 = 74088 модусов в каждой фигуре силлогизма.

Примеры вычислений для первой фигуры силлогизма

1) 1, 1 1:

II'I (15), AA' (6) II'I (15);

15, 6 — 15;

P.O.: 15.

2) 1, 1 3:

II'I (15), A 'I (7) IO (7,13,15);

15, 7 — 7, 13, 15;

P.O.: 7, 13, 15.

3) 1, 1 -:

II'I (15), II'I (15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

4) 1, 2 1:

II'I (15), AAA' (6, 9) II'I (15);

15, 6 — 15; 15, 9 — 15;

P.O.: 15.

5) 2, 1 1:

AAA' (6, 9), II'I (15) — II'I (15);

6, 15 — 15; 9, 15 — 15;

P.O.: 15.

6) 1, 2 2:

AA' (6), AAA' (6, 9) — AAA' (6, 9);

6, 6 — 9; 6, 9 — 6;

P.O.: 6, 9.

7) 2, 1 2:

AAA' (6, 9), AA' (6) — AAA' (6, 9);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6;

P.O.: 6, 9.

8) 1, 2 3:

II'I (15), A (9,13) — OI (7,13,15);

15, 9 — 15; 15, 13 — 7, 13, 15;

P.O.: 7, 13, 15.

9) 2, 1 3:

A (9,13), II'I (15) — IO* (13,14,15);

9, 15 — 15; 13, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 13, 14, 15.

10) 1, 2 5:

II'I (15), AII' (13,14) — (AAA')' (7,11,13,14,15);

15, 13 — 7, 13, 15; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

11) 2, 1 5:

A 'II' (7,11), A'I (7) — I (7, 9,11,13,15);

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 7 — 7;

P.O.: 7, 9, 11, 13, 15.

12) 1, 2 -:

A'I (7), A'II' (7, 11) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

13) 2, 1 -:

AA'I (7, 13), A'I (7) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

14) 1, 4 2:

A 'I (7), (IO)' (6, 9,13,14) — A'II' (7,11);

7, 6 — 11; 7, 9 — 7;

7, 13 — 7; 7, 14 — 11;

P.O.: 7, 11.

15) 4, 1 2:

(OI)' (6, 9,11,14), IA (11) — AA 'I' (11,14);

6, 11 — 14; 9, 11 — 11;

11, 11 — 11; 14, 11 — 14;

P.O.: 11, 14.

16) 1, 4 3:

II'I (15), (OI)' (6, 9,11,14) — OI* (11,14,15);

15, 6 — 15; 15, 9 — 15;

15, 11 — 11, 14, 15; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 11, 14, 15.

17) 4, 1 3:

(IO)'(6, 9,13,14), II'I (15) — IO* (13,14,15);

6, 15 — 15; 9, 15 — 15;

13, 15 — 13, 14, 15; 14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 13, 14, 15.

18) 1, 4 4:

AA' (6), AA 'II' (7,11,13,14) — AA 'II' (7,11,13,14);

6, 7 — 13; 6, 11 — 14;

6, 13 — 7; 6, 14 — 11;

P.O.: 7, 11, 13, 14.

19) 4, 1 4:

AA 'II' (7,11,13,14), AA (9) — AA 'II' (7,11,13,14);

7, 9 — 7; 11, 9 — 11;

13, 9 — 13; 14, 9 — 14;

P.O.: 7, 11, 13, 14.

20) 1, 4 5:

II'I (15), (IO)' (6, 9,13,14) — (AAA')' (7,11,13,14,15);

15, 6 — 15; 15, 9 — 15;

15, 13 — 7, 13, 15; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

21) 4, 1 5:

(OI)'(6, 9,11,14), II'I (15) — (AAA')' (7,11,13, 14,15);

6, 15 — 15; 9, 15 — 15;

11, 15 — 7, 11, 15; 14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

22) 1, 4 -:

A'I (7), AA'II' (7, 11, 13, 14) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 123, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

23) 4,1 -:

AA'II' (7, 11, 13, 14), IA (11) — -;

7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

24) 2, 2 2:

AAA' (6, 9), AA 'I (7,13) — AA 'I (7,13);

6, 7 — 13; 6, 13 — 7;

9, 7 — 7; 9, 13 — 13;

P.O.: 7, 13.

