Структура отношения включения классов. Логическая вероятность
Мы провели сравнение степени фальсифицируемости двух высказываний, воспользовавшись отношением
включения классов. При этом на понятие «степень фальсифицируемости» переносятся все структурные свойства понятия отношения включения классов.
Вопрос о сравнимости может быть прояснен при помощи рисунка, на котором некоторые отношения включения классов изображены слева, а соответствующие отношения проверяемости — справа. Арабские цифры справа соот
2
ветствуют римским цифрам слева таким образом, что римская цифра обозначает класс потенциальных фальсификаторов высказывания, помеченного соответствующей арабской цифрой. Стрелки на диаграмме, отражающие степени проверяемости, идут от лучше проверяемых, в большей степени фальсифицируемых, высказываний к высказываниям, которые не столь хорошо проверяемы. (Следовательно, они в точности соответствуют стрелкам, отражающим отношение выводимости,—См. разд. 35.)
Из рисунка хорошо видно, что можно выделить различные последовательности подклассов, например последовательности I—II—IV или I—III—V, и что такие последовательности можно еще «уплотнить», вводя новые промежуточные классы. Все такие последовательности начинаются в данном конкретном случае с 1 п заканчиваются пустым классом, поскольку он включает- ея в любой класс. (Пустой класс не может быть изображен на нашем рисунке слева просто потому, что он является подклассом любого класса и поэтому должен .присутствовать, так сказать, везде.) Если мы решим отождествить класс 1 с, классом всех возможных базисных высказываний, то 1 станет противоречием (с), а О (соответствующий пустому классу) будет тогда обозначать тавтологию (і). Возможны различные пути, ведущие от 1 к пустому классу, или от (с) к (t). Некоторые из них, как можно видеть на правой части рисунка, могут пересекаться друг с другом. Следовательно, мы можем сказать, что структура таких отношений представляет собой решеточную структуру («решетку последовательностей, упорядоченных стрелкой, или отношением включения).
Имеются узловые точки (например, высказывания 4 и 5), в которых решетка частично связана. Отношение полностью связано только в универсальном классе и в пустом классе, соответствующем противоречию (с) и тавтологии (t).Возможно ли расположить степени фальсифицируемости различных высказываний на одной шкале, то есть сопоставить различным высказываниям числа, которые упорядочивали бы их по степени их фальсифицируемости? Конечно, мы не имеем возможности упорядочить таким образом все высказывания[71]4, так как если бы мы сделали это, то нам следовало бы произвольно превратить несравнимые высказывания в сравнимые. Однако ничто не мешает нам выбрать одну из последовательностей, принадлежащих данной решетке, и указать порядок этих высказываний при помощи чисел. При этом мы должны действовать таким образом, чтобы высказывание, которое расположено ближе к противоречию (с), всегда получало большее число, чем высказывание, расположенное ближе к тавтологии (t). Поскольку мы уже приписали числа 0 и 1 соответственно тавтологии и противоречию, то нам следует приписывать эмпирическим высказываниям выбранной последовательности правильные дроби.
Конечно, я не собираюсь реально выделять и исследовать какую-либо такую последовательность. Да и приписывание чисел высказываниям, принадлежащим такой последовательности, будет совершенно произвольным. Тем не менее сам факт возможности приписывания дробных чисел эмпирическим высказываниям представляет огромный интерес, особенно потому, что он проливает свет па связь между степенью фальсифицируемости и понятием вероятности. Всякий раз, когда мы можем сравнить степени фальсифицируемости двух высказываний, мы можем сказать, что высказывание, являющееся менее фальсифицируемым, одновременно является на основании своей логической формы более вероятным. Такую вероятность я называю[72]5 «логической вероятностью»6. Ее не следует путать с численной вероятностью, которая применяется в теории азартных игр и статистике. Логическая вероятность высказывания является дополнением его степени фальсифицируемости, она увеличивается с уменьшением степени фальсифицируемости.
Логическая вероятность 1 соответствует степени фальсифицируемости 0, и наоборот. Лучше проверяемое высказывание, то есть высказывание с большей степенью проверяемости, является логически менее вероятным, а высказывание, проверяемое в меньшей степени, является логически более вероятным высказыванием.Как показывается в [70, разд. 72], численная вероятность может быть связана с логической вероятностью и, следовательно, со степенью фальсифицируемости. Вполне возможно проинтерпретировать численную вероятность как применимую к некоторой подпоследовательности (выбранной из отношения логической вероятности), для которой на основании оценок частоты можно определить систему измерения.
Высказанные соображения о сравнении степеней фальсифицируемости относятся не только к универсальным высказываниям или системам теорий. Их можно обобщить таким образом, чтобы они применялись и к сингулярным высказываниям. Поэтому наши соображения верны, например, для теорий в конъюнкции с начальными условиями. В этом случае класс потенциальных фальсификаторов не следует путать с классом событий, то есть с классом однотипных базисных высказываний, поскольку класс потенциальных фальсификаторов представляет собой класс явлений. (Это замечание имеет некоторое отношение к связи между логической « численной вероятностью, которая анализируется в [70, разд. 72].)