ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ: ВЕРОЯТНОСТЬ КАК ПРЕДРАСПОЛОЖЕННОСТЬ*

1

В этой статье я намереваюсь выдвинуть некоторые аргументы в защиту концепции, которую я буду называть интерпретацией вероятности как предрасположенности.

Под интерпретацией вероятности, или, точнее говоря, теории вероятностей, я имею в виду интерпретацию высказываний типа:

«Вероятность а при данном b равна г» (где г— действительное число), то есть высказываний, которые в символической форме записываются следующим образом:

,,р(а,Ь) = г".

Имеется множество интерпретаций вероятностных высказываний. Много лет тому назад я разделял эти интерпретации на два основных класса — субъективные и объективные интерпретации (см. [12, разд. 48 и прил.* II]).

Различные субъективные интерпретации имеют одну общую черту: теория вероятностей в них рассматривается как средство оперирования с неполнотой нашего знания, а число р(а, Ь) — как мера степени рациональной уверенности или рациональной веры, которую можно приписать а, если известна информация, сообщаемая b (в этом контексте а часто называется «гипотезой а»).

Различные объективные интерпретации также можно охарактеризовать одной общей для них чертой: во всех них

Р (а, Ъ) =г

* Р о-р р е г К. The Propensity Interpretation of Probability.— «The British Journal for the Philosophy of Science», 1959, v. 10, № 37. p. 25—42. — Перевод В. H. Брюшинкина. При переводе учтены поправки, внесенные К. Поппером в 1965 году.

интерпретируется как высказывание, которое в принципе можно объективно проверить при помощи статистических проверок. Эти проверки состоят в последовательности экспериментов, в которых bmp (а, Ъ)=г описывает экспериментальные условия, а — некоторые из возможных исходов экспериментов, а число г является относительной частотой, с которой исход а, согласно нашей оценке, встречается в любой достаточно длинной последовательности экспериментов, характеризуемых экспериментальными условиями Ь.

Я глубоко убежден, что большинство вариантов субъективной интерпретации вероятности несостоятельно. Конечно, не исключено существование чего-то подобного измеряемой степени рациональной веры в наличии исхода а при данной информации Ь. Однако я считаю, что эту веру нельзя адекватно измерить при помощи меры, удовлетворяющей законам исчисления вероятностей[147]. (Вместе с тем я нахожу возможным, что «степень подтверждения или подкрепления» (термин «подкрепление» («corroboration») предпочтительнее) при определенных условиях может выполнить роль адекватной меры рациональной веры — см. по этому

поводу мои статьи [5; 8; 11].)

Что же касается объективных интерпретаций вероятности, то простейшей из них является чисто статистическая, или частотная, интерпретация. (Эти два выражения я считаю синонимичными.) Высказывание при такой интерпретации рассматривается как оценка или гипотеза, утверждающая только то, что относительная частота события а в последовательности, определяемой условиями Ь, равна г. Иначе говоря, при этой интерпретации высказывание «р(а,Ъ)=г» означает: «события типа а встречаются в последовательности, характеризуемой условиями Ь, с частотой г». В соответствии с этим «р(а,Ь)=‘/2» может, например, означать, что «относительная частота выпадения орла при бросании обычного пенни равняется /2 (где а — выпадение монеты орлом вверх, ab — последовательность бросаний обычного пенни).

Частотную интерпретацию много критиковали. Тем не менее я все же уверен в возможности построения частотной теории вероятностей, избегающей тех возражений, которые до сих пор выдвигались против нее и обсуждались в литературе. Я наметил основные контуры такой теории уже много лет назад (в виде некоторой модификации теории Мизеса) и до сих пор уверен, что она (после некоторых минимальных улучшений, которые я произвел с тех пор) находится вне сферы досягаемости обычных возражений. Таким образом, мой поворот к интерпретации вероятности как предрасположенности вовсе не был вызван осознанием справедливости этих возражений (как предположил Нил во время обсуждения одного моего доклада[148]).

Фактически же я отошел от частотной интерпретации вероятности в 1953 году по двум причинам:

1. Первая связана с проблемой интерпретации квантовой теории.
2. Вторая заключается в том, что я обнаружил некоторые упущения в моей трактовке вероятности единичных событий (в противоположность последовательностям событий), или «сингулярных событий», как я назвал их по аналогии с «сингулярными высказываниями».

Основная часть этой статьи будет посвящена обсуждению второго из этих пунктов, однако я хочу кратко упомянуть некоторые моменты, связанные с первым из них, поскольку именно он был исходным и по времени, и по значению. Только после того, как я разработал идею вероятностей как физических предрасположенностей, сравнимых с ньютоновскими силами, мне удалось открыть некоторые упущения в моей трактовке вероятности сингулярных событий.

Я всегда был убежден, что проблема истолкования квантовой теории тесно связана с проблемой интерпретации теории вероятностей в целом, а интерпретация Бора — Гейзенберга является результатом субъективистской концепции вероятности. Мои предыдущие попытки построить истолкование квантовой теории на основе объективной интерпретации вероятности (в качестве последней использовалась частотная концепция) привели к следующим результатам.

1. Так называемая «проблема редукции волнового пакета» оказалась проблемой, присущей любой вероятностной теории, и поэтому она не создает каких-либо специфическихтрудностей.
2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга следует интерпретировать не субъективно, как нечто утверждающее о нашем возможном знании или недостатке этого знания, а объективно — как соотношение рассеяния. (Это устраняет асимметрию р и q, которая присуща гейзенберговской интерпретации, если мы не связываем эту интерпретацию с феноменалистской или позитивистской философией (см. мою книгу [1% с. 451].)
3. У частиц имеются траектории, то есть импульс и координаты, хотя мы и не можем предсказать их в силу соотношения рассеяния.
4. Этот вывод следует также из воображаемого эксперимента («мысленного эксперимента») Эйнштейна, Подольского и Розена.
5. Я также предложил объяснение экспериментов по интерференции («эксперимента двух щелей»), но впоследствии посчитал его неудовлетворительным.