25) 2, 2 4:

AAA' (6, 9), A'II' (7,11) — AA'II' (7,11,13,14);

6, 7 — 13; 6, 11 — 14;

9, 7 — 7; 9, 11 — 11;

P.O.: 7, 11, 13, 14.

26) 2, 2 5:

A'II' (7,11), A* (9,11) — O (6, 7,11,14,15);

7, 9 — 7; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

11, 9 — 11; 11, 11 — 11;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

27) 2, 2 -:

A'II' (7, 11), AII' (13, 14) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

28) 1, 3 3:

AA' (6), (AA 'II')' (6, 9,15) (AA 'II')' (6, 9,15);

6, 6 — 9; 6, 9 — 6; 6, 15 — 15;

P.O.: 6, 9, 15.

29) 3, 1 3:

(AA'II')' (6, 9,15), AA' (6) (AA 'II')' (6, 9,15);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 15, 6 — 15;

P.O.: 6, 9, 15.

30) 1, 3 -:

II'I (15), IO (7, 11, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

31) 3, 1 -:

IO (7, 11, 15), II'I (15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

32) 1, 5 3:

IA (11), (AII')' (6, 7, 9,11,15) IO (7,11,15);

11, 6 — 7; 11, 7 — 7; 11, 9 — 11;

11, 11— 11; 11, 15 — 7, 11, 15;

P.O.: 7, 11, 15.

33) 5, 1 3:

(AA 'I)' (6, 9,11,14,15), A 'I (7) OI (7,13,15);

6, 7 — 13; 9, 7 — 7; 11, 7 — 7;

14, 7 — 13; 15, 7 — 7, 13, 15;

P.O.: 7, 13, 15.

34) 1, 5 5:

AA (9), (AAA')' (7,11,13,14,15) (AAA ')' (7,11,13,14,15);

9, 7 — 7; 9, 11 — 11; 9, 13 — 13;

9, 14 — 14; 9, 15 — 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

35) 5, 1 5:

(AII')' (6, 7, 9,11,15), AI' (14) O (6, 7,11,14,15);

6, 14 — 11; 7, 14 — 11; 9, 14 — 14;

11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

36) 1, 5 -:

A'I(7), (AAA^r)^r(7, 11, 13, 14, 15) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

37) 5, 1 -:

(AAA')' (7, 11, 13, 14, 15), IA (11) — -;

7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

38) 2, 4 4:

AAA' (6, 9), (OI)' (6, 9,11,14) (OI)' (6, 9,11,14);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 6, 9 — 6; 9, 9 — 9;

6, 11 — 14; 9, 11 — 11; 6, 14 — 11; 9, 14 — 14;

P.O.: 6, 9, 11, 14.

39) 4, 2 4:

(IO)'(6, 9,13,14), AAA' (6, 9) — (IO)' (6, 9,13, 14);

6, 6 — 9; 6, 9 — 6; 9, 6 — 6; 9, 9 — 9;

13, 6 — 14; 13, 9 — 13; 14, 6 — 13; 14, 9 — 14;

P.O.: 6, 9, 13, 14.

40) 2, 4 5:

A 'II' (7,11), (OI)' (6, 9,11,14) — O (6, 7,11,14,15);

7, 6 — 11; 11, 6 — 7; 7, 9 — 7; 11, 9 — 11;

7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15; 11, 11 — 11;

7, 14 — 11; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

41) 4, 2 5:

(IO)' (6, 9,13,14), AA 'I (7,13) — O* (6, 7,13,14,15);

6, 7 — 13; 6, 13 — 7; 9, 7 — 7; 9, 13 — 13;

13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15; 13, 13 — 13;

14, 7 — 13; 14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 13, 14, 15.

