(2') Онтологические проблемы
То, что объекты математики обязаны своим существованием отчасти языку, иногда понималось самим Брауэром. Так, он писал в 1924 году: «Математика основывается («Der Mathe- matik liegt zugrunde») на бесконечной последовательности знаков или символов («Zeichen») или на конечной последовательности символов...» [6, с.
244]. Это не следует понимать как допущение приоритета языка: без сомнения, ключевым термином здесь является «последовательность», а понятие последовательности основывается на интуиции времени и на конструировании, опирающемся на эту интуицию. Однако это утверждение показывает, что Брауэр знал о том, что для осуществления конструирования требуются знаки и символы. Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мышление (то есть последовательность аргументов, выраженных лингвистически) имеет огромное влияние на наше осознание времени и на развитие нашей интуиции последовательного расположения. Это никоим образом не расходится с конструктивизмом Брауэра,- но действительно расходится с его субъективизмом и мента- лизмом, ибо объекты математики могут теперь рассматриваться как граждане объективного третьего мира: хотя содержание мышления первоначально построено нами (то есть третий мир возникает как продукт нашей деятельности), такое содержание обусловливает своп собственные непреднамеренные следствия. Натуральный ряд чисел, которые мы конструируем, создает простые числа, которые мы открываем, а они в свою очередь создают проблемы, о которых мы и не мечтали. Вот именно так становится возможным математическое открытие. Подчеркнем, что самыми важными математическими объектами, которые мы открываем, самым!! благодатными гражданами третьего мира являются именно проблемы и новые виды критических рассуждений. Таким образом, возникает некоторый новый вид математического существования — проблемы, новый вид интуиции — интуиция, которая позволяет нам видеть проблемы и понимать проблемы до их решения (ср. браузровскую центральную проблему континуума).Рейтингом был прекрасно описан способ, которым язык и дискурсивное мышление взаимодействуют с бо- .-.лее непосредственными интуитивными конструкциями „-(взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот :/—идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, как предполагалось, достигает интуитивное конструирование). Можно процитировать начало того отрывка из -его работы, который не только стимулировал меня на дальнейшие исследования, по и поддержал мои'размыш- ления: «Понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным. Можно даже построить нисходящую шкалу степеней очевидности. Высшую степень имеют такие утверждения, как 2+2 = 4. Однако 1002+2= 1004 имеет более низкую степень; мы доказываем это утверждение не фактическим подсчетом, а с помощью рассуждения, показывающего, что вообще (п+2) +2 = п+4... [Высказывания подобно этому] уже имеют характер импликации: «Если построено натуральное число п, то можно осуществить конструкцию, выражаемую равенством (n-f-2)+2 = n-f-4» [26, с. 225]. «Степени очевидности» Рейтинга имеют в данный момент для нас второстепенный интерес, а более важным выступает прежде всего исключительно простой и ясный анализ Рейтингом необходимого взаимодействия между интуитивным конструированием и его лингвистическим выражением, которое неизбежно приводит нас к дискурсивному и тем самым к логическому рассуждению. Данный момент подчеркивается Рейтингом, когда он продолжает: «Эта степень может быть формализована в исчислении со свободно переменными» [26, с. 225].
Наконец следует сказать о взаимоотношении Брауэра с математическим платонизмом. Автономия третьего мира несомненна, и поскольку это так, то брауэровское равенство «esse = construi» должно быть отброшено, по крайней мере в отношении проблем. Это, возможно, заставит нас заново пересмотреть проблему логики интуиционизма: не отбрасывая интуиционистских стандартов доказательства, следует подчеркнуть, что для критического рационального обсуждения важно четко различать между тезисом и очевидными свидетельствами в его пользу. Однако это различие разрушается интуиционистской логикой, которая возникает из смешения свидетельства (или доказательства) и утверждения, которое должно быть доказано (см. выше, разд. 5.4).