Именно раздумья над последним пунктом — интерпретацией эксперимента двух щелей — в конце концов привели меня к теории предрасположенностей.

Таким образом, оказалось, что выделенные мною предрасположенности являются предрасположенностями к реализации сингулярного события. Именно этот факт привел меня к полному пересмотру статуса сингулярных событий в частотной теории вероятностей, в ходе которого я построил рассуждение, которое представляется мне независимым аргументом в пользу интерпретации вероятности как предрасположенности. Изложение этого рассуждения как раз и составляет основную задачу настоящей статьи (см. также [9]).

Субъективная интерпретация вероятности может, пожалуй, оказаться пригодной для интерпретации некоторых азартных ситуаций типа лошадиных бегов, в которых объективные условия совершения событий не полностью определены и невоспроизводимы. В действительности я не верю в применимость ее даже к подобным ситуациям. Я считаю, что при необходимости можно было бы привести сильные доводы в пользу взгляда, согласно которому при определении ставки игрок, или «рациональный держатель пари», всегда старается выявить объективные предрасположенности, объективные шансы совершения события. Действительно, человек, который делает ставки на лошадей, скорее стремится получить побольше информации о лошадях, чем о состоянии своего множества убеждений или логической силе совокупной информации, находящейся в его распоряжении. Поэтому в типичных случаях азартных игр — рулетке или, к примеру, бросании костей или монеты — и во всех физических экспериментах субъективная интерпретация вероятности полностью проваливается. Причем во всех этих случаях причиной ее неудовлетворительности является зависимость вероятности от объективных условий эксперимента.

В последующих разделах этой статьи наше рассмотрение будет ограничено исключительно проблемой интерпретации вероятности «сингулярных событий» (или «явлений»). Поэтому везде, где речь в дальнейшем пойдет о частотной интерпретации вероятности в противоположность интерпретации вероятности как предрасположенности, я буду иметь в виду только частотную интерпретацию вероятности сингулярных событий.

С точки зрения частотной интерпретации, вероятность событий определенного рода — типа выпадения шестерки при бросании конкретной кости — не может быть ничем иным, как относительной частотой появления со-- бытия этого рода в максимально длинной (возможно, бесконечной) последовательности событий. Когда же мы говорим о вероятности сингулярного события, например о вероятности выпадения шестерки во время третьего бросания, произведенного сегодня утром в начале десятого именно данной костью, то, согласно чисто статистической интерпретации, при этом подразумевается только возможность рассматривать это третье бросание как элемент некоторой последовательности бросаний. Являясь потенциальным элементом этой последовательности, наше событие имеет вероятность, присущую данной последовательности. Иначе говоря, событию приписываются вероятности, являющиеся огно- сительными частотами совершения этого события, которые присущи данной последовательности.

В этом разделе я выдвину некоторые доводы против такой интерпретации в пользу интерпретации вероятности как предрасположенности. Я предполагаю двигаться по следующему пути. (1) Вначале я покажу, что с точки зрения частотной интерпретации против интерпретации вероятности как предрасположенности могут быть выдвинуты возражения, которые, как кажется, делают последнюю неприемлемой. (2) Затем я дам предварительный ответ на эти возражения и (3) продемонстрирую некоторые затруднения, с которыми должна неминуемо столкнуться частотная интерпретация, хотя с первого взгляда эти трудности не выглядят действительно серьезными. (4) В заключение я покажу, что избавления от этих затруднений следует искать на путях модификации частотной интерпретации, и, хотя такая модификация выглядит незначительной, ее проведение оказывается эквивалентным принятию интерпретации вероятности в терминах предрасположенностей.

1. С точки зрения чисто статистической интерпретации вероятности интерпретация вероятности как предрасположенности представляется неприемлемой. Дело в том, что .предрасположенности можно трактовать как возможности (или как меры, или «веса», возможностей), обладающие тенденциями, или диспозициями, к самореализации и ответственные за статистические частоты, при помощи которых эти возможности фактически самореализуются в длинных последовательностях повторений эксперимента. Таким образом, предрасположенности вводятся для того, чтобы помочь нам объяснить и предсказать статистические свойства некоторых последовательностей, « это их единственная функция. Следовательно, заявляет сторонник частотной теории, они не позволяют предсказывать единичные события или вообще что-либо говорить о них, за исключением того, что повторение события при определенных условиях порождает последовательность с определенными статистическими свойствами. Это рассуждение, по его мнению, показывает, что интерпретация вероятности как предрасположенности ничего не может прибавить к частотной интерпретации, за исключением нового слова —• «предрасположенность» — и ассоциированных с ним новых образов или метафор, таких, как «тенденции», «диспозиции» или «побуждения». К тому же эти антропоморфные и психологические метафоры приносят еще меньшую пользу, чем бытовавшие в свое время психологические метафоры типа «силы» или «энергии», которые стали полезными физическими понятиями только в той степени, в какой они потеряли свое первоначальное метафизическое или антропоморфное значение.

Такова в общих чертах точка зрения сторонника статистической теории вероятностей. Защищая интерпретацию вероятности как предрасположенности, я собираюсь использовать два различных аргумента: сначала в (2) я дам предварительный ответ на высказанные в (1) возражения, а затем построю аргумент, который сводится к попытке поменяться ролями со сторонником частотной теории. Этот последний аргумент будет рассматриваться в пунктах (3) и (4).

