Логическая структура высказываний

Суждением, или высказыванием, называется логическая форма теоретического познания, представляющая собой истинное или ложное утверждение о принадлежности изучаемому предмету некоторого свойства либо об отношении изучаемого предмета к соотносимым с ним предметам.

В классической логике высказываний различают простые и сложные высказывания. Простыми считают высказывания, которые в своей структуре более элементарных высказываний не содержат. Примером простых высказываний могут служить: «Се-

годня теплый день», «3 —простое число», «Хулиганство есть преступное нарушение общественной безопасности». Сложное высказывание состоит из простых высказываний, объединенных логической связкой. Например: «В огороде бузина, а в Киеве дядька», «Либо ты гений, либо ты смертен». Сложное высказывание может быть образовано из простого с помощью логического оператора. Например, из простого высказывания «Данная задача разрешима» с помощью оператора отрицания можно получить сложное высказывание «Данная задача неразрешима».

Сложные высказывания делятся на отрицательные («Он не пошел сегодня на занятия»), соединительные («А и Б сидели на трубе»), разделительные («Вечером я почитаю или посмотрю ТВ») и условные («Если я посещу все занятия, то успешно сдам экзамен по логике»).

Имеются существенные неудобства в использовании разговорного, естественного языка для логических целей. Во-первых, с логической точки зрения он излишне перегружен информацией. Это иллюстрируется на примере простейших рассуждений по следующей схеме: «Если А, то В.

Формальный язык логики высказываний включает символы, принадлежащие к следующим категориям:

1. Переменные для высказываний: А, В, С,...
2. Логические операторы или связки : -— отрицание, л — конъюнкция, v — дизъюнкция, у — строгая дизъюнкция, —gt; — импликация, lt;-gt; — эк- виваленция.
3. Логические константы : 1 — «истинно», О — «ложно».
4. Технические символы : ( — левая скобка, ) — правая скобка.

Логические операторы и связки имеют следующие аналоги в естественном языке: отрицание — «не», «неправда, что...»; конъюнкция — «и», «но», «да», «а» ; дизъюнкция — «или», «либо»; строгая дизъюнкция — «или...

Понятие формулы языка логики высказывания определяется следующим образом.

1. Все простые высказывания являются формулами.
2. Если А — формула, то А — формула.
3. Если А —формула и В —формула, то (А а В), (Av В), (AVB), (А-gt;В), (Аlt;-»В) — также формулы.
4. Формулами логики высказываний являются те и только те, которые построены в соответствии с пунктами 1-3.

Строгое определение понятия формулы языка позволяет ответить на вопрос, что является правильно построенным выражением в языке логики высказываний, а что им не является. Например, следующие выражения являются правильно построенными формулами:

((AaB)vC), ((-iA —gt; В) a (-iB -о С)), (-i(—iA a —iB) a C)l

Следующие выражения не являются формулами языка логики высказываний:

(A-iB), (л A v -iB), (—» (—iA а в)с).

В примерах правильно построенных формул для упрощения записи можно снять общие скобки, так как это не изменяет логическую структуру формулы.

Таким образом, каждому сложному высказыванию в естественном языке соответствует определенная логическая структура, выраженная формулой языка логики высказываний. Так, высказывание «Если я сдам экзамен по логике, то мир перевернется, или если мир перевернется, то я сдам экзамен по логике» имеет следующую структурную формулу: (а —» b)v (в —gt; А); высказывание, которое мы отнесем к типу утверждений «женской логики», «Он обязательно полюбит меня, но навряд ли это произойдет, если он узнает о всех моих похождениях» можно выразить следующей формулой: Ал-і(в~gt; А); логическая структура высказывания «Я сдам экзамен по логике, если и только если не буду пропускать занятия и научусь решать задачи» имеет следующую форму: А«-»(-іВлС).

Анализ логической структуры выражений языка является необходимым предварительным этапом логического исследования.

Упражнения

1. Определите, какие из приведенных выражений представляют собой правильно построенные формулы языка логики высказываний.

(А —gt; В -gt; С); (B-gt;(Cv D)); А -gt; (в (С -gt; D));

-r-iA v -.(в Л с); (((А -gt; в) -gt; C)d v е);

—іi(—1(—i-'(-iA v —іВ) —gt; —1(—і—iC л D))); —i(a);

((((А л -,ВЬ)С a -i)c lt;-gt; D); (A v (В v (-,B v (C v -.D)))).

2. Из следующих символов языка логики высказываний составьте правильно построенные формулы.

А, В, С, Г), л ) л, v ,              ),              А,              А, В, і, і, ), D, (, ),

А, В, С, і, і, і, V у ^) (? (» А, В, С, і, л gt; v і () )|

А, А, А, В, В, і, і, і, і, \у, V, »,              , (, (, (» )» ), ).

