Логическая корректность рассуждения

Рассуждением называется логическая форма теоретического познания, в результате которой из множества исходных суждений (посылок) по логическим правилам выводится новое суждение (заключение).

Дедуктивным называется рассуждение, в котором заключение следует из посылок с логической необходимостью, то есть для дедуктивных рассуждений имеется разрешающая процедура, позволяющая в конечное число шагов установить, является ли заключение логическим следствием из данных посылок или нет. Пример дедуктивного рассуждения: «Если я поступаю на дневное отделение института, значит мне не более 35 лет. Мне 40 лет. Следовательно, я не поступаю на дневное отделение института».

Индуктивным называется рассуждение, в котором заключение следует из посылок с вероятностью, поэтому индуктивные рассуждения называют также вероятностными или правдоподобными рассуждениями. Пример индуктивного рассуждения: «Население Ростова-на-Дону превышает 500 тысяч человек. Население Курска превышает 500 тысяч. Население Новосибирска превышает 500 тысяч. Следовательно, все областные центры России имеют население свыше 500 тысяч человек». Ясно, что заключение этого рассуждения следует из данных посылок только с долей вероятности и, в принципе, не является необходимым. Вполне возможно, что в России имеется областной центр с населением, не превышающим 500 тысяч человек.

Рассуждение считается логически корректным тогда и только тогда, когда заключение в нем логически следует из заданных посылок. Поэтому проблема контроля логической корректности рас- суждений сводится к решению вопроса, имеется ли отношение логического следствия между посылками и заключением рассуждения или нет.

Заключение в рассуждении логически следует из заданных посылок, если и только если заключение истинно в каждой такой логически возможной ситуации, в которой истинны посылки. Короче говоря, заключение следует из посылок, если оно истинно при условии истинности посылок. И наоборот, заключение не следует в рассуждении из заданных посылок лишь в одном случае: если имеется, по крайней мере, одна логически возможная ситуация, в которой посылки истинны, а заключение оказалось ложным.

Проиллюстрируем введенные определения на примерах конкретных дедуктивных рассуждений. Требуется установить, являются ли следующие рассуждения логически корректными:

1. Если я поступил в университет, значит, я окон чил среднюю школу. Я поступил в университет. Следовательно, я окончил среднюю школу. Структура рассуждения имеет вид (А-»В), А=gt;В.
2. Если я поступил в университет, значит, я окончил среднюю школу. Я окончил среднюю школу. Следовательно, я поступил в университет. Структура рассуждения имеет вид (А —gt; В), В=»А.
3. Если я окончил среднюю школу, значит, я поступил в университет. Я окончил среднюю школу. Следовательно, я поступил в университет. Структура рассуждения имеет вид (В—gt;А), В=gt; А.

Построим для каждой структуры рассуждений таблицы истинности.

В соответствии с введенными определениями понятий логической корректности рассуждения и ло- 1 ического следования заключения из посылок по таблицам истинности установим отношения следования.

В рассуждении №1 условие истинности обеих посылок выполняется лишь для первой строки, то есть для первой логически возможной ситуации. При этом заключение оказывается также истинным. По определению логического следствия это означает, что заключение данного рассуждения логически следует из посылок. А по определению логической корректности, в свою очередь, следует признать, что рассуждение №1 является логически корректным.

В рассуждении №2 условие истинности обеих посылок выполняется для первой и третьей логически возможных ситуаций. В первой строке заключение также истинно, но в третьей оно оказывается ложным. Это нарушает определение логического следствия, поэтому рассуждение №2 не является логически корректным.

В рассуждении №3 условие истинности обеих посылок выполняется опять же лишь для первой логически возможной ситуации. Заключение при этом также оказывается истинным. Значит, заключение логически следует из посылок, а рассуждение №3 в целом является логически корректным. Здесь обычно появляются вопросы и недоумения: ведь ясно, что первая посылка рассуждения №3 содержательно ложна. Поэтому принять данное рассуждение — значит войти в противоречие с собственными содержательными интуициями. Действительно, рассуждение №3 противоинтуитивно и принять его нельзя, но не по логическим основаниям. С логической точки зрения оно корректно, так как выполняет определение логического следствия. С точки же зрения содержательного анализа оно не надежно, так как одна из его посылок ложна. Однако установление истинности посылок рассуждения не является предметом логического исследования. В логической теории рассуждений проверяется лишь факт истинности заключения, если допустить, что посылки при этом истинны. Поэтому следует различать понятия логической корректности и надежности рассуждения.