2. В качестве предварительного ответа на сформулированные возражения мне представляется уместным принять предположение об аналогии понятия предрасположенности с понятием силы, особенно полей сил. При этом сразу же следует оговориться, что, несмотря на весь возможный метафизический психологизм и антропоморфизм терминов «сила» и «предрасположенность», принципиальная аналогия между этими понятиями касается не их метафизической плоскости. Эта аналогия выражается в том факте, что оба названных понятия привлекают наше внимание к ненаблюдаемым диспозиционным свойствам физического мира и поэтому помогают построить интерпретацию физической теории. Именно здесь они демонстрируют свою полезность. Понятие силы, или, лучше сказать, понятие поля сил, вводит диспозиционную физическую сущность, описываемую определенными уравнениями " (а потом уже соответствующими метафорами) с целью объяснить наблюдаемые нами ускорения тел. Аналогичным образом понятие предрасположенности или поля предрасположенностей вводит диспозиционное свойство сингулярной физической организации эксперимента, то есть сингулярных физических событий, с целью объяснить наблюдаемые частоты в последовательностях повторений этих событий. В обоих случаях введение этих новых понятий можно оправдать только ссылкой на их полезность для интерпретации соответствующей физической теории. Оба эти понятия «оккультны» в том смысле этого слова, который вкладывал в него Беркли, и представляют собой «только слова» (см. [4]). Вместе с тем полезность этих понятий частично объясняется как раз их способностью приводить к мысли, что теория имеет дело с ненаблюдаемой физической реальностью. Наблюдению же доступны только некоторые наиболее внешние проявления этой реальности, которые и делают возможной проверку нашей теории. Главный аргумент в пользу интерпретации вероятности как предрасположенности следует искать в ее способности устранить из квантовой теории некоторые крайне неудовлетворительные элементы иррационального и субъективистского характера, то есть элементы, которые, по моему глубокому убеждению, значительно более «метафизичны», чем предрасположенности, и к тому же метафизичны в плохом смысле этого слова. О состоятельности или несостоятельности предлагаемой интерпретации теории вероятности следует судить по ее успеху именно в этой области ее применения.

Подчеркнув этот пункт, я перехожу к изложению моего главного аргумента в пользу интерпретации вероятности как предрасположенности. Он состоит в указании на те трудности, с которыми неминуемо должна столкнуться частотная интерпретация. Таким образом, мы переходим к упомянутому ранее пункту (3).

3. Против частотной интерпретации вероятности было выдвинуто множество возражений. По большей части они относятся к идее бесконечной последовательности событий и предела относительных частот. Я не буду сейчас говорить об этих возражениях, поскольку, по моему мнению, на них вполне можно удовлетворительно ответить. Вместе с тем имеется одно простое и важное возражение, которое, насколько мне известно, в излагаемой далее форме никогда ранее не выдвигалось.

Предположим, что в нашем распоряжении имеется кость со свинцом и после длинной серии экспериментов мы убедились, что вероятность выпадения шестерки на этой кости со свинцом практически равна 1/4. Теперь рассмотрим последовательность Ь, состоящую, скажем, из бросаний кости со свинцом, но вместе с тем включающую и несколько бросаний (два или самое большее три) однородной и симметричной кости. Об этих бросаниях правильной кости нам, очевидно, следует сказать, что вероятность выпадения шестерки в этом случае равна 1/6, а не 1/4, хотя эти бросания, согласно нашим предпосылкам, являются элементами последовательности со статистической частотой 1/4.

Я считаю, что это простое возражение, несмотря на возможность разнообразных ответов на него, имеет для нас решающее значение.

Один из возможных ответов достаточно упомянуть лишь мимоходом, поскольку он сводится к попытке вернуться к субъективной интерпретации вероятности. Он состоит в заявлении, что изменение вероятности вызвано исключительно наличием у нас особого знания, особой информации относительно бросаний правильной кости. Поскольку по многим причинам я не доверяю субъективной теории вероятностей, я не склонен признавать это возражение действительным. К тому же я считаю, что рассматриваемый случай даже позволяет сформулировать новый довод (хотя и не очень существенный) против субъективной теории. Дело в том, что мы можем и не знать, какое из бросаний сделано правильной костью, хотя и знаем, что таких бросаний было только два или три. В такой ситуации вполне осмысленно заключать пари (при условии, что пари заключается относительно значительного числа бросаний), исходя из вероятности 1/4 (или вероятности, близкой к 1/4), даже в том случае, когда мы осведомлены о наличии двух или трех бросаний правильной кости, при которых не следует заключать пари на этих условиях, разве что нам удалось бы их идентифицировать. Мы знаем, что для этих бросаний вероятность выпадения шестерки меньше 1/4 и фактически равна 1/6, но мы прекрасно сознаем невозможность идентифицировать эти бросания и то, что они оказывают очень небольшое влияние на всю последовательность при достаточно большом числе ставок. После сказанного становится совершенно ясно, что, даже приписывая этим неизвестным бросаниям вероятность, равную 1/6, мы не имеем и не можем иметь в виду под словом «вероятность» «разумный коэффициент ставок, полученный на основе всего имеющегося в нашем распоряжении знания», как утверждается в субъективной теории вероятностей.

Оставим, однако, субъективную теорию в покое. Что Может ответить на наши возражения сторонник частотной теории?

Будучи в течение многих лет приверженцем частотной теории, я прекрасно знаю, что же в таком случае ответил бы по крайней мере один из ее сторонников.

