4.4. Складні судження

Складні судження утворюються шляхом поєднання між собою простих суджень за допомогою логічних сполучників (кон’юнк­ції, строгої і нестрогої диз’юнкції, імплікації та еквівалентності).

Приклади складних суджень:

· Дакар — столиця Сенегалу і морський порт.

· Якщо завтра буде сонячний день, то я піду в парк або на пляж.

Ці судження можна записати так:

/Дакар — столиця Сенегалу/ і /Дакар — морський порт/.

Якщо /завтра буде сонячний день/, то /я піду в парк/ або /я піду на пляж/.

Тепер видно, що перше судження включає в себе два простих судження, з’єднаних сполучником «і». Друге судження побудовано з трьох простих суджень за допомогою сполучників «якщо…то» і «або».

У сучасній формальній логіці в розділі «Числення суджень» (цей розділ називають ще «логікою висловлювань») абстрагуються від змісту суджень, від усіх тонкощів і відтінків думки, які виражаються у судженнях в розмовній і особливо в літературній мові, і розрізняють судження лише за одною єдиною ознакою: значенням їх істинності. З цього погляду судження є величиною, що має одне (і тільки одне) з двох значень: «істина» (коротше І) або «хиба» (коротше Х). Одне й те саме судження, залежно від контексту, може набувати обох цих значень, але неодночасно.

Абстрагуючись від змісту суджень, ми можемо розглядати кожне первинне (елементарне) судження як одне ціле, позначуване, відповідно, однією буквою, з яким співвідноситься одне і тільки одне з двох значень істинності: істина або хиба.

Елементарні судження позначають малими буквами латинського алфавіту: p, q, r, s, t… При цьому різні букви відповідатимуть різним судженням, а одні й ті самі букви — одним і тим самим судженням. Наприклад:

· «р» — «Усі елементарні частинки мають масу»;

· «q» — «Львів — місто створення Львівсько-Варшавської школи логіків»;

· «r» — «Арістотель є основоположником формальної логіки»;

· «s» — «4 % всіх народжених людей обтяжені спадковими захворюваннями»;

· «t» — «Усі планети рухаються по кругових орбітах» і т.

Таким чином, букви р, q, r, s, t і т. д. є змінними лише одного певного роду: ці змінні служитимуть символами невизначених (довільних) суджень. Оскільки кожна змінна позначає судження, вона має певне, заздалегідь невідоме, значення істинності, тобто вона або істинна або хибна.

Нехай ми маємо деяке судження р. Воно може набрати в точності два значення (але не одночасно): І, Х. Цей факт можна записати у вигляді таблиці (див. табл. 7) і сказати: можливі два значення істинності судження р.

Таблиця 7

Розглянемо разом два судження р та q, кожне з яких задовольняє основній вимозі мати точно одне з двох значень: І, Х. Тоді різ­них можливих випадків розподілу істинності вже чотири: коли р істинне, q може бути як істинним, так і хибним; коли р хибне, для q знов-таки залишаються дві можливості. Таким чином, ми матимемо такі чотири випадки:

1) р істинне — q істинне;

2) р істинне — q хибне;

3) р хибне — q істинне;

4) р хибне — q хибне.

Цей факт ми запишемо у вигляді таблиці (див. табл. 8) і скажемо: для двох суджень р і q можливі чотири пари значень істинності.

Таблиця 8

Якщо розглядати разом три судження p, q та r, то всі можливі випадки розподілу їх істинності можна записати у вигляді таблиці, що складається з восьми рядків (див. табл. 9). Тут ми скажемо: для трьох суджень p, q та r існує вісім можливих трійок значень істинності.

Таблиця 9

Кожне значення істинності для одного судження (табл. 7) або будь-яку пару значень істинності для двох суджень (табл. 8), або будь-яку трійку значень істинності для трьох суджень (табл.

Нічого не зміниться, якщо рядки у табл. 7, 8, 9 ми переставимо різними способами. Але обраний нами порядок є лексикографічним (словниковим). Букви I та Х розташовані по рядках так само, як розміщені слова у словниках. Ми приймемо лексикографічний порядок запису значень істинності як стандартний і далі будуватимемо всі таблиці тільки у такому порядку.

Найважливіші логічні постійні числення суджень. Вивчаючи судження, ми часто будемо абстрагуватися від їх змісту, від їх походження, від нюансів думки, виражених ними, та інших важливих характеристик і зосередимо свою увагу на таких питаннях:

1. Якими способами можуть бути побудовані складні судження?

