Логические задачи

Задача 1. Пронырливый журналист прорвался в приемную к министру по поводу необходимой информации. Быстро прошмыгнув мимо склонившейся над детективом секретарши, он ворвался в кабинет.

• Я сейчас занят, — взревел министр, отрываясь от кофе с тостами. — Обратитесь к секретарю.
• Я ничего не знаю по этому вопросу, — сказала девушка, с сожалением оторвавшись от книги. — Но если эта информация не известна министру, то его заместитель обязательно должен быть в курсе дела. Вот его кабинет, напротив кабинета министра.
• Не следует думать, что если я не владею информацией, то ею не владеет ни министр, ни секретарь, — глубокомысленно изрек замминистра. — Это все, что я могу сказать. Журналист был несколько обескуражен, он так и не понял, кто владеет нужной ему информацией. Немного подумав, журналист понял, что если верить этим двоим, то ситуацией владеет только министр. Обреченно вздохнув, он снова заправился к министерскому кабинету. Почему журналист решил, что информацией владеет только министр?

Решение. Для решения задачи следует перевести утверждения секретаря и замминистра, а затем проанализировать логические условия их истинности в случае, когда оба утверждения истинны. Если С — «Секретарь владеет информацией», 3 — «Замминистра владеет информацией» и М — «Министр владеет информацией», то анализируемые высказывания имеют следующий формальный вид.

Секретарь              Замминистра

¦iC л ( М —» з)              13 —gt; ( і!\Т л —'С))

Допущение              1              1

Следует              10              0 110              10 О 01 О 10

По условиям истинности С — ложно, 3 — ложно, М — истинно. Следовательно, только министр владеет необходимой информацией.

Задача 2. В городе избирали нового мэра. Журналист обратился с вопросом «Кто будет избран на пост мэра? » к кандидатам на пост мэра А, В и С.

• Я не выиграю выборы, — волнуясь, сказал А, — и, если С не выиграет выборы, то и В не станет мэром, а выборы признают недействительными. Ведь если на выборы придет менее 25% избирателей, они будут признаны несостоявшимися.
• А просто боится выборов, — сказал В. — Я думаю, что если А не изберут мэром, то все же неверно полагать ситуацию, в которой мое не- избрание автоматически влечет неизбрание С.
• Выборы, конечно, состоятся, — поддержал его С. — А, по-моему, проиграет выборы, а мэром станем либо В, либо я.

«Каждый высказался вполне искренне, — подумал журналист. — Но кто же по их прогнозам станет мэром, если все они сказали правду?»

Решение. Перевод утверждений А, В и С следующий.

ABC

-.А л (~,С -gt; -,в)              -.А -gt; -,(-,В -gt; -,С)              -.А              л              (BVC)

Постройте полные таблицы логических условий истинности для высказываний А, В и С, как это делалось в разделах 3.2 и 3.3. Выделите логически возможную ситуацию, то есть строку таблицы, в которой А, В и С совместно принимают значение «истинно». Тогда, если простые высказывания интерпретировать как: А — «А станет мэром», В — «В станет мэром» и С — «С станет мэром», получим для них следующие значения истинности в соответствующей строке: А = 0, В = 0иС = 1. Следовательно, по прогнозу мэром станет С.

Задача 3. Журналисты обратились к известным политикам, депутатам с просьбой дать прогноз о следующем президенте. На просьбу отозвались трое: Ж, Н и С.

• Если верить С, то следующим президентом будет либо П, либо 3, — со своейственным ему сарказмом ответил Ж.
• Если П не останется президентом на новый срок, то все же ни 3 не станет президентом, и ни, тем более, Ж, — сказал Н.
• Во-первых, не следует ни в коем случае верить Н. Уже однажды поверили, теперь расхлебываемся. Но все же, думаю, Ж не станет следующим президентом, — заявил С.
• Ж, как всегда, прав, — заметил один из журналистов, обращаясь к своим коллегам.
  — Конечно, у этих политиков очень разные взгляды и им невозможно прийти к общему мнению, но никто из них не дал прямо свой прогноз. Все сказанное ими очень туманно.

- Во-первых, ты правильно заметил, Ж, как обычно, показал себя хитрецом-диплома- том, — сказал другой журналист. — Он привык резать правду-матку для любых возможных ситуаций. Правда, всегда ее формулирует в условной форме.

Во-вторых, Ж, конечно, никогда не пойдет на союз с Н, но, наступив на свою песню, он все же может скооперироваться во мнении с С. Тогда туман рассеится и можно будет определить общий прогноз.

В-третьих, за исключением Ж, все политики обычно лгут. Поэтому можно было бы выяснить совместный пргноз о следующем президенте, который дают Н и С, учитывая, что они оба лгут.

Наконец, в-четвертых, С — значительная фигура в парламенте и имеет среди политиков большой авторитет. Поэтому было бы полезно выяснить мнение С, когда, конечно, он говорит правду.

Таким образом, можно сформулировать четыре вопроса задачи.

1. Почему Ж всегда прав, то есть действительно ли в любой возможной ситуации, которая складывалась бы относительно прогноза, его утверждение истинно?
2. Каким будет прогноз о следующем президенте, если рассматривать ситуацию, в которой Ж и С объединяются в общем мнении?
3. Каким будет прогноз о следующем президенте, если рассматривать ситуацию, в которой С и Н объединены в общем ложном мнении?

4. Каким будет прогноз о следующем президенте, если рассматривать ситуацию, в которой утверждение С истинной?

Решение. Переведем утверждения, сделанные Ж, Н и С, на язык логики высказываний. Определим для них логические условия истинности.

Обратим внимание, что при построении полных таблиц истинности для С! переписываются логические условия истинности, полученные для С, а для —iH! записываются логические условия истинности, противоположные по значению условиям истинности, полученным для Н.

Получаем следующие ответы на вопросы задачи.

1. Из таблицы видно, что утверждение Ж истинно в каждой логически возможной ситуации. Поэтому Ж всегда говорит правду.
2. Из таблицы видно, что Ж и С могут объединиться в общем мнении на прогноз лишь в ситуации 6, когда их утверждения оба истинны. Для б верно: П = 0, 3 = 1, Ж = 0. Президентом будет 3.
3. Из таблицы видно, что утверждения Н и С совместно ложны в двух ситуациях: в 5 и 7 ©игуа- цию 5 следует отбросить, так как для 5 верно 3 = 1 и Ж == 1, то есть по прогнозу получим обоих, 3 и Ж, в качестве новых президентов, что невозможно. Для ситуации 7 имеем: П = 0, 3 = О и Ж = 1. Значит, следующий президент — Ж.
4. Из таблицы видно, что утверждение С истинно лишь в одной из возможных ситуаций, в ситуации 6. Для ситуации 6 имеем: П = 0, 3 = 1, Ж = 0. Поэтому следующим президентом по прогнозу будет 3.

Чтобы завершить анализ данного раздела, следует вновь обратиться к задачам 3.9-3.18 раздела 3.2, 3.20-3,22 раздела 3.3, 4.3 раздела 4.1, 4.6 раздела 4.2 и 4.9 раздела 4.3.