Данное нами описание последовательности b показывает, что b слагается из бросаний кости со свинцом и правильной кости. Согласно нашей оценке или скорее нашему предположению, сформулированному на основании нашего предыдущего опыта или интуиции (каков источник этого предположения — не имеет никакого значения), грань с цифрой «шесть» будет появляться в последовательности бросаний кости со свинцом с частотой 1/4, а в последовательности бросаний правильной кости — с частотой 1/6. Обозначим эту последнюю последовательность, то есть последовательность бросаний правильной кости, через «с». Тогда имеющаяся у нас информация о строении последовательности b такова:

1. р (а, Ь) = 1/4 (или очень близка к 1/4), потому что почти все бросания производятся костью со свинцом, и
2. be — класс бросаний, принадлежащих и последовательности Ъ, и последовательности с, — непуст. Поскольку же be состоит из бросаний, принадлежащих последовательности с, мы имеем право заявить, что сингулярная вероятность выпадения шестерки в последовательности бросаний, принадлежащих be, будет равна 1/6. Это заключение основывается на факте вхождения рассматриваемых сингулярных бросаний в последовательность с, для которой р (а, с) = 1/6.

Я думаю, что в свое время я отвечал бы именно таким образом. Теперь мне остается только удивляться: как я мог удовлетвориться таким ответом! В настоящее время мне представляется очевидным, что этот ответ совершенно неудовлетворителен.

Конечно, нет никаких сомнений в совместимости двух равенств:

1. р (а, Ъ) =1/4,
2. р(а,Ьс)=1/6.

Не вызывает сомнений и то, что оба этих случая можно реализовать в частотной теории. Мы могли бы, к примеру, построить некоторую последовательность Ь, для которой выполнялось бы равенство (I), а выделенная из нее последовательность be — очень длинная и„ возможно, бесконечная последовательность, элементы которой принадлежат одновременно Ь и с, — выполняла бы равенство (II). Однако наш случай не принадлежит ? такому классу. Дело в том, что в нашем примере с не является виртуально бесконечной последовательностью. Согласно нашему предположению, она содержит самое большее три элемента. В последовательности be шестерка может не выпасть ни разу, выпасть один, два или три раза. Но она наверняка не встречается в последовательности be с частотой 1/6, так как н-ам известно, что эта последовательность соостоит не более чем из трех элементов.

Таким образом, в данном случае имеются две бесконечные или очень длинные последовательности: (актуальная) последовательность b и (виртуальная) последовательность с. Рассматриваемые бросания кости принадлежат сразу к обеим последовательностям. Вся наша проблема заключается в следующем: хотя интересующие нас бросания принадлежат обеим последовательностям и хотя нам известно только то, что эти конкретные бросания be входят в последовательность b (но нам неизвестно, где именно они входят, и поэтому мы не можем их идентифицировать), мы все же уверены, что в случае совершения этих бросаний их собственную, реальную сингулярную вероятность следует оценивать как равную 1/6, а не 1/4. Иными словами, хотя совершаемые бросания принадлежат обеим последовательностям, мы не сомневаемся в том, что их сингулярная вероятность должна быть оценена как равная частоте последовательности с, а не последовательности Ь. И основанием этого является то простое обстоятельство, что это — бросания другой (правильной) костью, а согласно нашей оценке или предположению, в последовательности бросаний правильной кости шестерка будет выпадать с частотой 1/6.

4. Сказанное означает, что сторонник частотной теории вынужден модифицировать — на первый взгляд весьма незначительно — свою теорию. Теперь он может сказать, что приемлемая последовательность событий (референтная последовательность, или «коллектив») всегда должна быть последовательностью повторяющихся экспериментов или, в общем случае, что приемлемые последовательности должны быть виртуальными или актуальными последовательностями, характеризующимися множеством порождающих, условий, то есть множеством условий, при повторении которых получаются Элементы данной последовательности.

Как только вводится эта модификация, наша проблема немедленно разрешается. Теперь последовательность Ъ как таковая,более не является приемлемой референтной последовательностью. Вместе с тем ее основная часть, которая состоит из бросаний кости со свинцом, будет приемлемой последовательностью, и по ее поводу не может возникнуть никаких неясностей. Остальная ее часть — be — состоит из бросаний правильной кости, и она принадлежит виртуальной последовательности таких бросаний с, которая также является приемлемой. С ней равным образом не возникает никаких проблем. Итак, принятие предложенной модификации явно устраняет все затруднения частотной интерпретации.

К тому же, как кажется, описанная здесь «модификация», по сути дела, только в явном виде выражает допущение, которое большинство сторонников частотной интерпретации (включая и меня самого) всегда принимало на веру.

И все же, если более тщательно приглядеться к этой на первый взгляд совершенно незначительной модификации, то мы обнаружим, что она, по существу, равносильна переходу от частотной интерпретации к интерпретации вероятности как предрасположенности.

При частотной интерпретации вероятность всегда берется по отношению к некоторой заранее заданной последовательности. Эта интерпретация имеет смысл только в том случае, если допустить, что вероятность представляет собой свойство некоторой данной последовательности. При проведенной же модификации интересующая нас последовательность определяется с помощью множества порождающих условий, причем определение имеет такую форму, что вероятность, по существу, становится свойством порождающих условий.

Такая интерпретация значительно отличается от традиционной частотной интерпретации, особенно при рассмотрении сингулярного события (или «явления»). Теперь для того, чтобы приписать сингулярному событию а вероятность р(а, Ь), достаточно знать, что оно является событием, произведенным или выбранным согласно порождающим условиям Ь, и вовсе не обязательно знать, является ли оно элементом последовательности Ь или нет. При таком способе приписывания вероятности сингулярное событие может иметь некоторую вероятность, даже если оно случилось только один раз, поскольку вероятность является свойством порождающих его условий.