42) 2, 4 6:

AAA' (6, 9), (IO*)' (6, 7, 9,11) — (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 6, 7 — 13; 9, 7 — 7;

6, 9 — 6; 9, 9 — 9; 6, 11 — 14; 9, 11 — 11;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14.

43) 4, 2 6:

(OI)' (6, 9, 11, 14), AAA' (6, 9) — (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14);

6, 6 — 9; 6, 9 — 6; 9, 6 — 6; 9, 9 — 9;

11, 6 — 7; 11, 9 — 11; 14, 6 — 13; 14, 9 — 14;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14.

44) 2, 4 -:

A (9, 13), AA'II' (7, 11, 13, 14) — -;

13,7 — 6, 7, 13, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

45) 4, 2 -:

(OI*)' (6, 7, 9, 13), AA'I (7, 13) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

46) 2, 3 3:

AAA' (6, 9), OI (7,13,15) — OI (7,13,15);

6, 7 — 13; 9, 7 — 7; 6, 13 — 7;

9, 13 — 13; 6, 15 — 15; 9, 15 — 15;

P.O.: 7, 13, 15.

47) 3, 2 3:

(AA'II')' (6, 9,15), AAA' (6, 9) — (AA'II')' (6, 9,15);

6, 6 — 9; 6, 9 — 6; 9, 6 — 6;

9, 9 — 9; 15, 6 — 15; 15, 9 — 15;

P.O.: 6, 9, 15.

48) 2, 3 5:

AAA' (6, 9), IO (7,11,15) — (AAA')' (7,11,13,14,15);

6, 7 — 13; 9, 7 — 7; 6, 11 — 14;

9, 11 — 11; 6, 15 — 15; 9, 15 — 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

49) 3, 2 5:

(AA'II')'(6, 9,15), A (9,13) — (AA'I')' (6, 7, 9,13,15);

6, 9 — 6; 15, 9 — 15; 6, 13 — 7;

15, 13 — 7, 13, 15; 9, 9 — 9; 9, 13 — 13;

P.O.: 6, 7, 9, 13, 15.

50) 2, 3 -:

A'II' (7, 11), IO (7, 11, 15) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

51) 3, 2 -:

IO (7, 11, 15), A'II' (7, 11) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

52) 1, 6 5:

II'I (15), (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14) — (AAA')' (7,11,13,14,15);

15, 6 — 15; 15, 7 — 7, 13, 15; 15, 9 — 15;

15, 11 — 11, 14, 15; 15, 13 — 7, 13, 15; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

53) 6, 1 5:

(II'I)' (6, 7, 9,11,13,14), II'I (15) — (AAA')' (7,11,13,14,15);

6, 15 — 15; 7, 15 — 7, 11, 15; 9, 15 — 15;

11, 15 — 7, 11, 15; 13, 15 — 13, 14, 15; 14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

54) 1, 6 6:

AA' (6), (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14) — (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14);

6, 6 — 9; 6, 7 — 13; 6, 9 — 6;

6, 11 — 14; 6, 13 — 7; 6, 14 — 11;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14.

55) 6, 1 6:

(II'I)' (6, 7, 9,11,13,14), AA' (6) — (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14);

6, 6 — 9; 7, 6 — 11; 9, 6 — 6;

11, 6 — 7; 13, 6 — 14; 14, 6 — 13;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14.

56) 1, 6 -:

AI (13), (II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14) — -:

13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

57) 6, 1 -:

(II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14), IA (11) — -;

7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

58) 3, 4 5:

(AA'II')' (6, 9,15), (OI)' (6, 9,11,14) — (AA'I')' (6, 7, 9,13,15);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 15, 6 — 15;

6, 7 — 13; 9, 7 — 7; 15, 7 — 7, 13, 15;

6, 9 — 6; 9, 9 — 9; 15, 9 — 15;

6, 13 — 7; 9, 13 — 13; 15, 13 — 7, 13, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 13, 15.