3. Пусть переменная А означает высказывание «Я сдам экзамен по логике», В — «Декан доволен мной», С — «Мама накормит меня прекрасным ужином», D — «На меня обратят внимание девушки», Е — «Любимая футбольная команда выиграла матч ». Переведите на естественный язык следующие формулы языка логики высказываний.

А —» (в л —1(—iC л —iD)); (в lt;-» а) а ((—iE v —iC) —gt; (~iA a —iD)); С —» (d —» (e —» (а л в)));

(в lt;-» (AV-iD))a ((—iD v —iE) —•» (—iA a —iC)).

4. Следующие логические структуры перевес- дите на естественный язык, подобрав подходящие по смыслу высказывания для встречающихся в формулах переменных.

А —gt; —1(—iB v —iC); А л (¦—іВ —gt; (С d));

(—iA a ~iB) (—iC —gt; ~iD); —i(A —gt; (—iB v —iC));

A -» (В -» (C -gt; D)); —.(-iA -i(B v

5. Самостоятельно придумайте задачу, аналогичную упражнению 3.3.

2. Логические условия истинности высказываний

Классическая логика опирается на принцип двузначности: относительно любого высказывания можно утверждать, что либо оно истинно, либо оно ложно; третьего не дано.

Классическое предположение двузначной истинностной оценки высказывания является очень сильной идеализацией, которая встречает опровержения в логической практике. Спросим, в каком смысле высказывание «Если 2 + 2 = 4, то Москва — столица России» может быть истинным или ложным? Оно скорее является бессмысленным. Другой пример — знаменитая теорема Ферма, которая формулируется утверждением: «Не существует корней для уравнения xn + yn= zn, при пgt;2». Для степени 2 такие корни найти легко: З2 + 42 = 52. Однако оказалось неразрешимой задачей математики — доказать утверждение теоремы Ферма и опровергнуть его, подобрав подходящие степени и корни. Поэтому данное высказывание нельзя считать ни истинным, ни ложным; оно имеет неопределенное истинностное значение. Наконец, в первом разделе уже разбиралась проблема истинностной оценки высказывания «Я лгу», лежащего в основе «Парадокса лжеца». Очевидно, подобные высказывания, которые, конечно, не являются бессмысленными, вообще не имеют истинностной интерпретации. Логические теории, в которых не выполняется принцип двузначной истинности высказываний, называют неклассическими логиками.

Если принять классическую точку зрения, то есть считать, что любое простое высказывание либо истинно, либо ложно, возникает следующий вопрос: как зависит истинность или ложность сложного высказывания от значений истинности составляющих его простых высказываний? Отвечая на поставленный вопрос, следует прежде всего подчеркнуть, что в логике не решается задача: является ли данное утверждение истинным или ложным. Это функция конкретной науки или практики, к которой относится рассматриваемое утверждение. Скажем, определение истинности высказывания «Ни один материальный объект не перемещается со скоростью, превышающей скорость света» — прерогатива физики, но не логики.

Областью логического интереса является множество всех логически возможных ситуаций, в которых высказывание может быть истинным или ложным, а также логические условия определения истинности сложного высказывания в каждой из возможных ситуаций, если истинность составляющих его простых высказываний определена.

когда А и В ложны. Других возможных ситуаций нет.

Подвергнем анализу наши интуиции, связывающие истинностную оценку сложных формул с оператором отрицания, связками конъюнкции, дизъюнкции, строгой дизъюнкции, импликации, эквивален- ции и истинностную оценку соответствующих им аналогов в естественном языке. Очевидно, что с точки зрения таких интуиций и принятого принципа двузначности отрицание высказывания ложно, если высказывание истинно, и наоборот. Учитывая логическую практику оперирования союзом «и», можно сформулировать следующий истинностный принцип: конъюнкция высказываний истинна лишь в одном случае, если составляющие ее конъюнкторы истинны. Оперирование разделительными суждениями с нестрогим употреблением союза «или» позволяет ввести принцип: дизъюнкция высказываний ложна лишь в одном случае, если составляющие ее дизъ- юнкторы ложны, то есть дизъюнкция истинна, когда выполняется хотя бы одна из сторон альтернативы. Естественно, что употребление союза «или» в строгом смысле предполагает принцип: строгая дизъюнкция высказываний ложна, если ее дизъюнкторы оба истинны либо они ложны. Природа условных суждений со связкой «если... то...» такова, что они ложны лишь в одном случае, если их условная часть (антецедент) выполняется, а обусловленная часть (кон- секвент) проваливается. То есть импликация ложна лишь в случае, если антецедент истинен, а консеквент ложен. Наконец, интуитивно ясно, что эквиваленция истинна, если составляющие ее высказывания принимают одинаковые истинностные значения, и ложна, если они принимают различные значения.

В соответствии с изложенными интуициями можно построить истинностные таблицы, полно отражающие значения логических связок в каждой логически возможной ситуации. Пусть 1 — логическая константа «истинно», а О — «ложно». Тогда истинностные таблицы для логических связок и оператора отрицания имеют следующий вид:

Каждая строка построенных таблиц означает логически возможную ситуацию, в которой на основании истинностных значений простых высказываний определяется истинностное значение сложной формулы.