Без сомнения, сторонник частотной теории может возразить, что вероятность, рассматриваемая как свойство порождающих условий, тем не менее равна относительной частоте в виртуальной или актуальной последовательности, порожденной этими условиями. Однако более продолжительное раздумье над этим аргументом приведет нас к заключению, что, выдвигая его, сторонник частотной теории, по сути дела, превратился в сторонника теории предрасположенности. Действительно, если вероятность является свойством порождающих условий организации эксперимента и поэтому определяется в зависимости от характера этих условий, то приведенное возражение сторонника частотной теории, по существу, означает, что возможная частота также зависит от этих условий. Таким образом, мы вынуждены рассматривать данные условия как бы обремененными некоторой тенденцией, диспозицией или предрасположенностью к порождению последовательностей, частоты которых равны их вероятностям, что, собственно говоря, и утверждается интерпретацией вероятности как предрасположенности.

4

Не исключено, что некоторые усомнятся в необходимости последнего шага — приписывания порождающим условиям предрасположенностей, — поскольку, по их мнению, вполне достаточно говорить об одних только возможностях, не вводя в рассмотрение никаких предрасположенностей. На этом пути есть надежда избежать той стороны нашей интерпретации вероятности как предрасположенности, которая кажется наиболее сомнительной, а именно ее интуитивного сходства с «жизненными силами» и тому подобными антропоморфными метафорами, по заслугам признаваемыми годными только для бессодержательных псевдообъяснений.

Конечно, интерпретация вероятности в терминах возможностей очень стара. Имея целью дальнейшие на- Ши рассуждения, мы можем на минуту позабыть общеизвестные возражения (иллюстрируемые случаем Кости со свинцом) против классического определения вероятности в терминах равных возможностей. Напомним, что при классическом подходе вероятность равна частному от деления числа благоприятных возможностей на число всех возможностей. Для сравнения классического определения с интерпретацией вероятности в терминах предрасположенности можно ограничиться рассмотрением случаев с симметричными костями или монетами.

Две эти интерпретации вероятности имеют много общих черт. В исходном пункте обе имеют дело с сингулярными событиями и возможностями, внутренне присущими тем условиям, при которых происходят такие события. При обеих интерпретациях предполагается принципиальная воспроизводимость условий, которые благодаря этому способны порождать последовательности событий. Поэтому может показаться, что их различие состоит только в том, что одна из этих интерпретаций вводит весьма сомнительные метафизические предрасположенности, тогда как другая просто ссылается на физическую симметрию условий — на равные возможности, допускаемые указанными условиями.

И все же это их согласие лежит только на поверхности. Нетрудно заметить, что рассмотрение одних только чистых возможностей недостаточно для наших целей, как и для целей физика или игрока в азартные игры. Ведь даже в классическом определении неявно предполагается, что равным возможностям необходимо приписывать равные диспозиции, тенденции или предрасположенности к реализации таких возможностей.

Справедливость последнего утверждения легко продемонстрировать, рассмотрев для начала равные возможности, очень близкие к нулю. Примером таких равных возможностей, очень близких к нулю, будет вероятность произвольно заданной последовательности 0 (орлов) и 1 (решек) длины п. Существует в точности 2" таких последовательностей, и, следовательно, в случае равновозможности исходов каждая возможность имеет вес 1/2", который для больших п очень близок к нулю. Вес дополнений к этим возможностям, естественно, столь же близок к единице. Возможности, вес которых столь близок к нулю, обычно интерпретируются как «практически невозможные», или как «практически никогда не реализующиеся», а дополнения к ним, вес которых близок к единице, естественно, интерпретируются как «практически необходимые», или как «практически всегда реализующиеся».

Однако, признав допустимость интерпретации возможностей, близких к нулю и соответственно близких к единице как предсказаний событий, которые «практически никогда не случаются» или «практически всегда случаются», легко показать, что две возможности (выпадения орлов и решек), по определению предполагающиеся исчерпывающими, исключающими- и равными, также должны интерпретироваться как предсказания. Они соответствуют предсказаниям о «практической достоверности реализации примерно в половине случаев». При помощи теоремы Бернулли (и приведенного примера последовательности длины п) можно показать, что такая интерпретация возможностей, вес которых равен 1/2, логически эквивалентна данной нами интерпретации возможностей, вес которых близок к нулю или единице.

В несколько иной форме наше утверждение будет выглядеть следующим образом: чистые возможности никогда не могут служить основанием для каких-либо предсказаний. Вполне возможно, к примеру, что завтра землетрясение разрушит все дома между тринадцатыми северной и южной параллелями (и не разрушит никаких других домов). Вряд ли кто-либо может вычислить вероятность этого события, но большинство людей оценило бы ее как исчезающе малую. Следовательно, в то время как чистая возможность как таковая не дает основания для каких-либо предсказаний, оценка ее как исчезающе малой может послужить основанием для предсказания, согласно которому описываемое событие («по всей вероятности») не совершится.

Таким образом, именно оценка меры возможностей, то есть оценка вероятности, приписанной ей, обладает функцией предсказания. Если же нам сообщат только о чистой возможности некоторого события, то мы вряд ли сможем предсказать, совершится оно или нет. Иными словами, мы не предполагаем, что возможность как таковая обладает какой-либо тенденцией к самореализации. А вот вероятностные меры, или «веса», приписываемые рассматриваемой возможности некоторого события, интерпретируются как меры присущей ей диспозиции, тенденции или предрасположенности к самореализации. В физике (как и при заключении пари) нас интересуют именно такие меры, или «веса», возможностей событий, позволяющие делать предсказания. Поэтому меры возможности будут рассматриваться .нами какдиспозиции, тенденции или предрасположенности. Само название «интерпретация в терминах предрасположенности» я выбрал, стремясь подчеркнуть именно эту сторону дела, которая, как показывает история теории вероятностей, легко может быть упущена из виду.