59) 4, 3 5:

AA'II' (7,11,13,14), (AA 'II')' (6, 9,15) — (AAA')' (7,11,13,14,15);

7, 6 — 11; 11, 6— 7; 13, 6 — 14; 14, 6 — 13;

7, 9 — 7; 11, 9 — 11; 13, 9 — 13; 14, 9 — 14;

7, 15 — 7, 11, 15; 11, 15 — 7, 11, 15; 13, 15 — 13, 14, 15;

14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

60) 3, 4 -:

(AA'II')' (6, 9, 15), (IO)' (6, 9, 13, 14) — -;

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 15, 6 — 15;

6, 9 — 6; 9, 9 — 9; 15, 9 — 15;

6, 13 — 7; 9, 13 — 13; 15, 13 — 7, 13, 15;

6, 14 — 11; 9, 14 — 14; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

61) 4, 3 -:

(OI)' (6, 9, 11, 14), (AA'II')' (6, 9, 15) — -;

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 6, 9 — 6;

9, 9 — 9; 6, 11 — 14; 9, 11 — 11;

6, 14 — 11; 9, 14 — 14; 6, 15 — 15;

9, 15 — 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

62) 2, 5 5:

AAA' (6, 9), (AA 'I)' (6, 9,11,14,15) — (AA 'I)' (6, 9,11,14,15);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 6, 9 — 6;

9, 9 — 9; 6, 11 — 14; 9, 11 — 11;

6, 14 — 11; 9, 14 — 14; 6, 15 — 15;

9, 15 — 15;

P.O.: 6, 9, 11, 14, 15.

63) 5, 2 5:

(AA'I)' (6, 9,11,14,15), A* (9,11) — (AA 'I)' (6, 9,11,14,15);

6, 9 — 6; 6, 11 — 14; 9, 9 — 9

9, 11 — 11; 11, 9 — 11; 11, 11 — 11;

14, 9 — 14; 14, 11 — 14; 15, 9 — 15;

15, 11 — 11, 14, 15;

P.O.: 6, 9, 11, 14, 15.

64) 2, 5 6:

A (9,13), (AA'I)' (6, 9,11,14,15) — (A'I)' (6, 9,11,13,14,15);

9, 6 — 6; 13, 6 — 14; 9, 9 — 9;

13, 9 — 13; 9, 11 — 11; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

9, 14 — 14; 13, 14 — 14; 9, 15 — 15;

13, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 6, 9, 11, 13, 14, 15.

65) 5, 2 6:

(AII')' (6, 7, 9,11,15), A (9,13) — (AI')' (6, 7, 9,11,13,15);

6, 9 — 6; 6, 13 — 7; 7, 9 — 7;

7, 13 — 7; 9, 9 — 9; 9, 13— 13;

11, 9 — 11; 11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15;

15, 9 — 15; 15, 13 — 7, 13, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 15.

66) 2, 5 -:

E (6, 14), (AAA')' (7, 11, 13, 14, 15) — -;

14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

67) 5, 2 -:

I (7, 9, 11, 13, 15), AII' (13, 14) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

68) 4, 4 -:

(OI)' (6, 9, 11, 14), AA'II' (7, 11, 13, 14) — -;

14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

69) 2, 6 6:

AAA' (6, 9), (II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14) — (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 6, 7 — 13;

9, 7 — 7; 6, 9 — 6; 9, 9 — 9;

6, 11 — 14; 9, 11 — 11; 6, 13 — 7;

9, 13 — 13; 6, 14 — 11; 9, 14 — 14;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14.

70) 6, 2 6:

(II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14), AAA' (6, 9) — (II'I)' (6, 7, 9,11,13,14);

6, 6 — 9; 6, 9 — 6; 7, 6 — 11;

7, 9 — 7; 9, 6 — 6; 9, 9 — 9;

11, 6 — 7; 11, 9 — 11; 13, 6 — 14;

13, 9 — 13; 14, 6 — 13; 14, 9 — 14;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14.