2. Як встановити значення істинності складного судження за даними значеннями його компонент, тобто більш простих суджень, що входять до його складу?

3. Як залежить істинність деяких (або всіх) простих суджень, що входять до складу складного судження, від істинності цього складного судження та істинності решти простих суджень, які містяться в ньому?

Якщо є деякий запас простих суджень p, q, r …, то будь-яке складне судження, що містить у собі складний запас, можна побудувати за допомогою заперечення «не» та чотирьох сполучників: «і», «або», «якщо…то», «якщо і тільки якщо». У логіці вони називаються логічними зв’язками. У природній мові (усній та писемній) ці зв’язки мають багато різноманітних смислових відтінків, залежних від контексту, в якому вони вживаються. Крім того, кожний з перелічених логічних сполучників у живій мові має ряд синонімів.

У звичайній мові прості судження сполучаються між собою, як правило, лише тоді, коли між ними існує якийсь внутрішній зв’язок за формою і за змістом. Ми можемо сказати: «Сьогодні дуже холодно, і я одягну тепле пальто», але ми не будемо говорити: «Вчора я слухав чудову музику, і я одягну тепле пальто».

Логічне заперечення. З кожним судженням р ми можемо зіставити інше судження, яке позначимо ù р, і визначимо так: якщо р істинне, то ù р хибне; якщо р хибне, то ù р істинне (див. табл. 10).

Таблиця 10

Судження ù р називається логічним запереченням судження р. Символ «ù » відповідає частці «не», його завжди ставлять перед тим судженням (елементарним або складним), яке заперечується. Як у розмовній, так і в літературній мові місце частки «не» не фіксоване однозначно; звичайно її приєднують до дієслова або, якщо хочуть мати її на початку судження, замінюють висловом «невірно, що». Наприклад, логічне заперечення судження

р = «Квадрат є прямокутник з рівними сторонами» читається так:

ù р = «Квадрат не є прямокутник з рівними сторонами» або ж

ù р = «Невірно, що квадрат є прямокутник з рівними сторонами».

Всім наступним виразам приписується один і той самий смисл:

« ù р», «р хибне», «не р», «невірно, що р».

Табл. 10 показує, як істинність або хибність судження, одержаного в результаті заперечення, залежить від істинності або хибності вихідного судження. З таблиці видно, що дане судження і його логічне заперечення не можуть бути ні одночасно істинними, ні одночасно хибними; з істинності (хибності) одного з них випливає хибність (істинність) другого. Табл.

Дане судження і його логічне заперечення називають спільною назвою: суперечні, або контрадикторні, або контрадикторно-протилежні, або просто протилежні судження.

Розглянемо кілька прикладів, які допоможуть з’ясувати смисл операції логічного заперечення.

Нехай одна особа стверджує, що

р: «Вчора був дощ»,

а друга особа не погоджується з цим твердженням. Для вираження своєї незгоди друга особа повинна будувати логічне заперечення попереднього твердження; це вона може висловити одним з наступних суджень:

ù р: «Невірно, що вчора був дощ»,

ù р: «Хибно, що вчора був дощ»,

ù р: «Вчора не було дощу».

Операція логічного заперечення є однією з найважливіших розумових операцій, що часто використовується як у теоретичних дослідженнях, так і в практиці буденного мислення.

Кон’юнкція. Зв’язок двох суджень може здійснюватися за допомогою сполучника «і».

Так, судження «Протилежні сторони прямокутника рівні і паралельні» складається з двох первинних суджень:

p = «Протилежні сторони прямокутника рівні»,

q = «Протилежні сторони прямокутника паралельні», —

з’єднаних сполучником «і».

Судження «Завтра буде тепло і сонячно» також складається з двох суджень:

p = «Завтра буде тепло»,

q = «Завтра буде сонячно».

Сполучник «і», використовуваний для з’єднання суджень, будемо позначати символом «^». Сполучення двох суджень за допомогою «і» (або «^») називається кон’юнкцією цих суджень. Таким чином, p ^ q означає «p і q».

Для двох суджень p і q, що розглядаються разом, можливі чотири пари значень істинності (див. табл. 8) і кожній такій ситуації ми повинні приписати одне певне значення істинності кон’юнкції p ^ q. Це досягається визначенням, яке ми запишемо у вигляді табл. 11.