Из сказанного ясно, почему я не боюсь обвинения в антропоморфности понятия предрасположенности и его сходстве с понятием жизненной силы. (Последнее понятие действительно до сих пор было совершенно бесплодным, и оно вообще представляется весьма сомнительным. Однако понятие диспозиции, тенденции или предрасположенности большинства организмов к борьбе за существование вовсе не является бесплодным понятием. Напротив, оно неоднократно демонстрировало свою полезность. Бесплодность понятия жизненной силы скорее всего вызвана как раз тем фактом, что оно, несмотря на все свои устремления, неспособно добавить что-либо существенное к утверждению о предрасположенности большинства организмов к борьбе за существование.)

Итак, подводя итоги, можно сказать, что интерпретация вероятности как предрасположенности поддерживает взгляд на вероятность как на предполагаемые или оцениваемые статистические частоты в достаточно длинных (актуальных или виртуальных) последовательностях. Обратив внимание на тот факт, что эти последовательности определяются способом порождения их элементов, то есть экспериментальными условиями, можно показать, что предполагаемые вероятности приходится приписывать именно этим экспериментальным условиям. В такой ситуации нам не остается ничего иного, как признать, что элементы таких последовательностей зависят от указанных условий и могут изменяться вместе с ними. Такая модификация частотной интерпретации практически неизбежно ведет к предположению о том, что вероятности являются диспозицион- ными свойствами этих условий, то есть предрасположенностями. Это позволяет нам интерпретировать вероятность сингулярного события как свойство самого события, измеряемое скорее его предполагаемой потенциальной, или виртуальной, статистической частотой, чем его актуальной частотой.

Подобно всем диспозиционным свойствам, предрасположенности демонстрируют некоторое сходство с аристотелевскими потенциями. Однако между этими понятиями имеется и существенное различие: предрасположенности» вопреки Аристотелю, не могут быть внутренне присущими индивидуальным вещам. Они не являются свойствами, присущими игральной кости или монете, а принадлежат вещи несколько более абстрактной, хотя и физически реальной. Они являются свойствами организации эксперимента, то есть тех условий, которые во время повторения эксперимента предполагаются неизменными. Поэтому предрасположенности сходны с понятием силы или поля сил. Действительно, ньютоновская сила не является свойством некоторого объекта, а представляет собой реляционное свойство по крайней мере двух объектов. И реальные силы, действующие в физической системе, всегда представляют собой свойство всей физической системы. Таким образом, сила, подобно предрасположенности, является реляционным понятием.

Полученные результаты подкрепляют приведенные мною в ходе рассмотрения второго аргумента замечания о роли b в р (а, Ъ) (и сами подкрепляются ими). Эти результаты показывают, что, хотя мы и можем интерпретировать b как имя (потенциальной или виртуальной) последовательности событий, мы тем не менее не должны допускать все возможные последовательности. Допускаются только такие последовательности, которые можно описать как повторения эксперимента и определить с помощью метода их порождения, то есть при помощи порождающего множества экспериментальных условий.

5

Представленные в этой статье доводы, особенно приведенные в двух предшествующих разделах, можно легко понять неправильно. Их можно истолковать как иллюстрацию метода анализа значения. Все, что я сделал или предполагал сделать, может быть понято как попытка показать, что слово «вероятность» в определенных контекстах используется для обозначения предрасположенностей. Я, пожалуй, даже дал повод для такого истолкования (особенно в разд. 3), высказав мысль о том, что частотная теория своим происхождением в некотором смысле обязана ошибочному анализу значения или неполному анализу такого рода. Однако я вовсе не собирался предложить другой способ анализа значения. Это легко понять, если уяснить, что целью всех моих усилий было выдвижение новой физической (или, быть может, метафизической) гипотезы, аналогичной ньютоновской гипотезе сил. Согласно этой гипотезе, каждый способ организации эксперимента (и, следовательно, каждое состояние физической системы) порождает физические предрасположенности, которые можно проверить с помощью частот. Эта гипотеза проверяема, и она подкрепляется определенными экспериментами в квантовой теории. Так, например, эксперимент двух щелей вполне может быть истолкован как некоторый решающий эксперимент, определяющий выбор между чисто статистической интерпретацией и интерпретацией вероятности как предрасположенности, причем этот эксперимент свидетельствует не в пользу чисто статистической интерпретации.

Примечание, добавленное в корректуре. В февральском номере журнала «The British Journal for the Philosophy of Science» Гуд затронул мою интерпретацию вероятности как предрасположенности [1]. Поскольку в его анализе содержатся некоторые недоразумения, в интересах точности полезно разъяснить эти недоразумения.

Гуд в качестве основополагающей берет логическую, или субъективную, интерпретацию вероятности р(а, Ь). Мы будем обозначать ее чеЩз Р(а, Ь), и выражение

Р(а,Ь) = г

будет пониматься нами приблизительно так: «На основании информации Ъ рационально верить в а со степенью уверенности, равной г». Гуд утверждает, что введенные мной предрасположенности (или, как он предпочитает говорить, физические вероятности) можно определить как частный случай логических или субъективных вероятностей следующим образом. Пусть Я — все истинные законы природы, тогда

(РР)              Р(а,ЪН)

можно назвать физической вероятностью а при данном Ь.