Используя истинностные таблицы, можно определить логические условия истинности сложных формул, содержащих более чем одну логическую связку. Например, условия истинности для высказывания «Если я сдам экзамен по логике, то мир перевернется, или если мир перевернется, то я сдам экзамен по логике», имеющего логическую структуру (A—gt;B)v (В-gt;А), поэтапно определяются следующим образом:

Таким образом, данное высказывание является истинным в каждой логически возможной ситуации.

Полученный результат представляется не соответствующим нашим интуициям. В чем здесь дело? Противоинтуитивный характер истинности рассматриваемого высказывания является следствием допущения принципа двузначности. Логическая структура высказывания сама по себе несет лишь информацию о том, что любые два высказывания находятся в такой логической связи, что либо первое влечет второе, либо второе влечет первое. Такой принцип приемлем только тогда, когда высказывания, составляющие условное суждение, то есть антецедент и консеквент импликации связаны по смыслу. Так как простые высказывания, входящие в рассматриваемое сложное, не имеют смыслового соприкосновения, возникает парадоксальный результат.

Другой пример. Условия истинности высказывания «Он обязательно полюбит меня, но навряд ли это произойдет, если он узнает о всех моих похождениях», имеющего структуру (АЛ -iB)v (В—» А), поэтапно определяются следующим образом:

Данное высказывание оказывается ложным в каждой логически возможной ситуации. В чем здесь дело? Мы отнесли это высказывание к числу принципов «женской» логики (в шутку, конечно). Действительно, девушки — народ самоуверенный, поэтому «Он обязательно полюбит меня» является характерным принципом их образа мышления. Но девушки и — народ осторожный, поэтому фраза «Неправда, что если он узнает о всех моих похождениях, то обязательно полюбит меня» для них столь же значима в качестве принципа, что и первая. Но видно, что первое утверждение противоречит второму: то, что утверждалось в первом, во втором высказывании отрицается и обусловливается. Поэтому результирующее высказывание оказалось ложным в любой логически возможной ситуации. Очевидно, прав был древний мудрец, когда сказал: «Выслушай женщину и сделай все наоборот»!

Для сложной формулы, включающей две переменные, имеются ровно четыре логически возможные ситуации. Сколько их для формулы, содержащей п переменных? Число m логически возможных ситуаций для формулы с числом п переменных определяется равенством m = 2". Так, для формулы с тремя переменными логически возможных ситуаций ровно 8, для формулы с 4 переменными их 16, и т. д. Распределение истинностных значений, входящих в формулу переменных, комбинаторно осуществляется следующей операцией. Пусть формула содержит 4 различные переменные, то есть число строк истинностной таблицы, соответствующее числу логически возможных для формулы ситуаций, равно 16. В строках под первой переменной подряд записываем 8 значений «1» и далее 8 значений «О»; для второй переменной чередуется последовательность 4-х значений «1» и 4-х значений «О»; для третьей переменной чередуется последовательность 2-х значений «1» и 2-х значений «О»; для последней, четвертой переменной значения «1» и «О» чередуются через одно. Таким образом, получаем полное распределение возможных истинностных значений для множества логически возможных ситуаций.

Рассмотрим пример. Высказывание «Я сдам экзамен по логике, если и только если не буду пропускать занятия и научусь решать задачи» с логической структурой A«-gt;(-iB А С), содержащей три различные переменные, имеет следующие условия истинности:

Высказывание истинно в четырех ситуациях и в четырех оно ложно.

Высказывание называется логически истинным или общезначимым, если оно истинно в каждой логически возможной ситуации. Представленный выше первый пример дает понимание логически истинного высказывания с точки зрения классической логики.

Высказывание называется логически ложным или противоречием, если оно ложно в каждой логически возможной ситуации. Второй пример иллюстрирует противоречивое высказывание.

Высказывание называется случайным, если в различных логически возможных ситуациях оно может быть как истинным, так и ложным. Третий пример иллюстрирует случайное высказывание.

Логически истинные формулы классической логики высказываний образуют множество ее логических законов. Следует помнить, что понятие закона относительно и соотносится с вполне определенной теорией. Это означает, что законы одной теории не обязательно являются законами другой. Скажем, утверждение «Не существует объектов, имеющих скорость, превышавшую скорость света» является законом физики. С логической точки зрения это утверждение случайное, то есть может быть как истинным, так и ложным. Проведем такой мысленный эксперимент. Допустим, мы щелкаем ножницами со скоростью, равной полу- световой, что физически возможно. Длина лезвий ножниц, конечно, больше чем половина расстояния между их кольцами. Поэтому точка пересечения лезвий в процессе щелканья будет передвигаться снизу вверх со скоростью, превышающей скорость света. То, что является физическим законом, таким образом, не является логическим законом, так как объекты исследования у этих наук различны. Физически возможная ситуация не совпадает ни по объектам, ни по оценкам с логически возможной ситуацией.

