Степени проверяемости, сравниваемые посредством размерностей
До сих пор мы рассматривали сравнение теорий по степени их проверяемости только в той мере, в какой они могут сравниваться с помощью отношения включения классов. В некоторых случаях этот метод вполне успешно помогает нам сделать выбор между теориями.
Так, мы можем теперь сказать, что введенный Паули принцип исключения, упомянутый в качестве примера в разд. 20, действительно оказывается в высокой степени удовлетворительным в качестве дополнительной гипотезы именно потому, что он резко увеличивает степень точности и вместе с ней степень проверяемости старой квантовой теории (аналогично соответствующему утверждению новой квантовой теории, согласно которому антисимметричные состояния реализуются электронами, а симметричные состояния — незаряженными или многократно заряженными частицами).Вместе с тем для многих целей сравнение теорий посредством отношения включения классов недостаточно. Так, Франк, например, указал, что высказывания высокого уровня универсальности типа принципа сохранения энергии в формулировке Планка легко могут стать тавтологиями и потерять свое эмпирическое содержание, если начальные условия не могут быть определены «с помощью немногих измерений... то есть с помощью малого числа величин, характеризующих состояние системы» [26, с. 24]. Вопрос о числе параметров, которые должны быть установлены и подставлены в соответствующие формулы, не может быть прояснен с помощью отношения включения классов, несмотря на то, что этот вопрос тесно связан с проблемой проверяемости и фальсифицируемое™ и их степеней. Чем меньше необходимо величин для определения начальных условий, тем менее неэлементарными (см. прям. *3 к этой главе) будут базисные высказывания, обеспечивающие фальсификацию теории, так как фальсифицирующее базисное высказывание представляет собой конъюнкцию начальных условий с отрицанием выводимого предсказания (см.
разд. 28). Таким образом, можно сравнивать теории по степени их проверяемости путем установления минимальной степени неэлементарности, которую должно иметь базисное высказывание, чтобы оно могло вступить в противоречие с теорией. Конечно, все это возможно при условии, что мы можем найти способ сравнивать базисные высказывания, позволяющий установить, являются ли они более или менее неэлементарными, то есть соединениями большего или меньшего числа базисных высказываний более простого вида. Независимо от своего содержания все базисные высказывания, чья степень неэлементарности не достигает необходимого минимума, допускаются теорией просто по причине их малой степени неэлементарности.Однако любая такая программа сталкивается с затруднениями, поскольку в общем случае на основании простого наблюдения не так легко установить, является ли некоторое высказывание неэлементарным, то есть эквивалентным конъюнкции более простых высказываний. Действительно, во все высказывания входят универсальные имена и, анализируя эти имена, часто можно разложить такие высказывания на конъюнктивные компоненты (так, высказывание «В месте к имеется стакан воды» вполне можно в ходе анализа разложить на конъюнктивные компоненты «В месте к имеется стакан, содержащий жидкость» и «В месте к имеется вода»). При этом нет никакой надежды найти какой-нибудь естественный предел рассечения высказываний при помощи этого метода, в частности потому, что мы всегда можем вводить новые универсалии, определенные специально с целью сделать возможным дальнейшее рассечение высказываний.
Для обеспечения сравнимости степеней неэлементарности всех базисных высказываний можно было Абы предложить выбрать некоторый класс высказываний в качестве класса элементарных или атомарных, высказываний17, из которых все остальные высказывания можно было бы получить при помощи конъюнкции и других логических операций. Если бы нам это удалось, тогда мы смогли бы тем самым определить «абсолютный нуль» неэлементарности, а неэлементарность любого высказывания могла бы быть выражена, так сказать, через абсолютные степени неэлементарности*18.
Однако по ранее указанной причине такую процедуру следует рассматривать как совершенно неудовлетворительную, так как она накладывает серьезные ограничения на свободное использование научного языка* 9.И все же имеется возможность сравнивать степени неэлементарности базисных высказываний, а тем самым и всех других высказываний. Это можно сделать, произвольно выделив класс относительно атомарных высказываний, которые будут использоваться как основа17 «Элементарные предложения» рассматриваются в «Логикофилософском трактате» Витгенштейна: «Предложение есть функция
истинности элементарных предложений» [95, с. 61], а «атомарные предложения» (в противоположность неэлементарным «молекулярным предложениям») — в «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела [92, т. I, с. XV]. Огден перевел витгенштейновский термин «Elementarsatz», как «элементарное предложение» («elementary proposition») (см. [95, с. 553]), тогда как Рассел в своем предисловии к [95, с. 16] переводит его как «атомарное предложение» («atomic proposition»). Последний термин получил широкое распространение.
*18 Абсолютные степени неэлементарности, конечно, определили бы абсолютные степени содержания и, следовательно, абсолютные степени невероятности. Такая программа введения понятия невероятности, а значит, и понятия вероятности посредством выделения некоторого класса абсолютных атомарных высказываний (ранее намеченная Витгенштейном) в последнее время разрабатывалась Карнапом с целью построения теории индукции [17]. В предисловии к английскому изданию этой моей книги я указывал на то, что третий модельный язык (карнаповская языковая система) не позволяет выразить" измеряемые свойства (он не позволяет также — в своей современной форме — ввести пространственный и временной порядок.