• Чтобы опровергнуть утверждение Гуда, нам следует учесть, что многие, если не все, законы природы, входящие в Н, будут иметь вероятностный характер. Ина- q9 говоря, Я в свою очередь будет иметь вид (или из Л будут следовать высказывания вида):

-(Я)              /7(а,Ь) = л

В этом случае, с моей точки зрения, Я представляет собой утверждение о том, что при наличии условий 6 существует предрасположенность события а* к самореализации, равная г.

Теперь              мы              можем              принять в              качестве              логического

принципа,              что              всякий              раз, когда              Я              представляет              собой

(или из него              следует)              р (а, Ь)=г,              то

(РР)              Р(а,ЬН) =г

Логически истинно. Пожалуй, именно это имеет в виду Гуд. Однако, даже если мы принимаем этот принцип, необходимо интерпретировать вероятностное высказывание Я. Эта необходимость совершенно независима от (РР), и ее нельзя устранить просто, приняв (РР), поскольку высказыванию Я, которое входит в (РР), следует заранее придать какое-либо значение или некоторую интерпретацию.

Гуд предлагает считать Я в (РР) «самоочевидным»

и.              опускать его в записи высказывания

(Р)              Р(а,Ь)=г

при условии принятия соглашения о том, что это высказывание означает в точности то же самое, что и (РР).

Высказывание (Р) по своему внешнему виду весьма схоже с Я, что, возможно, помогает нам понять, почему Гуд выбрал для Я (то есть для введенных мною высказываний о предрасположенности) именно такую форму. Тем не менее (Р) на самом деле совершенно отлично от Я. Проще всего это можно показать следующим образом.

a

Согласно введенному нами логическому принципу, (РР) или (Р) будет логически истинным всякий раз, когда Я = р(а, Ь)=г. Следовательно, логическая вероятность (Р) в таком случае будет равна 1. Однако вряд ли кто-либо станет утверждать, что логическая вероятность высказывания Я равна 1. (Наоборот, если Я представляет собой произведение всех законов приро- ДЫ, включая и те, которые мы, может быть, никогда не сумеем открыть, то его логическая вероятность будет, согласно мнению большинства авторов, очень мала; если же принять мнение некоторых авторов, к которым принадлежу и я, то эта вероятность вообще будет равна 0.)

Таким образом, ЯтЦР), и отождествление логического высказывания (Р) с эмпирическим высказыванием о предрасположенностях Я совершенно ошибочно. На этом пути предрасположенности (или любые другие объективные вероятности) нельзя подвести под понятие логических, или субъективных, вероятностей.

Приложение

В приложении к этой статье я хочу -сделать замечания в отношении истории вопроса и несколько замечаний по поводу аксиоматических систем Исчисления вероятностей.

Различение между субъективной, логической и объективной (статистической) интерпретациями вероятности, которое я провел в 1934 году в моей книге [12, с. 148—150], часто использовалось для обоснования тезиса о том, что по крайней мере в физике имеет смысл только статистическое понятие вероятности. (Ныне я бы заменил в этом тезисе термин «статистическая интерпретация» на «интерпретация в терминах предрасположенности».) Однако в этой же книге я использовал в значительной степени также и логическую интерпретацию вероятности (в частности, для того чтобы показать, что «содержание=логической невероятности»), В 1938 году я выдвинул аргументы в пользу «формальной» теории вероятностей, основывающейся на некоторой системе аксиом, «конструируемой таким образом, чтобы имелась возможность... интерпретировать ее при помощи любой из до сих пор предложенных интерпретаций... а также с помощью еще некоторых других интерпретаций» [12, с. 320]. Анализируя эти интерпретации с точки зрения потребностей истолкования квантовой теории, я предложил интерпретацию вероятности в терминах предрасположенности. К тому же я установил, что ранее [12, с. 212] я явным образом возражал против такой интерпретации.

По моему мнению, свобода оперирования с различными интерпретациями вероятности тесно связана с принятием формального, или аксиоматического, подхода к понятию вероятности, как он представлен, например, в работах Колмогорова (см. [12, с. 327]).

• В рамках колмогоровского подхода предполагается, что объекты а и b в р (а, Ь) являются множествами {или совокупностями). Однако это допущение удовлетворяется не для всех интерпретаций. Так, в некоторых из них а и b интерпретируются как положейия дел, свойства, события, высказывания или предложения. Принимая во внимание этот факт, я решил, что при формальном построении теории не следует делать никаких допущений о природе «объектов», или «элементов», а и Ь. Мне показалось желательным отказаться даже от допущения о том, что эти «объекты», или «элементы», удовлетворяют законам алгебры (хотя я и считал, что это имеет место). Поэтому я попытался построить систему, включавшую только аксиомы «метрического» характера. Другим стимулирующим фактором являлось стремление создать такую теорию, в ко торой формула (4), упомянутая в прим. 1 к настоящей статье, то есть

р(а,сс)=1,

была бы теоремой. Эта формула, как оказалось, является критерием адекватности для логической интерпретации, и она вообще желательна в силу некоторых общих соображений.

• Первая система такого типа была сформулирована мною в работе [6]. Я упростил ее аксиомы в 1956 году (см. [7, соответствующая система аксиом приведена на с. 191]). Эта упрощенная система и некоторое число ее вариантов детально обсуждались в [12, прил. *IV], Здесь я приведу еще один из ее вариантов[149]. В этой системе в качестве неопределяемых терминов исполь зуются: класс 5 «объектов», или «элементов», а, Ь, ...; элемент-произведение ab элементов а и Ь; элемент-до- •полнение а элемента а.