Аналогичное происходит и с законами логики. Каждый из них «работает» в рамках и относительно определенной теории и не обязательно является законом другой логической теории. Например, логические законы исключенного третьего «Нечто утверждается либо отвергается; третьего не дано» и непротиворечивости «Нельзя нечто утверждать и отвергать одновременно», имеющие, соответственно, логические структуры (А -і А) и -,(АА-.А), являются логически истинными высказываниями классической логики, а поэтому ее законами. (Проверьте это, построив для данных высказываний таблицы истинности.) Однако они могут не выполняться в неклассических логиках, которые игнорируют принцип двузначности истинностной интерпретации высказываний. Закон — понятие, соотносимое с теорией.

Теоретическая логика — удивительная наука в том смысле, что она не только разрабатывает собственные понятия, методы и средства анализа, но и изучает вопросы оптимизации процесса логических исследований. Допустим, следует выяснить, является ли формула, содержащая пять различных переменных, логическим законом классической логики или нет. Метод истинностных таблиц позволяет установить это, построив истинностную таблицу, содержащую 32 логически возможные ситуации. Решение задачи достаточно громоздко. Имеется ли более эффективный метод, позволяющий различать логические законы классической логики от случайных и противоречивых высказываний? Имеется! Будем размышлять от противного: допустим, что представленное для анализа высказывание не является логическим законом, то есть логически истинным высказыванием. Если при таком допущении можно построить хотя бы одну строку по правилам истинности, в которой рассматриваемое высказывание ложно, то, конечно, оно не является логически истинным, а следовательно, и законом классической логики. Если при построении этой логически возможной ситуации мы приходим к противоречию, заключающемуся в том, что одна и та же переменная принимает оба значения: «истинно» и «ложно», то допущение неверно, значит, рассматриваемое высказывание не может быть ложным, то есть оно истинно в каждой логически возможной ситуации. По определению это означает его логическую истинность.

Задача. Является ли высказывание «Если нечто влечет утверждение и его отрицание, то верно его отрицание» логическим законом?

Решение. Данное высказывание имеет логическую структуру следующего вида:

((А-»В)Л (А -gt; —іВ))-gt; —іА.

Рассуждаем от противного: допустим, что данное высказывание ложно, по крайней мере, в одной из логически возможных ситуаций. Тогда распределение истинностных значений составляющих его подформул и переменных можно поэтапно определить следующим образом.

0. [(а -» в)л(а -» -,В)-, -gt;¦ а]              По              допущению
1. [(А —> в)л(а -» -тВ)],              0 [-»а]              По              таблице [-gt;]

1 [(Л -gt;¦ в)],              1 [(А -»• -іВ)],              1 [а]              По              таблицам [л]и [-,]

1 [в],              1 [-в]              По              таблице [-gt;]

1 [в], О [в]              По              таблице [-gt;].

Сокращенная запись анализа логических условий истинности рассматриваемого высказывания имеет следующий вид:

((а —» в)л(А —gt; —іВ)) —» “іА              Высказывание — закон логнки,

11 11 1 110 001 т*к' противное невозможно.

Пример. Является ли высказывание, имеющее логическую структуру

(-ТА v В) —» (-і(ВД-іС) —gt; —і (А А—іС)) , логическим законом?

Решение. Методом рассуждения от противного (методом сведения к противоречию).

Сокращенная запись решения:

(-,А vB)-gt; (-.(ВА -,с)-gt; -,(аЛ-,с))

0111 О 10 01000 1 11 0

Аналогичным образом метод сокращенных истинностных таблиц может быть использован для определения логически ложных, то есть противоречивых формул языка логики высказываний. Отличие состоит лишь в допущении. Если при определении логической истинности формулы предполагается от противного, что она ложна по допущению, то при определении логической ложности формулы, естественно, допускается ее истинность и демонстрируется противоречивость данного допущения.

Пример. Является ли высказывание, имеющее логическую структуру

-і(АЛ-іС)Л-т(-і(-іС —gt; —iB)v —г(АЛ-іС)), логически ложным?

Решение. Методом сведения к противоречию.

Сокращенная запись решения:

—(АЛ-іВ)л—i(—i(—,С —gt; —iB)v —(ал—,c))

110 0 1 1J: 0 10 1              10              00 1 11 0

Рассуждение показало, что сделанное допущение влечет противоречие. Следовательно, допущение неверно, то есть данное высказывание не может быть истинным ни в одной из возможных ситуаций, т.е. оно ложно в каждой ситуации. Значит, оно логически ложно.

Упражнения

6. Используя метод полных истинностных таблиц, определите, являются ли следующие формулы логически истинными, логически ложными или случайными?

