Парадоксы
Парадоксом называется тип рассуждения, в котором без нарушения логических правил вывода доказывается некоторое утверждение и оно же опровергается. Другими словами, в парадоксальном выводе выводимы вместе некоторое высказывание и его отрицание.
Ясно, что в этом случае теория анализируемых рассуждений оказывается противоречивой, а поэтому и тривиально полной: в ней можно доказать любое, какое угодно утверждение. Поэтому возникновение в теории или концепции парадокса означает ее смерть. С другой стороны, возникновение парадоксальной ситуации в теории всегда стимулировало ее совершенствование и развитие.Парадокс лжеца. Первое упоминание об этом парадоксе принадлежит, по-видимому, Эвбулиду из Милета. В оригинальной формулировке он излагается следующим образом. Критянин Эпименид утверждает, что все критяне, включая его самого, лжецы. Тогда если данное утверждение ложно, то сказанное им — истина и он не лжец. Если же это утверждение истинно, то сказанное им ложно, так как он лжец.
В более прозрачной формулировке парадокс лжеца можно объяснить следующим образом. Некто утверждает: «Я лгу». Если при этом он на самом деле лжет, то сказанное им есть ложь, а поэтому он не лжет. Если же он, утверждая «Я лгу», не лжет, то сказанное им является истинным суждением, а поэтому он лжет. Таким образом, он лжет и не лжет одновременно. В более современной интерпретации этот парадокс приводится следующим образом. На листе бумаги записана фраза: «Все, что написано на этовд листе — ложь». Кроме этой записи на листе больше ничего не написано. Тогда, если предположить, что утверждение на листе истинно, то оно ложно, и наоборот.
Упражнение. Допустим, что на листе бумаги имеется надпись: «Написанное на обратной стороне листа — истина», а на обратной стороне содержится такая же надпись. В результате несложного логического анализа легко показать, что парадоксальной ситуации при этом не возникает.
Однако остаются еще три варианта записей. Например, на лицевой: «Написанное на обратной стороне листа — истина», на обратной: «Написанное на обратной стороне листа — ложь» и так далее. Следует определить, какой из этих вариантов надписей на листе бумаги приводит к парадоксу.Парадокс «Ахиллес и черепаха». Одна из четырех дошедших до нас знаменитая апория Зенона Элейского. Известна она, как и три другие, из текста «Физики» Аристотеля и формулируется в следующем рассуждении. Быстроногий Ахилл никогда не сможет догнать самого медленноползущего животного — черепаху. Действительно, если оба они стартовали одновременно, а у черепахи была некоторая известная фора в расстоянии, то когда Ахилл достиг точки старта черепахи, она уже прошла определенное новое расстояние до новой точки пути. Когда же Ахилл достиг и этой точки, черепаха уже была в другой, и так до бесконечности.
Аналогичные рассуждения Аристотель приводит относительного апории Зенона «Дихотомия». Если необходимо пройти некоторое расстояние, сначала требуется пройти его половину. Но для того, чтобы пройти половину пути, следует пройти половину этой половины, и так до бесконечности.
Парадокс «Стрела». Наиболее известная апория Зенона, представляющая интерес и для современной методологии познания. Аристотель сформулировал ее следующим образом. Если всегда всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе месте, а перемещающееся тело в момент «теперь» всегда находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна. Это заключение вытекает из определения, что время слагается из отдельных «теперь».
Эту апорию Зенона можно более прозрачно пояснить на примере парадокса изменения. Предположим, что объект изменяется во времени. Изменение есть переход объекта из одного состояния в другое, последующее во времени. Время определяется последовательностью своих моментов. Каждому состоянию объекта соответствует конкретный момент времени. Момент неделим, поэтому в нем невозможен переход. Отсюда следует, что объект в любой момент времени остается неизменным.
А так как в определении времени не предполагается ничего, кроме моментов, то объект остается неизменным на протяжении всего времени. Следовательно, изменяющийся объект не изменяется.Можно, конечно, вслед за Аристотелем отвергать определение времени в терминах моментов и утверждать, что время состоит из множества «отрезков» или, говоря современным языком, интервалов. Однако, если принять интервальную концепцию времени и полагать, что время исчерпывающе определяется последовательностью интервалов, можно в рассуждении прийти к новой апории.
Парадокс «Бессмертие Сократа». Известен по текстам Секста Эмпирика в следующей формулировке. Если умер Сократ, то он умер или когда жил, или когда умер. Если когда жил, то он не умер, так как один и тот же человек и жил бы, и был бы мертв; но и не тогда, когда умер, ибо он был бы дважды мертвым. Стало быть, Сократ не умер.
Парадокс возникновения. Апория приписывается Аристотелем и Диагеном Лаэртским Пармениду, учителю Зенона. В общей формулировке она представляет следующее рассуждение, Возникновение, уничтожение и изменение есть один из переходов: не-сущего в сущее, сущего в не-сущее либо сущего в сущее. Но любой из этих переходов невозможен. Из не-сущего не может возникнуть сущее, поскольку из ничего ничто не возникает. Сущее не может уничтожиться и перейти в не-сущее, ибо не-сущее есть ничто. Наконец, сущее не может перейти в сущее, так как оно им уже является. Следовательно, невозможно возникновение, уничтожение и изменение в целом.