Система включает три аксиомы[150].

Постулат А. Если а и b — элементы S, то р(а, Ь) — действительное число и выполняется следующая аксиома:

А              (Ее)              (Ed)              р              (а, Ь)Фр (с, а).

Постулат В. Если а и b — элементы S,              то ab              —              элемент S, и при условии, что с (следовательно,              be)              и              а

также являются элементами S, выполняется следующая аксиома:

В (р(а,а) = р (be, d) amp;р (be, с) = p(d, с))              — - gt;• р (аЪ, с) =р(а, d)р (Ъ, с) lt; р (а,              с).

Постулат С. Если а — элемент S, то а — также элемент S, и при условии, что Ь, с и d также являются элементами 5, выполняется следующая аксиома:

С р (а, а) Ф р (Ь, с) - gt; р (а, с)-\-р (a, c)—=p(d, 47Аксиомы В и С являются непосредственными следствиями (используются только подстановка и modus ponens) следующих более сложных формул BD и CD, которые, однако, имеют то важное преимущество, что они могут рассматриваться как явные определения соответственно произведения ab и дополнения а. (Формула BD представляет собой улучшенный вариант соответствующей формулы из [12, с. 336]):

BD              р              (ab,              d)=p              (с,              d)              А=* (el (Е/) (р (a, d) л

'р(с,d) 'р (b, d) amp;.(р (a, d)'р (а, а) lt;

lt; Р (d, /) - gt;р (а, а) lt;р (е, /))) — gt;•

p(a,e)p(b,d) =p(c,d))).

CD              р              (a,              d)              =р (b, d) ч=А (е) (р (с, d) Ф

Ф р (с, с) -- gt;- р (а, с) -\-р (Ь, с) =р (с, е)) .

С эстетической точки зрения оба этих определения страдают некоторой громоздкостью — ровно половина двойных стрелок является излишней. При выведении аксиом В и С нам необходимы только стрелки, направленные слева направо. Определение Cd, которым можно заменить CD, свободно от этого недостатка[151]:

Cd р (a, b) =р(с, с)—р              (a, b) ч—v (Ed) р (с,              с) Ф р              (d,              b).

В определении BD              можно подставить              «р(е,              е)»              вместо второго вхождения              «р (а, а)». (При              этом              АЗ              из

[12, с. 332] становится              выводимой из BD.) В этом              Слу

чае можно упростить CD и Cd, записывая «р(а, а)» вместо «р(е, е)» или «р(с, с)».

По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332] m постулаты В и BD включают в себя А2. Наличие в системе А2 вместе с любой из других аксиом имеет то преимущество, что получающаяся в результате система является «полностью метрической» в том смысле, что независимость всех ее аксиом можно доказать при помощи примеров, удовлетворяющих законам булевой алгебры. (Таким образом, «полная метричность» является более сильным свойством, чем «автономная независимость» в смысле [12, с. 343—344].) Полностью- метрическую систему можно получить, не жертвуя при этом «органичностью» (в том смысле этого термина, в- котором он использовался в польской логической школе) наших аксиом, если сохранить все аксиомы (в том числе В1 из [12, с. 332]), за исключением А2. Действительно, аксиома А2 органически . включается в В2 при помощи, например, исключения «'"р/а, с)» из формулы В. Можно также сохранить В2 в се первоначальной форме и органически включить А2 в постулат АР [12, с. 333] следующим образом:

АР              р(а)              =р(а,Ъ)—p(a,c)-{-p(a,d)

при условии, что р(Ъ,с)=р(с, b)=p(d, е)              для              каждого

е из S.

В этом случае АР, то есть определение абсолютной вероятности, становится существенной и неотделимой частью нашей системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Good I. J. A Theory of Causality. — «The British Journal for the Philosophy of Science», 1958—1959, v. 9, № 36, p. 307—310.
2. Kneale W. Probability and Induction. Oxford, Clarendon Press, 1949-.
3. Korner S. (ed.) Observation and Interpretation: Proceedings of the 9-th Symposium of Colston Research Society, held in University of Bristol. London, Butterworths Scientific Publications, 1957.
4. Popper K. Note on Berkeley as a Precursor of Mach. — «The British Journal for the Philosophy of Science», 1963, v. 4.              № 13, p. 26—36.
5. P о p p e r K. Degree of Confirmation. — «The British Journal for the Philosophy of Science», 1953, v. 5, № 18, p. 143—149.
6. Popper K. Two Autonomous Axiom Systems for the Calculus of Probabilities. — «The British Journal for the Philosophy of Science», 1955-1956, v. 6, № 21, p. 51-57.
7. Popper K. Philosophy of Science: A Personal Report. — In: Mace C. (ed.). British Philosophy in Mid-Century. Tondon, George Allen and Unwin, 1957, p. 155—191.
8. Popper K. A Second Note on Degree of Confirmation. — «The British Journal for the Philosophy of Science», 1956—1957, v. 7, № 28. p, 350—353.
9. PoppjM- K. The Propensity Interpretation of the Calculus of Probability and the Quantum Mechanics. — In: [3, p. 65—70].
10. Popper K. Probability Magic or Knowledge our of Ignorance. — «Dialectica», 1957, v. 11, № 3/4, p. 354—372.
11. Popper K. A Third Note on Degree of Corroboration or Confirmation. — «The British Journal for the Philosophy of Science», 1957— 1958, v. 8, № 32, p. 294-302.
12. Popper K. The Togic of Scientific Discovery. Tondon, Hut- «chinson, 19б9.

ОБЪЕКТИВНОЕ ЗНАНИЕ Эволюционный подход[152]