А —gt; -iA; А lt;-» -1-іА; (-gt;А v В)-і(АЛ-іВ);

—«А —gt; -і(—іВЛС); —i(a v в)л—і(а lt;-gt; в);

—i(A. vB)o (—ііАЛ-іВ); —і A v —і(ВА—іА);

—«(—іАЛ—іВ) —gt; (-іВ v А); (АЛБ) lt;-gt; (-іA v —gt;в);

(а. —gt; —г-іВ)Л—і((~іВ v с)—gt; (—іС —gt; —іА|;

(~gt;Л v —іВ)д—і(с —gt; —i(ll lt;-gt; —іА));

—’(—1(—1(—іВ vc)v —і(АЛ—іС))—gt; —п(АЛВ)).

7. Используя метод сокращенных истинностных таблиц, докажите, что следующие формулы представляют законы классической логики высказываний.

—ife —gt; —iA)v (—і(вА—іС) —gt; (—1(—iC v D)v —i(—і—iAA-iD)));

—lr-iA v B)v ((—iC —gt; —іВ)—gt; (-і(-і(СЛ—i(-iA v D)|);

—1(—1(—iC —» —iB) v —1(—i(c A—gt;D)a—i(-i A v D)| —gt; —(АД-iB).

8. Используя метод сокращенных истинностных таблиц, докажите, что следующие формулы представляют противоречивые высказываниями классической логики.

(а —gt; —пВ)л.—1((—iB v с) —gt; (—iC —gt; —і а));

——1(—і(—iB v c) v —і(АЛ—iC)) —gt; —і—i(AAB));

-і(-ііАЛ-іВ) —gt; ((—'В v с) —gt; —i(—i(c Д—iD)a—i(—iD —gt; —iA)))).

9. На замечание стороны обвинения «Если подсудимый виновен, то он имел сообщника» адвокат возразил: «Это неверно!». Судья тут же отреагировал на реплику адвоката: «Если считать, что возражение адвоката истинно, то подсудимый виновен». Объясните вывод, высказанный судьей, построив для возражения адвоката полную таблицу истинности.
10. «Кто разбил стекло?» — спросил учитель, войдя в класс. «Алферов, Васильев, Сорокин, встаньте! Опять кто-то из вас отличился?» Ребята встали. Им не хотелось лгать, но и всей правды они не знали, поэтому ответили уклончиво. Алферов: «Васильев стекло не разбивал, да и Сорокин тоже». Васильев: «Если Алферов не виноват, то и я стекло не разбивал». Сорокин: «Неправда, что если Алферов не разбивал стекла, то виноват Васильев». Разбил ли стекло кто-либо из названных ребят, если каждый из них сказал правду? Поясните решение задачи, построив полную таблицу истинности для ответов ребят. Кто разбил стекло, если правду сказали лишь двое из ребят, а третий солгал? Сколько в этом случае вариантов ответа?
11. Боб, Джон и Стив подозреваются в преступлении, которое мог совершить лишь один из них. На следствии Боб показал, что ни он, ни Джон не виновны; Джон утверждал, что виновен Стив, а Боб не виновен; Стив же утверждал, что он не виновен, а виновен Боб. Один из них сказал полную правду; другой — полуправду (в одной части ответа солгал, а в другой сказал правду); третий — ложь. Кто же совершил преступление? Прокомментируйте решение задачи на таблице истинности.
12. Увидев сразу две двери вместо одной, первоклашка засомневался. «Скажите, пожалуйста, — обратился он к проходившему

мимо старшекласснику, — где здесь мужской туалет, слева или справа?» «Выбирай любой» , — рассмеялся тот в ответ. Малыш знал, что в школе ребята разыгрывают друг друга и вполне могут соврать. Пришлось обращаться с тем же вопросом к другому. «Не знаю, по крайней мере, один из них женский», — ответил второй старшеклассник. Сомнения еще больше усилились. «А мне один сказал — выбирай любой!? Скажите, если бы я спросил у него относительно правдивости ваших слов, что бы он мне ответил?» «Конечно, подтвердил бы, что я говорю правду». «Ну, теперь ясно, мне сюда», — решил малыш. Куда? (Решение задачи предполагает, что солгавший единожды лжет всегда, а сказавший правду отвечает всегда правдиво.)

13. «Вы меня совершенно запутали! Кто из вас лжет? Кто говорит правду? » — воскликнул раздосадованно следователь на очной ставке, обращаясь к двум допрашиваемым. «Я говорю правду», — хором отреагировали оба. «Хорошо, — сказал следователь. — Тогда я поставлю вопрос несколько по-другому. Что бы мне ответил ваш оппонент, если бы я попросил его оценить правдивость ваших слов?» Выслушав ответы обоих, следователь удовлетворенно улыбнулся. Теперь он знал, с кем имеет дело. (Как и в предшествующей задаче, солгавший лжет всегда, сказавший правду всегда правдив.) Как следователь определил, кто из них лжец?
14. Теперь первоклашке надо было найти спортзал. «Скажите, пожалуйста, — обратился он к двум уже знакомым ему старшеклассникам, — на каком этаже находится спортзал, на первом или на втором?» «На первом», — ответил один. «На втором», — ответил другой. Итак, розыгрыши в школе продолжались. Но малыша это уже не смущало: ясно, что один из них лжец, а другой говорит правду. Он задал вопрос одному из старшеклассников и по ответу безошибочно определил дорогу в спортзал. Какой вопрос задал малыш?