*19 Словосочетание «научный язык» используется здесь в обыденном значении, и его не следует интерпретировать в техническом смысле как то, что ныне называется «языковой системой».
Более того, моя основная позиция состоит в том, что мы должны хорошо помнить о том, что ученые не могут пользоваться «языковой системой», поскольку им постоянно приходится изменять свой язык с каждым новым шагом, который они делают. Понятия «материя» и «атом» осле Резерфорда, «материя» и «энергия» после Эйнштейна стали значать нечто совершенно отличное от того, что они означали ра- '• -значение этих понятий есть функция постоянно изменяющейся •теории.ние для сравнения. Такой класс относительно атомарных высказываний можно определить при помощи порождающей схемы или матрицы (ее можно пояснить следующим примером: «В месте... существует измерительное устройство для ... указательная стрелка которого расположена между отметками шкалы... и ...»). С ее помощью относительно атомарные и, следовательно, равно неэлементарные высказывания можно определить как класс всех высказываний, получающихся из такого рода матрицы (или функции высказывания) при подстановке в нее определенных значений. Класс таких высказываний вместе со всеми конъюнкциями, которые могут быть составлены из членов этого класса, можно назвать «областью». Конъюнкцию п различных относительно атомарных высказываний некоторой области можно назвать «n-кой, принадлежащей данной области», и мы можем сказать, что степень неэлементарности этой конъюнкции равна числу п.
Если для теории t существует область сингулярных высказываний (но необязательно базисных высказываний), таких, что для некоторого числа а теория t не может быть фальсифицирована никакой d-кой из данной области, но она может быть фальсифицирована некоторыми ci+1-ками, то мы назовем d характеристическим, числом теории по отношению к этой области. Все высказывания данной области, чья степень неэлементарности меньше или равна d, являются в таком случае совместимыми с теорией и допускаются ею безотносительно к их содержанию.
Итак, возможно проводить сравнение степени проверяемости теорий, исходя из характеристического числа d. Однако для того чтобы избежать противоречий, могущих возникнуть при использовании различных областей, необходимо ограничиться более узким понятием, чем понятие области, а именно понятием области применения.
Если дана теория t, то мы будем говорить, чта некоторая область является областью применения теории t, если существует характеристическое число d теории t по отношению к этой области и если к тому же эта область удовлетворяет некоторым другим условиям, которые формулируются в [70, прил. I].Характеристическое число d теории t по отношению к некоторой области применения я буду называть размерностью t по отношению к этой области применения.
Выражение «размерность» хорошо подходит для описания данной ситуации потому, что мы можем представить все возможные ге-ки, принадлежащие определенной области, как пространственно упорядоченные (в бесконечном конфигурационном пространстве). Если, к примеру, d = 3, то высказывания, являющиеся приемлемыми на том основании, что их степень неэлементар- ности слишком мала, образуют трехмерное подпространство данной конфигурации. Переход от d = 3 к d = 2 соответствует переходу от трехмерного пространства к плоскости. Чем меньше размерность d, тем более жестко ограничен класс тех допустимых высказываний, которые безотносительно к их содержанию не могут противоречить теории по причине своей малой степени неэлементарности, и тем выше будет степень фальсифицируемости данной теории.
Понятие области применения не ограничивается базисными высказываниями. Сингулярные высказывания всех других типов могут быть высказываниями, принадлежащими к области применения. Сравнивая их размерности при помощи данной области, мы можем оценить степень неэлементарпости базисных высказываний. (Мы предполагаем, что сингулярным высказываниям, обладающим высокой степенью неэлементарности, соответствуют базисные высказывания, также обладающие высокой степенью неэлементарности.) Таким образом, можно предположить, что теории большей размерности соответствует класс базисных высказываний большей размерности, таких, что все высказывания, принадлежащие этому классу, допускаются теорией независимо от того, что они утверждают.
Это ответ на вопрос о том, каким образом соотносятся два метода сравнения степеней проверяемости теорий: метод, основывающийся на понятии размерности теории, и метод, основывающийся на отношении включения классов.
Мы еще встретимся со случаями, когда неприменим ни один из них или применим только один из этих двух методов сравнения. В таких случаях, конечно, нет места для конфликта между этими методами. Однако если в некотором конкретном случае применимы оба метода, то вполне может случиться, что две теории одинаковой размерности могут тем не менее иметь разные степени фальсифицируемое™, когда мы оцениваем их с помощью метода, основанного на отношении включения классов. В таких случаях следует принимать результат, полученный на основе второго метода, так как он является более чувствительным методом. Во всех других случаях, в которых применимы оба метода, они должны вести к одному и тому же результату, так как можно доказать с помощью простой теоремы теории размерности, что размерность некоторого класса должна быть больше или равна размерности его подклассов (см. [52, с. 81] )[77]20.