71) 2, 6 -:

AII' (13, 14), (AA')' (7, 9, 11, 13, 14, 15) —

14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

72) 6, 2 -:

(A'I)' (6, 9, 11, 13, 14, 15), A'II' (7, 11) — -;

13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

73) 4, 5 6:

(IO)' (6, 9,13,14), (AA 'I)' (6, 9,13,14,15) — (A 'I)' (6, 9,11,13,14,15);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 13, 6 — 14; 14, 6 — 13;

6, 9 — 6; 9, 9 — 9; 13, 9 — 13; 14, 9 — 14;

6, 11 — 14; 9, 11 — 11; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15; 14, 11 — 14;

6, 14 — 11; 9, 14 — 14; 13, 14 — 14; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

6, 15 — 15; 9, 15 — 15; 3, 15 — 13, 14, 15; 14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 6, 9, 11, 13, 14, 15.

74) 5, 4 6:

(AII')' (6, 7, 9,11,15), (OI)' (6, 9,11,14) — (AI)' (6, 7, 9,11,14,15);

6, 6 — 9; 7, 6 — 11; 9, 6 — 6; 11, 6 — 7;

15, 6 — 15; 6, 9 — 6; 7, 9 — 7; 9, 9 — 9;

11, 9 — 11; 15, 9 — 15; 6, 11 — 14; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

9, 11 — 11; 11, 11 — 11; 15, 11 — 11, 14, 15; 6, 14 — 11;

7, 14 — 11; 9, 14 — 14; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 14, 15.

75) 4, 5 -:

AA'II' (7, 11, 13, 14), O* (6, 7, 13, 14, 15) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

76) 5, 4 -:

(AAA')'(7, 11, 13, 14, 15), (IO)' (6, 9, 13, 14) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

77) 3, 3 -:

(AA'II')' (6, 9, 15), IO (7, 11, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

78) 3, 5 -:

(AA'II')' (6, 9, 15), I (7, 9, 11, 13, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

79) 5, 3 -:

(AA'I')' (6, 7, 9, 13, 15), IO (7, 11, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

80) 3, 6 -:

(AA'II')' (6, 9, 15), (AA')' (7, 9, 11, 13, 14, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

81) 6, 3 -:

(II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14), (AA'II')' (6, 9, 15) — -;

6, 6 — 9; 6, 9 — 6; 6, 15 — 15;

7, 6 — 11; 7, 9 — 7; 7, 15 — 7, 11, 15;

9, 6 — 6; 9, 9 — 9; 9, 15 — 15;

11, 6 — 7; 11, 9 — 11; 11, 15 — 7, 11, 15;

13, 6 — 14; 13, 9 — 13; 13, 15 — 13, 14, 15;

14, 6 — 13; 14, 9 — 14; 14, 15 — 13, 14, 15;

P. O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

82) 4, 6 -:

AA'II' (7, 11, 13, 14), (AA)' (6, 7, 11, 13, 14, 15) — -:

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

83) 6, 4 -:

(II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14), (IO*)' (6, 7, 9, 11) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

84) 5, 5 -:

(AA'I')' (6, 7, 9, 13, 15), I (7, 9, 11, 13, 15) — -:

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15; P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

85) 5, 6 -:

(AA'I')' (6, 7, 9, 13, 15), (A'I)' (6, 9, 11, 13, 14, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

86) 6, 5 -:

(II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14), (AAA')' (7, 11, 13, 14, 15) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

87) 6, 6 -:

(II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14), (II'I)' (6, 7, 9, 11, 13, 14) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

Результаты вычислений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 42 суждений сведены в таблицы 4 и 5. В таблице 4 представлены результаты вычислений с учетом степеней неопределенности суждений, при этом не учитываются автоматически отбрасываемые при вычислениях неправильные модусы. В таблице 5 представлены заключения правильных сильных модусов для первой фигуры силлогизма, расположенные на пересечении столбцов и строк соответствующих суждений-посылок в общепринятой записи правильных модусов для первой фигуры силлогизма. Любые другие заключения являются слабыми либо неправильными. Прочерком обозначены любые заключения в неправильных модусах с данными посылками. Результаты Аристотеля выделены зеленым цветом.