Задачи на комбинаторику логически возможных ситуаций

15. В спортлагере как всегда царила неразбериха. Воспитатель самой отчаянной, тринадцатой группы, под опекой у которого находились 20 озорников, очень боялся упустить их из виду. Чтобы успешно следить за порядком, он распределил ребят в палатках по периметру квадрата, так, что на каждой стороне периметра жили 7 ребят. Теперь не надо было пересчитывать всех, достаточно было считать ребят по сторонам квадрата, образующего лагерь группы. Свою палатку воспитатель расположил в центре. Лагерь разбит по схеме:

2. 3              2
3. В              3

2              3              2

К ребятам пришли четверо гостей из соседнего лагеря и заночевали у них, расположившись по палаткам таким образом, что, как и прежде, на каждой стороне периметра их находилось по 7. На вечернем

обходе воспитатель не заметил эту шутку, что, конечно, развеселило всех. Тогда на следующую ночь четверо из них вместе с четырьмя гостями отправились ночевать в соседний лагерь. Оставшиеся опять расположились так, что их оказалось по 7 человек на каждой стороне периметра лагеря. Незадачливый воспитатель снова остался в дураках. Как все это удалось озорникам?

16. Футбольный турнир между тремя командами проходил в два круга. Положение команд отражено в следующей таблице.

Определите результаты каждой прошедшей встречи.

17. Может быть, кто-то еще не знает старую русскую задачку про крестьянина, козу, капусту и волка? Крестьянину надо было перевезти на другой берег реки козу, капусту и волка. Но в лодку он мог взять что-то одно: либо козу, либо капусту, либо волка. Козу оставлять наедине с капустой так же опасно, как и волка с козой. Каким образом крестьянин вышел из затруднения?
18. Три молодые пары решили провести воскресный день на природе. По пути им надо было перебраться через речку на другой берег. Лодка, конечно, была, но вмещала только двух человек. Здесь и возникла проблема. Ни одна из девушек не хотела, оказавшись без поддержки своего избранника, находиться в окружении других юношей. Все же выход был найден. Немного подумав, разумная половина компании нашла комбинацию переправы на другой берег, выполнив при этом неожиданный каприз своей прекрасной половины. Где же выход?

3. Логические отношения между высказываниями

В практике интеллектуального общения и познания важную роль играет умение контролировать суждения не только сами по себе, но и в их взаимосвязи между собой, знание методов и средств анализа отношений, объединяющих суждения в единую логическую структуру. Действительно, на каком основании в процессе логической критики я могу утверждать, скажем, что суждения моего оппонента равносильны в логическом смысле тем, которые были высказаны мной раньше? Или наоборот, на каких логических принципах покоится уверенность, что данное суждение противоречит ранее сказанному? Наконец, какие логические принципы лежат в основе критерия отбора в единую систему одних суждений и отбрасывания других, как несовместимых с данной системой? Подобные вопросы требуют детального обсуждения и строгих определений логических отношений, которые связывают суждения, различающиеся друг с другом по логической структуре и условиям истинности. Их анализу посвящен этот раздел.

Пример-шутка. Старушка — божий одуванчик как-то переходила через дорогу и, споткнувшись, совершенно случайно наступила на проезжавший мимо автомобиль. Тот перевернулся, что очень расстроило его владельца. Конечно, сразу набежала толпа зевак, принявшихся активно обсуждать происшедшее. Кто-то жалел старушку, кто-то шофера, а кто-то автомобиль. В общем, к приезду автоинспектора страсти накалились и свидетелей было достаточно. По традиционному «русскому вопросу» «Кто виноват?» мнения разделились. Прекрасная половина отстаивала интересы старушки, а разумная — ясно, стала защищать шофера и его пострадавшую машину. Первый удар приняла на себя бабушка в валенках, категорично и достаточно хитро заявив альтернативу: «Старушка не виновата или виноват шофер». На что ей, естественно, возразил молодой человек из толпы: «Конечно, виновата старуха; это она наступила на автомобиль, а не автомобиль на нее. А шофер не виноват. Он ни слухом, ни духом; ехал себе — вдруг бац!». В разговор вмешалась интеллигентного вида дама в очках с металлической оправой. Она уже смогла выразить свою мысль в форме условного суждения: «Извините, но мне представляется, что если шофер не виноват, то старушка тем более не виновата никоим образом». «Хм! И совсем наоборот, — ворвался в беседу старикан с авоськой, в которой позвякивали пустые молочные бутылки. — Если ваша старуха ни в чем не виновата, то шофер совсем не виноват!» Итог разговора подвела еще одна бабуся, внезапно выскочившая на авансцену и неожиданно для всех вцепившаяся в рукава старика с авоськой и автоинспектора. «Я тебе так скажу, милок: ничего не видела, ничего не знаю. Но старика своего, — вот он — знаю хорошо. Сорок пять лет с ним живу, и не было ни разу, чтобы он мне не соврал. Сказал, что бутылки пошел сдавать, а вон где крутится. Нет у меня к нему доверия и ты не верь ему: все-то он врет!»