Таблиця 11

З таблиці видно, що кон’юнкція p ^ q вважається істинною в тому випадку, коли істинні обидва судження: і p, і q.

Табл. 11 містить усю потрібну інформацію про зв’язку «^», а саме показує значення істинності кон’юнкції двох суджень залеж­но від значень істинності кожного з них. Цю таблицю ми назвемо таблицею істинності для p ^ q (кон’юнкції p ^ q).

Диз’юнкція. Два судження можна зв’язати за допомогою спо- лучника «або». Наприклад, судження: «На новий рік я куплю годинник або портфель» — складається з двох елементарних суджень:

1) «На новий рік я куплю годинник»,

2) «На новий рік я куплю портфель», —

з’єднаних сполучником «або». Два елементарних судження, з’єд­наних між собою сполучником «або», називаються диз’юнкцією.

В українській мові сполучник «або» (як і його відповідник у російській та багатьох інших мовах) має принаймні два різних смислових значення, які лежать в основі поділу диз’юнкції на два види. Відмінність між ними пояснимо за допомогою прикладів, що наводяться нижче.

Складне судження «Бетховен народився в 1770 або в 1771 році» стверджує те, що з двох первинних суджень:

1) «Бетховен народився в 1770 році»,

2) «Бетховен народився в 1771 році», —

тільки одне істинне, виключаючи тим самим друге судження. Так саме в судженні «Я буду вчитися у Київському або Московському університеті» мається на увазі, що буде вибраний тільки один з цих вищих навчальних закладів. Коли слово «або» вживається у цьому смисловому значенні (одне або друге, але не обоє), то його називають виключаючим «або» і позначають символом «¯v». З’єднання двох суджень за допомогою «¯v» називається диз’юнк­цією у викючаючому смислі (або строгою диз’юнкцією). Його фор­мулу p ¯v q можна прочитати:

1) або р, або q;

2) р або q (але не те і друге разом).

Цілком ясно, що виключаюча диз’юнкція істинна, якщо і тільки якщо точне одне із суджень істинне (див. табл. 12).

Таблиця 12

Розглянемо тепер судження «Петро молодий або він недосвідчений». У цьому судженні можливість того, що Петро може бути молодим і недосвідченим, не виключається. Таким чином, дане судження залишається істинним, якщо перше або друге чи обидва первинних судження разом є істинними.

Судження «У цьому театральному сезоні я хочу піти на «Кармен» або на «Пікову даму» також припускає можливість дворазового відвідання оперного театру. Останні два судження є прикладами невиключаючого смислового значення «або». Слово «або», взяте у цьому смислі (одне або друге або обидва), позначається символом «v». З’єднання двох суджень за допомогою «v» називається диз’юнкцією в невиключаючому смислі (або нестрогою диз’юнкцією). Формула складного судження р v q читається так:

1) р або q,

2) р або q, або і те і друге разом.

Значення істинності нестрогої диз’юнкції двох суджень визначається табл. 13.

Таблиця 13

Нестрога диз’юнкція є хибною, отже, в одному єдиному випадку: коли обидва судження, що входять до її складу, хибні. Невиключаючий смисл сполучника «або» у працях з юриспруденції часто позначається виразом «і/або».

Імплікація. Дуже часто два судження зв’язуються сполучником «якщо… то». Наприклад:

«Якщо буде сонячно, то я піду в парк»;

«Якщо я підготуюсь до заліку з логіки, то здам його»;

«Якщо сьогодні понеділок, то завтра вівторок».

Кожне з цих суджень має форму: «Якщо р, то q». Зв’язку «якщо… то» позначають символом «®». Формула складного судження імплікації має вигляд: р ® q, де перше судження р називається антецедентом імплікації, а друге судження q називається консеквентом імплікації.

Для точного визначення зв’язки «®» треба побудувати таблицю істинності імплікації. Якщо і р, і q істинні, то, безсумнівно, р ® q істинне, якщо ж р істинне, а q хибне, то безсумнівно р ® q хибне. Ці два випадки цілком відповідають вживанню імплікації у звичайній мові. Але в нас залишилися нерозглянутими ще дві ситуації (ХІ та ХХ). Припустимо, що р хибне. У повсякденній мові в більшості випадків розуміється, що коли р хибне, то судження р ® q не має смислу. Однак таке розуміння не може бути тут прийнятним. Дійсно, у такому випадку було б порушене вихідне положення, за яким кожне судження повинно бути обов’яз­ково або істинним, або хибним. Тому умовились вважати імплікацію р ® q істинною в усіх випадках, коли р хибне, незалежно від значення істинності q. З табл. 14 бачимо, що імплікація вважається хибною лише у тому випадку, коли антецедент істинний, а консеквент хибний, і істинною в усіх останніх випадках. Табл. 14 показує, що стверджуючи імплікацію, тобто приймаючи її за істинну, ми тим самим стверджуємо, що не може статися, щоб антецендент був істинним, а консеквент — хибним.