Результаты вычислений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 42 суждений

Таблица 4

Таблица 5

Анализ результатов вычислений

Анализ результатов вычислений показывает, что добавление в интегральную силлогистику из 28 суждений Аристотеля, Теофраста, У. Гамильтона, А. де Моргана и Н.А. Васильева [6] семи суждений II'I, AAA', A'II', AA'I, AA'I', AII', AA'II'и их контрадикторных отрицаний из квазиуниверсальной силлогистики [17] придает ей свойства силлогистической плотности и однозначности результатов, что в совокупности с установленными выше свойствами силлогистической и содержательной полноты базисного множества данной силлогистики указывает на её завершенный характер и доказывает, что построенная силлогистика из 42 выбранных базисных суждений с различной логической структурой может быть отнесена в смысле работы [17] к классу совершенных силлогистических систем.

Выводы

1. С помощью предложенного автором ранее метода вычисления результирующих отношений выявлены все сильные правильные модусы традиционной совершенной интегральной силлогистики из 42 суждений с различной семантикой и таким образом получен положительный ответ на вопрос, поставленный в заголовке статьи. В построенной силлогистике оказалось всего 2668 сильных правильных модуса по 667 в каждой фигуре силлогизма, что более чем в 140 раз больше числа правильных модусов в традиционной силлогистике из суждений Аристотеля. Представляют интерес, например, следующие правильные модусы интегральной силлогистики: IA, A — I*; A*, IO — O; (IO*)', AI' — AII'; A'I, IO — I; AA'I', IO — O,а также многие другие неизвестные ранее правильные модусы (см. табл. 5). Полный содержательный анализ выявленных двухпосылочных законов построенной силлогистики ещё предстоит сделать в дальнейшем.

Построение данной силлогистики показывает, что высказанное в работе автора [6] предположение о том, что не существует совершенных силлогистических систем традиционного типа с числом базисных суждений между 20 и 50, не оправдалось.

2. Результаты, полученные в настоящей публикации, наглядно показывают, что в логике появился достаточно эффективный и доступный широкому кругу читателей инструмент для реконструкции и построения силлогистик. Этот инструмент может быть использован при создании систем искусственного интеллекта, для которых большое и практически необозримое для человека число правил вывода не является проблемой [18].

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное Слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

4. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

5. Sidorenko O. Is there an Alternative to Traditional Syllogistics from the Judgments of Aristotle? // Danish Scientific Journal. №15. Vol. 2, 2018. P. 27-33.

6. Сидоренко О.И. О построении традиционной интегрированной силлогистики из суждений Аристотеля, Теофраста, У. Гамильтона, А. де Моргана и Н.А. Васильева // International Science Project. №19, 2018. Часть 1. С. 31-40.

7. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1948. 326 с.

8. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

9. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

10. Сидоренко О.И. О возможностях дедукции из суждений А. де Моргана // American Scientific Journal. №16. Vol. 1. USA. Queens, 2017. P. 7-13.

11. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 c.

12. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

13. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14). Иваново: Изд-во «Проблемы науки», 2016. С. 72-83.

14. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

15. Сидоренко О.И. О подтверждении и развитии силлогистических результатов Аристотеля семантическим методом вычисления результирующих отношений // Мультидисциплинарный научный журнал «Архивариус». Выпуск 8 (23). Т. 2. Киев, 2017. С. 61-73.

16. Сидоренко О.И. О построении традиционной интегрированной силлогистики из суждений Аристотеля, Теофраста, У. Гамильтона и А. де Моргана // Austria-science. №19, 2018. С. 33-40.

17. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18). Иваново: Изд-во «Проблемы науки», 2017. С. 41-53.

18. Сидоренко О.И. Силлогистический процессор / Патент РФ №39722. Заявлено 15.03.2004. Опубликовано 10.04.2004. Бюллетень №22. С.20.

Модусы традиционной совершенной интегральной силлогистики

из 42 суждений (1 фигура силлогизма)

1.6.