Инспектор несколько растерялся. Свести воедино полученную информацию просто невозможно. Кому верить? И решил инспектор довериться информации, полученной от последней бабки: ведь она знает своего мужика, всю жизнь прожили. Если права старушка, ни на полушку не веря мужу, то кто все же виноват?

Если через А обозначить высказывание «Старушка виновата», а через В — «Шофер виноват», то логическая структура утверждений, высказанных каждым из пяти свидетелей, и условия их истинности могут быть без словесной шелухи записаны следующим образом:

Решение задачи. Если права старушка, которая не верит мужу, то речь идет о свидетеле 5. Его утверждение истинно лишь в одной логически возможной ситуации, соответствующей третьей строке таблицы истинности. Для данной строки таблицы переменная В — истинна, а А — ложна. Значит, при данном допущении виноват шофер, а старушка не виновата. Опять победила прекрасная половина!

Более серьезны для логического анализа наблюдения, связанные с отношениями по условиям истинности между информациями, полученными от разных свидетелей. Так, условия истинности утверждений первого и второго свидетеля разнятся таким образом, что всегда, когда утверждение первого истинно, утверждение второго — ложно, и наоборот, когда утверждение первого ложно, утверждение второго истинно. Утверждения первого и третьего свидетеля различны по логической структуре, но принимают одинаковые истинностные значения в каждой логически возможной ситуации. Информация первого свидетеля совпадает с информацией четвертого в первой и четвертой ситуациях: в обеих они истинны. Во второй и третьей ситуации они отличаются друг друга по истинностным значениям. Наконец, информации второго и пятого свидетеля совпадают по значению «ложно» в первой и последней ситуациях и различаются в остальных.

Введем определения логических отношений между высказываниями языка классической логики. Два высказывания называются логически эквивалентными, если и только если они принимают одинаковые истинностные значения в каждой логически возможной ситуации.

Два высказывания называются логически противоречивыми, если и только если в каждой логически возможной ситуации они принимают отличающиеся друг от друга истинностные значения.

Два высказывания называются логически совместимыми, если и только если они совместно истинны, по крайней мере, в одной из логически возможных ситуаций.

Два высказывания называются логически противоположными, если и только если они несовместимы, но не противоречивы, то есть не могут совместно принимать значение «истинно», однако могут совместно принимать значение «ложно», по крайней мере, в одной из логически возможных ситуаций.

Таким образом, в приведенном выше примере первое и второе высказывания логически противоречивы, первое и третье — логически эквивалентны, первое и четвертое — логически совместимы в первой и четвертой логически возможных ситуациях, второе и пятое высказывания являются логически противоположными.

Логический анализ отношений, связывающий высказывания с различной логической структурой, занимает определенное место в сфере научной практики и интеллектуального общения. В практике научного познания важна операция, позволяющая устанавливать логическую эквивалентность рассматриваемых утверждений. На ее основе вводятся в теорию новые соотношения, определения или сокращения. Например, анализируя высказывания, представляющие определения тригонометрических функций через соотношения сторон прямоугольного треугольника, можно установить соотношения между данными тригонометрическими понятиями. Так известно, что тангенс угла равен отношению синуса данного угла к его косинусу. Это устанавливается на основе определений: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; косинус — прилежащего; тангенс — противолежащего к прилежащему.

Другой пример. Язык классической логики высказываний содержит три основные логические связки: конъюнкцию, дизъюнкции, импликацию, а также оператор отрицания. Но каждая логическая связка может быть выражена в языке через любую другую и отрицание. Например, следующая таблица устанавливает эквивалентный перевод конъюнктивного и дизъюнктивного высказываний в импликативное:

Установление логической эквивалентности структур с различными логическими связками позволяет одну из них заменять на другую и делает более экономными выразительные средства теории.

Принципиальное значение в научной практике имеет операция, позволяющая устанавливать непротиворечивость системы рассматриваемых теоретических утверждений. Для точных наук противоречивость такой системы утверждений влечет тривиальную полноту доказательств, то есть в противоречивой теории можно доказать все, что угодно. (Проверьте на логическую истинность следующий принцип: «Если некоторое высказывание утверждается и отрицается одновременно, то оно влечет любое другое высказывание».) Кроме того, наличие противоречия в утверждениях говорит о том, что исходные утверждения, аксиомы или постулаты теории выбраны неверно и нуждаются в дополнительном содержательном анализе. (Проверьте на логическую истинность следующий принцип: «Если некоторое высказывание влечет утверждение и его отрицание, то оно должно быть отброшено».)