Парадокс «Куча». Приписывается Эвбумеду. Одно зерно — не куча, два зерна тоже не куча, даже три зерна еще не куча. Когда же появляется куча зерен?
Парадокс Рассела. Привел к радикальному эффекту в развитии методологии науки. Стал теоретическим источником проблематики новой области познания — математической логики. Суть парадокса объясняется следующим образом. Интуитивно понятие множества мыслится как совокупность элементов определенного сорта. Множества можно разделить на два типа.
Множество, которое включает себя в качестве элемента, назовем несобственным множеством. Множество, которое не включает себя в качестве элемента, назовем собственным множеством. Пусть X — это множество всех собственных множеств. Если X — несобственное множество, то оно не включает себя в качестве своего элемента и по определению является собственным. Если X — собственное множество, то оно включает себя в качестве своего элемента и по определению является не собственным. Таким образом, любое предположение ведет к противоречию.Парадокс «Города мэров». Популярный вариант парадокса Рассела. Вышел указ: мэр любого города не имеет права в нем жить, а обязан жить в особом городе — Городе мэров. Последний, конечно, также имеет собственного мэра. Но где ему жить? В своем городе он жить не вправе, но именно здесь должен жить, исполняя указ.
Парадокс парикмахера. Одним небольшим городком сельского типа правил ленивый мэр. Работать он не любил и предпочитал «работу с документами», а также написание указов, которые бы никого ни к чему не обязывали и не мешали работать другим горожанам. Однажды он и издал такой якобы пустой указ, который предписывал самим бриться тем и только тем горожанам, которых не бреет парикмахер. После выхода указа в свет социальных потрясений в городе не произошло. Разволновался только парикмахер, он в городке был единственным. Если он будет бриться сам, то его будет брить парикмахер и он нарушит указ. Если же его будет брить парикмахер, то, будучи единственным парикмахером в городе, он вынужден бриться сам и тоже нарушит указ мэра. Так он и ходит до сих пор бородатый.
Парадокс каталога. Библиотека решила юставить библиографический каталог, в который должны входить все те и только те библиографические каталоги, которые не включают себя. Включает ли такой каталог себя?
Парадокс гетерологичности. Некоторые русские прилагательные, например: «многосложный», «русский» и т.п., обозначают свойства, которыми они сами обладают. Назовем их автологичными, а все остальные прилагательные — гетеро логичными.
Так, прилагательные «односложный», «зеленый» гетерологичны. Тогда если прилагательное «гете- рологичный» гетерологично, то оно автологично, и наоборот.Парадокс «неожиданной экзекуции». Некоторый суд выносит следующий приговор: «Казнить подсудимого в течение следующей недели, но так, чтобы приговоренный узнал о дне казни только утром в день самой казни». Однако указанный приговор никогда не может быть приведен в исполнение. Действительно, неделя казни начинается с понедельника и заканчивается в воскресенье. В воскресенье казнь не может состояться, так как уже в субботу приговоренный будет знать о дне казни. Поэтому воскресенье следует исключить и оставить последним сроком субботу. Но и в субботу казнь невозможна по тем ж соображениям, по каким ее нельзя было назначить на воскресенье. В конечном счете приходится последовательно отказываться от всех остальных дней недели и признать приговор не исполнимым.
Парадокс тождества. Число 9 больше числа 7 с необходимостью. Число планет равно 9. Следовательно, необходимо, что число планет больше 7. Однако ясно, что приписывание оператора необходимости к заключению рассуждения некорректно.
Парадокс именования. Непутевый студент пишет декану факультета объяснительную записку по поводу появления на занятиях в нетрезвом состоянии: «Перед учебными занятиями я зашел в кафе позавтракать, встретил приятеля. Он пил минеральную воду, по крайней мере, это было видно из наклейки на бутылке. Угостил и меня. Содержимое стакана оказалось спиртным напитком. «Что это?» — спросил я приятеля. «Водка», — флегматично ответил он. Я не знал, что содержимое стакана является спиртным напитком». Написав это, студент задумался. Он вспомнил занятие по логике, на котором разбирался принцип взаимозаменяемости терминов, имеющих одинаковое значение, то есть указывающих на один и тот же предмет. Немного поразмышляв, он заменил в последней фразе термин «содержимое стакана» на термин «водка». В окончательном варианте заключительная фраза стала звучать так: «Я не знал, что водка является спиртным напитком».
Удовлетворительно хмыкнув, студент направился в деканат.
Парадокс описания. Можно ли описать чистый лист бумаги на нем самом? Описание выглядело бы так: «Передо мной лист бумаги на котором написано, что передо мной лист бумаги, на котором ...»
Поп решил увековечить свою любимую, но вороватую собаку надписью на камне: «У попа была собака, он ее любил. Она съела кусок мяса, он ее убил. И на камне написал, что у попа была собака...» Задумался поп, закончит ли он свою надпись?