Как следует сравнивать классы потенциальных фальсификаторов?
Классы потенциальных фальсификаторов являются бесконечными классами. Интуитивные термины «больше» или «меньше», которые к конечным классам могут применяться без особых мер предосторожности, к бесконечным классам подобным же образом применяться не могут.
Мы не можем легко обойти эту трудность. Нам не удастся это сделать, если для сравнения теорий вместо запрещаемых базисных высказываний или явлений мы будем рассматривать классы запрещаемых событий, для того чтобы установить, какие из них содержат «больше» запрещаемых событий. Дело в том, что число запрещаемых эмпирической теорией событий также является бесконечным, как это хорошо видно из того факта, что конъюнкция запрещаемого события с любым другим событием (неважно, запрещаемым или нет) также является запрещаемым событием.
Я рассмотрю три способа придания точного смысла интуитивным терминам «больше» или «меньше» в случае бесконечных классов с целью выяснить, можно ли какой-нибудь из них использовать для сравнения классов запрещаемых событий.
- Понятие кардинального числа (или мощности) класса. Это понятие не может помочь решению нашей проблемы, поскольку легко можно показать, что классы потенциальных фальсификаторов имеют одно и тоже кардинальное число для всех теорий2.
*' Дальнейшие соображения о целях пауки см. в [70, прил. -X],. а та^сже в [68].
Тарский доказал, что при некоторых допущениях каждый класс высказываний является счетным (см. [88, с. 100, прим. 10]). * Понятие меры неприменимо для решения нашей проблемы по темА же причинам, то есть потому, что множество всех высказываний языка счетно.
- Понятие размерности. Неясную интуитивную •идею, по которой куб в некотором смысле содержит больше точек, чем, скажем, прямая линия, можно отчетливо сформулировать в точных логических терми- «ах при помощи теоретико-множественного понятия размерности. Это понятие различает классы или множества точек по богатству «отношений соседства» между их элементами. Множества большей размерности имеют более богатые отношения соседства. Понятие размерности, которое позволяет нам сравнивать классы «большей» или «меньшей» размерности, будет использоваться нами для рассмотрения проблемы сравнения степеней проверяемости. Это возможно потому, что базисные высказывания, соединенные конъюнктивно с другими базисными высказываниями, снова дают базисные высказывания, которые, однако, являются «более неэлементарными», чем их компоненты. И именно степень неэлементарности базисных высказываний может быть связана с понятием размерности. Однако нами будет использоваться не понятие неэлементарности запрещаемых событий, а понятие неэлементарности допускаемых событий. Причина этого состоит в том, что -запрещаемые теорией события могут быть произвольной степени неэлементарности, в то время как некоторые из допускаемых высказываний допускаются теорией только на основании их формы, или, точнее говоря, на том основании, что их степень неэлементарности •слишком мала, чтобы сделать их способными противоречить рассматриваемой теории. Этот факт можно использовать для сравнения размерностей[70]3.
- Отношение включения классов. Пусть каждый элемент класса а будет также элементом класса |3, так,
что а является подклассом |3 (символически: асб). Тогда или каждый элемент |3 в свою очередь также является элементом а (в этом случае оба класса имеют одинаковый объем, иначе говоря, совпадают), или имеются элементы р, которые не принадлежат а. В последнем случае элементы р, которые не принадлежат а, образуют «класс разности», или дополнение, а по отношению к р, а а является собственным подклассом р. Отношение включения классов очень хорошо соответствует интуитивному смыслу слов «больше» или меньше», однако оно имеет один существенный недостаток. Это отношение можно использовать для сравнения двух классов только в том случае, когда один из них включает в себя другой. Следовательно, если два класса потенциальных фальсификаторов пересекаются, но не вклю- . чаются один в другой или если они не имеют общих элементов, то степень фальсифицируемости соответствующих теорий нельзя сравнивать с помощью отношения включения классов. На основе этого отношения они несравнимы.