Анализ логических отношений между высказываниями занимает значительное место в интеллектуальной практике юриста. Так как основная цель правового исследования — реконструкция и оценка событий, отстоящих в прошлое, то построение обоснованной версии относительно реконструируемого события требует достаточно полной и логически согласованной в своих частях информации. Сам процесс выдвижения версии и ее проверки представляет собой в логическом отношении операции по установлению совместимости полученной в результате правового исследования разрозненной информации, а также ее непротиворечивости относительно уже имеющейся и предварительно проверенной информации или наличных доказательств.

Роль логических отношений между высказываниями, контролируемых в практике интеллектуального общения, можно проиллюстрировать на следующем примере-шутке, который тем не менее взят из практики автора этой книги. Как-то я торопился на занятия по логике и перебежал дорогу на красный свет светофора. Как назло, автоинспектор оказался рядом и мне пришлось «выкручиваться». «Я, конечно, нарушил правила уличного движения и должен извиниться, а поэтому могу не платить штраф», — решил я схитрить. «Вы совершенно не правы, — невозмутимо возразил автоинспектор, — нарушивший правила дорожного движения не обязан извиняться, так как должен заплатить штраф». Штраф заплатить пришлось, но всю остальную дорогу меня не покидало ощущение, что в логическом отношении с утверждениями автоинспектора не все в порядке.

И действительно, пусть А — «X нарушил правила дорожного движения», В — «X должен извиниться», С — «X должен заплатить штраф». Тогда мое утверждение (1), его отрицание автоинспектором (2) и утверждение самого автоинспектора (3) можно проинтерпретировать в следующей таблице истинности:

Итак, высказывание (1) логически эквивалентно высказыванию (3), то есть эквивалентными оказались мое утверждение и утверждение автоинспектора. Так что, если я и ошибался в трактовке нарушения и наказания, то не более чем сам автоинспектор. Но когда тот заявил, что я не прав, он заявил тем самым и о собственной неправоте: высказывания (1) и (2) так же противоречивы, как (2) и (3).

Проблемы анализа логической структуры, условий истинности высказываний и логических отношений между ними взаимосвязаны. Анализ первой проблемы является предварительным этапом для решения второй, а анализ второй проблемы обусловливает решение третьей.

Упражнения

19. Определите логические отношения между следующими высказываниями, построив для каждого из них полную таблицу истинности.

1. (А л В), —1(—iA v —iB), (—і А л —ill), (A v в), (—іА —gt; В).
2. (А —» —і(в л —iC)), (—і(в —gt; с)л А), (“іAv (—iC—gt; —'В)).
3. (—гA v -gt;(в л —іС)). (—іiA —gt; —1(—iB v с)), {—i(l5 —gt; —іС)л А),

(а а —1(—iC —gt; —iB)), ((в л —іС) а —і А), (в л (—іС л —і а)).

4. (а л —iB)v —(С—iD), (—iB —gt; —і А) л —1(—iC v d).

20. Наши знакомые по школе озорники Алферов, Васильев и Сорокин опять отличились. «Кто из вас принес в класс мышь?» «Принес я или ВсіСильев с Сорокиным», — флегматично ответил Алферов. «Если это сделал не Алферов, то неправда, что ее принес я или Сорокин», — возразил Васильев. А Сорокин заявил: «Если мышь принес в класс Алферов или ее не приносил Васильев, то я тем более к этому никакого отношения не имею». Кто все же принес мышь в класс, если все трое солгали? (Пусть А — «Алферов принес мышь», В — «Васильев это сделал» и С — «Виновен Сорокин».) Тогда утверждения озорников соответственно имеют логические структуры:

Постройте для формул таблицы истинности и решите задачу.

21. Даны следующие три логические структуры:

(А л —(В л —iC)), (—JB —gt; —iC)v —і А), (—iC л (—i B v —А)).

Подобрав подходящие примеры перевода формул на естественный язык, постройте задачу, аналогичную предшествующей. Условие остается прежним: все трое солгали. Представьте решение задачи.

22. Три подружки — Аля, Вера и Соня — написали контрольную работу по математике и после проверки оказалось, что кто-то что-то у кого- то «позаимствовал». Случай стал предметом обсуждения на классном собрании. Каждая из подруг высказала свою точку зрения. Аня: «Если списывала не Вера, то и не я тоже; но Соня также ни в чем не виновата». Вера: «Тогда выходит так, что если Соня не списывала, то Аня также не списывала и виноватой остаюсь я». Соня: «Если поверить, что Аня не списывала контрольную работу, то все же неправда, что виновность в этом Веры автоматически влечет и мою вину». Кто же списал контрольную работу, если поверить всем трем девочкам? Решите задачу, предварительно представив утверждения подружек в виде формул и построив для них таблицы истинности.