Таблиця 14

Згідно з табл. 14 судження «Якщо 2 ´ 2 = 5, то всі дерева є тварини» істинне, в той час як судження «Якщо 2 ´ 2 = 4, то всі корови є мавпи» — хибне. Такий результат з точки зору так званого «здорового глузду» може здатися дивним. Уся справа у тому, що в звичайній мові ми прагнемо з’єднати два судження сполучником «якщо… то» лише у тих випадках, коли між ними існує якийсь реальний зв’язок. Цей зв’язок важко охарактеризувати в загальному вигляді і тільки в деяких випадках природа його відносно ясна. Часто з цим зв’язком ми сполучаємо переконаність у тому, що консеквент є логічним наслідком антецедента, або що між антецедентом і консеквентом існує причинний зв’я­зок і т. д. Крім того, ми звичайно не знаємо, чи істинні чи ні антецедент і консеквент. У противному разі вживання зв’язки «якщо… то» здається неприродним, і, отже, смисл та істинність відповідної імплікації можуть викликати сумнів.

У зв’язку з цим дуже важливо засвоїти таке:

1) імплікацію не слід розуміти як вираження відношення основи і наслідку (точніше, імплікація не передбачає такого відношення, хоч і не виключає його);

2) зв’язка «якщо… то» не означає ніякого причинного зв’язку (точніше, не передбачає такого);

3) смисл імплікації повністю визначений у табл. 14 і нічого іншого не передбачає;

4) забороняється вкладати в імплікацію смисл, який виходить за межі її таблиці істинності.

Після зроблених пояснень не буде здаватися дивним жодне з наступних суджень:

«Якщо 2 ´ 2 = 4, то сніг білий» (істинне);

«Якщо 2 ´ 2 = 5, то сніг білий» (істинне);

«Якщо 2 ´ 2 = 5, то сніг чорний» (істинне);

«Якщо 2 ´ 2 = 4, то сніг чорний» (хибне).

З кожною імплікацією р ® q можна зіставити так звану обер­нену імплікацію q ® р. Ці дві імплікації взаємно обернені. Во- ни відповідають прямій та оберненій теоремам у математиці. Необхідно пам’ятати, що за значенням істинності імплікації нічого не можна сказати про значення істинності оберненої імплікації.

Подвійна імплікація (еквіваленція). Нехай стверджується імплікація р ® q i стверджується обернена імплікація q ® р. Тоді факт їх одночасної істинності може бути виражений також сполученням антецедента і консеквента кожного з цих двох суджень за допомогою слів «якщо і тільки якщо». Так, дві наведені вище взаємно обернені імплікації можуть бути замінені одним складним судженням: «p, якщо і тільки якщо q», в якому р і q можуть ще помінятися місцями. Зв’язку «якщо і тільки якщо» позначають символом ««». Складне судження р « q, утворене за допомогою цієї зв’язки, назвемо подвійною імплікацією і визначимо таким способом (див. табл. 15).

Таблиця 15

Подвійну імплікацію часто називають еквіваленцією. З табл. 15 видно, що подвійна імплікація р « q істинна лише тоді, коли p i q обоє істинні або обоє хибні, і хибні в усіх останніх випадках. Таким чином, символом ««» можна зв’язати будь-які два істинних, а також два хибних судження і при цьому отримаємо істинне складне судження.

Приклади подвійної імплікації:

«Я піду складати іспит, якщо і тільки якщо засвою весь програмний матеріал»;

«Трикутник — прямокутний, якщо і тільки якщо до нього можна застосувати теорему Піфагора»;

«Число х ділиться на 6, якщо і тільки якщо х ділиться на 2 і 3».

Для розв’язання логічних задач на визначення істинності склад­них суджень можна з’єднати таблиці істинності (11, 12, 13, 14, 15) в одну таблицю.

Таблиця 16

ІСТИННІСТЬ СКЛАДНИХ СУДЖЕНЬ