О расширении традиционной силлогистики Аристотеля до совершенной интегральной силлогистической системы из 16 суждений

Аннотация. В подразделе рассматривается расширение силлогистики Аристотеля тра­диционного типа до совершенной интегральной силлогистической системы из 16 суж­дений с различной семантикой, обладающей важными для дедуктивных выводов свой­ствами содержательной и силлогистической полноты, а также силлогистической плот­ности и однозначности результатов.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

About the Extension of Traditional Syllogistics of Aristotle to a Perfect Integral Syllogistics System from 16 Judgments

Abstract. The subsection discusses the extension of the syllogistic of Aristotle of the traditional type to a perfect integral syllogistic system from 16 judgments with different semantics, which possesses important for deductive conclusions properties of meaningful and syllogistic complete­ness, as well as syllogistic density and unambiguity of the results. In studies, the semantic method proposed by the author for solving syllogisms by calculating the resulting relations was used. Al­gorithms are presented and calculation examples are given to identify all the correct modes of the syllogistics considered. Prospects for further research are indicated. The article is of interest to deduction specialists in the field of artificial intelligence and robotics.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпрета­цией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием пра­вильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрез­вычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только дока­зать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсаль­ности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [6-8,11,12].

Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором се­мантическим методом вычисления результирующих отношений [15]. В инте­гральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана, Н.А. Васильева и другие [4].

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [16] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [14] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [5]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм

суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Таблица 1

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике

с фиксацией универсума рассуждений

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения традиционной инте­гральной силлогистики, то есть выявления всех её двухпосылочных законов, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

6.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее) A^A*, O-^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)',(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­

держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогисти­ческой полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логи­ческой структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (об­ратного включения между терминами), и наоборот. Указанное свойство позво­ляет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма [10]. Свойство силлогистической плотности заклю­чается в том, что в силлогистике не являются правильными только те модусы, которые порождают все 7 отношений, при этом для случаев наличия правильных модусов результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из суждений базисного множества. Свойство однозначности результатов заключается в том, что сильным правильным заключением модуса при его наличии является единственное суждение из базисного множества суждений данной силлогистики. Это свойство вытекает из свойства силлоги­стической плотности, но обратное не верно. Силлогистики, обладающие одно­временно всеми четырьмя свойствами, названы в работе [11] совершенными. Отметим, что силлогистика Аристотеля не является совершенной, так как она не обладает двумя свойствами из четырех вышеуказанных, а именно: свойством силлогистической полноты и свойством силлогистической плотности резуль­татов. Из-за первой причины в силлогистике Аристотеля правильные модусы распределены по фигурам силлогизма неравномерно, а из-за второй в ней не­возможно работать с отрицательными терминами. Возникает естественный во­прос о числе совершенных силлогистик, содержащихся если не в универсальной силлогистике с предельно возможным числом суждений 128 (протологике), то хотя бы в интегральной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений, имеющих относительно простое выражение их смысла на естественном языке [11]. Однако решение данной задачи связано с перебором огромного количе­ства вариантов.

Цель публикации

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача построения совершенной силлогистической системы из 16 базисных суждений с различной семантикой, представленных в таблице 3. Трактовка кванторных слов в таблице 3 указана в явном виде. Под построением силлогистики пони­мается, как минимум, выявление всех её двухпосылочных законов (правильных модусов).

Таблица 3

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 16 суждений

Примеры вычислений (правильные модусы выделены)

1) A 'I(7), A 'I(7) E'(7,9,11,13,15);

7,7 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

2) A'I(7), (A'I)'(6,9,11,13,14,15) A'(6,7,11,14,15);

7,6 11; 7,9 7; 7,11 6,7,11,14,15; 7,13 7; 7,14 11; 7,15 7,11,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

3) A 'I(7), IA(11) A '(6,7,11,14,15);

7,11 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

4) A'I(7), (IA)'(6,7,9,13,14,15) E'(7,9,11,13,15);

7.6 11; 7,7 7,9,11,13,15; 7,9 7; 7,13 7; 7,14 11; 7,15 7,11,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

5) A 'I(7), AI(13) A 'I(7);

7,13 7;

P.O.: 7.

6) A4(7), (AI)' (6,7,9,11,14,15)

7.7 7,9,11,13,15; 7,11 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

7) A 'I(7), AI'(14) IA(11);

7,14 11;

P.O.: 11.

8) A’I(7), (AI’)’(6,7,9,11,13,15) —;

7,7 7,9,11,13,15; 7,11 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

9) A'I(7), A(9,13) A'I(7);

7,9 7; 7,13 7;

P.O.: 7.

10) A4(7), A’(6,7,11,14,15) —;

7,7 7,9,11,13,15; 7,11 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Вычисления для остальных 246 случаев могут быть произведены анало­гично.

Результаты всех вычислений представлены в таблице 4, в которой пра­вильные модусы указаны на пересечении столбцов и строк, соответствующих посылкам модуса. Прочерк означает невозможность вывода необходимого ре­зультата из данных посылок. Правильные модусы Аристотеля выделены.

Правильные модусы традиционной интегральной совершенной силлогистики из 16 суждений (1 фигура силлогизма)

Таблица 4

Существует и другой более простой метод получения всех правильных модусов рассматриваемой совершенной силлогистики из 16 суждений путем вычеркивания из таблицы правильных модусов более мощной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений [11] строк и столбцов, соответ­ствующих отсутствующим в рассматриваемой силлогистике суждениям.

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что предложенная в статье совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 16 базисных суждений обладает 128 правильными модусами в каждой из четырех фигур силлогизма (см. таблицу 4). Можно показать, что добавления к 8 суждениям Аристотеля и А. де Моргана других четверок содержательно полных пар суж­дений, например, акцидентальных суждений Н.А. Васильева, не дают совер­шенных силлогистик. Такое большое число правильных модусов в совокупности с редкими свойствами совершенности свидетельствует об исключительной уникальности подобных силлогистических систем, логическая эффективность которых во много раз превышает силлогистику Аристотеля. Большим преиму­ществом суждений Аристотеля является то, что они более широко используются в естественном языке и человеческой практике и покрывают по степени не­определенности суждений несколько другую область дедуктивных выводов, чем, например, более определенные атомарные суждения Дж. Венна. Поэтому развитие логики, по мнению автора, должно состоять в расширении несовер­шенной традиционной силлогистики Аристотеля до более мощных совершен­ных систем, включающих в себя все его суждения, например, до совершенной негативной силлогистики из 8 суждений А. де Моргана и позволяющей опери­ровать с отрицательными терминами [9], или до ещё более мощной и выявлен­ной в настоящей публикации совершенной силлогистической системы из 16 суждений, включающих в себя помимо суждений Аристотеля с квантифика­цией субъекта также суждения с квантификацией предиката. Существуют ли другие совершенные силлогистические системы, обладающие привлекатель­ными для практики свойствами, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Совре­менное слово, 1998. 448 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

5. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.:Наука, 1973. 400 с.

6. Sidorenko O. On the number of perfect fragments of the eight judgments in the traditional integrated quasi-universal syllogistic // European multi science journal. №24, 2019. P. 40-51.

7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / Lingvo-science. №22, 2019. С. 14-27.

8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentals scien- tiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

11. Сидоренко О.И. О построении совершенной интегрированной силлогистики традиционного типа из 50 базисных суждений на основе силлогистики из 42 суждений // United journal. №24. 2019. С. 20-33.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современ­ные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

16. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

2.10.