Рассуждение называется надежным, если и только если оно логически корректно и его посылки истинны.

Логическую корректность рассуждения можно проверить методом сокращенных истинностных таблиц, размышляя от противного.

Пример. Проверьте логическую корректность следующего рассуждения: «Неправда, что я хорошо сдам экзамен по логике, но на меня не обратят внимание девушки (юноши). Если я не буду заниматься спортом, то на меня перестанут обращать внимание девушки (юноши). Либо я выиграю ближайшее соревнование, либо вообще брошу спорт. Следовательно, если я хорошо сдам экзамен по логике, то и выиграю ближайшее спортивное соревнование».

Решение. Допустим, что данное рассуждение не корректно и заключение в нем не следует из посылок, то есть заключение может быть ложным при условии истинности посылок. Для сделанного допущения построим таблицу истинности, предварительно представив рассуждение в формулах языка классической логики высказываний.

-(a A—їв),              ((А а -їв)], (а а —їв)],

А а —iB],

.ВІ,

в].

,с -gt; -,в),

1 [—,С —» —ill 1 [—,с —gt; —ili 11-.С -» -,в

і [-.с              -,в

і [-.с -»• -.в1

it-®]

о [в]

D)

0 [a h

ifAl.

l[A],

D v -iC) =gt; (А 1 [D v -,С l[Dv4j' 1 ]d V -,с‘ 1 ]d v-iC

lM

о] Допущение

o [d! И

o[d]

o[d]

Сокращенная запись решения имеет следующий вид:

-.(a a -iB),              (-,С-*-тВ),              (D v -iC) =gt; (А -gt;¦ D)

11001              10 110              ОНО 100

В процессе построения таблицы истинности пришли к противоречию.

сти посылок в каждой логически возможной ситуации. По определению понятия логического следствия это означает, что заключение логически следует из заданных посылок. В свою очередь, по определению понятия логической корректности это влечет логическую корректность рассматриваемого рассуждения.

Упражнения

1. Проверьте логическую корректность следующих рассуждений, предварительно представив их в формулах языка логики высказываний.

1. Если я отлично сдам вступительные экзамены, то поступлю в институт. Я не поступил в институт. Следовательно, я не сдал отлично вступительные экзамены.
2. Если я не поступил в университет, значит, плохо сдал вступительные экзамены. Я поступил в университет. Следовательно, я хорошо сдал вступительные экзамены.
3. Я сдам экзамен по логике, если и только если научусь решать задачи и мне немного повезет. Значит, если я так и не научусь решать задачи или мне не повезет, то я провалю экзамен.
4. Либо я не пойду на дискотеку, либо лягу спать поздно. Невозможно лечь спать поздно, а встать рано. Если я не встану утром рано, то опоздаю на занятия по логике. Следовательно, я не пойду на дискотеку или опоздаю на занятия по логике.
2. Проверьте логическую корректность следующих рассуждений, подобрав подходящий пример перевода формул на естественный язык:

1. -iA —gt; В, —iA —gt; —іВ =» А.
2. А—gt;С,В—»С, AvB=gt; С.
3. —iA v В, —і(Вл -iC), —iD —gt; —iC, Е v-iD =Ф —іЕ —gt; —iA.
4. —iB —» —і A, С v-iB, -i(-iD л с), I) —gt; E —gt; —(Ал—iE).
5. —i(A —gt; в)л С =gt; —i(A —gt; d)v —i(D —gt; (—iC v в)).
3. В Древней Греции судебный спор часто решался по логическим основаниям.
   Чтобы снять обвинение, достаточно было доказать свою невиновность, независимо от того, совершил ли в действительности доказывающий преступление или нет. Однажды, устав от допроса трех обвиняемых в краже и запутавшись в противоречивых показаниях этих хитрецов, судья решил положиться на волю Богов и Логики, что, впрочем, одно и то же.

«Я знаю, что кражу совершили двое из вас, но не знаю, кто именно. Каждому я скажу, что думаю, или считаю нужным сказать относительно виновности двух других, но не о его виновности. О своем мнении относительно вины каждого из вас я сообщу двум другим одно и то же. Кто первый угадает, что я сказал о нем, тот будет признан невиновным, а остальные двое — осуждены». С этими словами судья прошептал на ухо каждому из трех: «Думаю, что они оба не виновны». Немного подумав, один из обвиняемых все же угадал: «Вы сообщили двум другим, что я не виновен».

Воспроизведите рассуждения счастливца.