Индуктивные рассуждения
Дедуктивное рассуждение является доказательным. Оно всегда корректно и неоспоримо, так как обеспечивает вывод заключения из заданных посылок с логической необходимостью.
Индуктивное рассуждение в большинстве случаев только правдоподобно. Его заключение следует из посылок с определенной долей вероятности и может оказаться ложным, даже если посылки рассуждения будут истинными. Но, с другой стороны, дедуктивные рассуждения сами по себе не приводят к принципиально новому знанию об изучаемой реальности. С их помощью исследуются логические связи и отношения, складывающиеся в определенной области уже известной информации. Дедуктивная система натурального вывода хорошо иллюстрирует этот факт. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными, вероятностными суждениями и рассуждениями. Дедуктивные рассуждения учат доказывать, индуктивные — догадываться. Но ведь прежде чем строго доказать некоторое утверждение, надо догадаться сначала, что данное утверждение доказуемо, то есть является общим законом определенной теории, а кроме того, догадаться о самой идее и схеме возможного доказательства. Все, что процесс доказательства соединяет с творческой интеллектуальной деятельностью, относится к области эвристики — теории правдоподобных рассуждений. Поэтому дедуктивные и индуктивные рассуждения нельзя противопоставлять. Наоборот, они взаимодополняют друг друга в процессе интеллектуальной деятельности.Индуктивное обобщение — это логическая операция, в результате которой на основе фиксированных характеристик, общих для изученных объектов или событий определенного класса, делается вывод о принадлежности данных характеристик всему классу в целом. Например (гипотеза Гольдбаха), рассматривая последовательность равенств 10 = 3+7, 12 = 5+7, 14 = 3+11... можно сделать индуктивное обобщение: каждое четное число разложимо на сумму двух простых чисел.
В зависимости от того, сделано ли индуктивное обобщение на основе знания о принадлежности фиксированных характеристик каждому объекту изучаемого класса или только некоторому подклассу объектов данного класса, различают полную и неполную индукцию. Гипотеза Гольдбаха представляет пример неполной индукции. Кстати, ее истинность или ложность не доказана до сих пор.
В отличие от неполной индукции, которая дает вероятностную, правдоподобную оценку индуктивного рассуждения, полная индукция является типом доказательного рассуждения, в котором заключение следует из посылок с логической необходимостью. Полное индуктивное обобщение возможно лишь для конечного класса объектов, поэтому его применение в практике научного исследования довольно ограничено. Пример полной индукции: заявление преподавателя, что класс сдал экзамен без троек, основано на индуктивном подтверждении, что ни один из учеников данного класса не получил на экзамене оценку «удовлетворительно». Правда, это совсем не означает, что класс сдал экзамен без двоек!
Строгая (математическая) индукция — тип индуктивного обобщения, в результате которого на основании фиксированных характеристик, общих для изучаемых объектов бесконечного класса, делается доказательный, то есть логически необходимый вывод о принадлежности данных характеристик всему бесконечному классу в целом. Пусть К = lt;а, Ь, ..., і, j, ..., n, ...gt; — упорядоченная последовательность бесконечного класса объектов и Р — фиксированная характеристика. Тогда строгое индуктивное обобщение осуществляется по следующей схеме:
Известно, что а обладает характеристикой Р.
Если і обладает Р, то следующий за ним в ряду j обладает Р.
Следовательно, класс К обладает характеристикой Р.
Строгая индукция широко применяется в качестве метода логического доказательства в точных науках, так как обычно приводит к принципиально новым теоретическим результатам. Однако этот тип индуктивного рассуждения полезен и в других сферах интеллектуальной практики.
Его смысл заключается в том, что изучаемые объекты упорядочиваются предварительно в определенной последовательности. Далее устанавливается, что первый объект ряда обладает фиксированным свойством. Кроме того, доказывается, что если произвольный объект порядка обладает данным свойством, то им обладает и следующий в ряду объект. Достаточно очевидно, что отсюда с логической необходимостью следует заключение о принадлежности фиксированного свойства каждому объекту данного класса и самому классу в целом.Энумеративная индукция (индукция по перечислению) — это логическая экстраполяция выводов о характеристиках изученного ряда объектов на последующие в ряду объекты. Например, дана упорядоченная последовательность натуральных чисел 2, 4, 8, 16, 32... Надо определить в заданном ряду число, следующее после 32. Заметим, что данная последовательность чисел упорядочена соотношением n = 2т, где п — число в ряду, т — место данного числа в порядке последовательности. Итак, следующее за числом 32 искомое число п = 26 = 64.
Элиминативная индукция (индукция по исключению) — это логическая операция, в результате которой из определенного класса изучаемых объектов выделяется объект либо подкласс объектов, либо упорядоченная последовательность объектов из подкласса на основании фиксированных характеристик методом исключения объектов заданного класса, не обладающих такими характеристиками. Хорошим примером рассуждения по элиминативной индукции является распространенная игра. Допустим, я загадал имя человека, хорошо известного аудитории. Мне можно задать, скажем, семь любых вопросов, на которые я отвечу «да» или «нет». После этого требуется назвать задуманное имя. Обычно задание аудиторией выполняется успешно. Другой пример. Следует решить анаграмму и упорядочить полученные слова в последовательность по выбранной характеристике, исключив лишние:
НОРЛЕТИПЕМОТ ТИНСЕТАРМ МОРКЕТИЛ ТМОРОМЕН ЛЕТИРМИМ.
Задание решите самостоятельно. Объясните, какие индуктивные рассуждения применялись при решении анаграммы.
В индуктивных рассуждениях устанавливается логическая связь между индуктивными подтверждениями (посылками) А,,..., Ап и индуктивным предположением (заключением) Т, которую можно выразить в записи: Ая ..., Ап=» Т, где =» — знак индуктивного следования. Индуктивное и дедуктивное следование находятся в отношении обратной связи: если А., .... А =gt; Т, то Т=»А„ ..., Т=»А . Эта связь
I7 7 п 7 I7 7 п
наиболее очевидна для обобщающей индукции. Действительно, из гипотетического предположения Гольдбаха о том, что любое четное число разлагается на сумму двух простых чисел, дедуктивно следует утверждение, что, скажем, число 20 разлагается на сумму двух простых чисел (20 = 13 + 7). Но данное дедуктивное следствие является в то же время индуктивным подтверждением рассматриваемой гипотезы. Таким образом, логический контроль за индуктивными рассуждениями сводится к подтверждению либо опровержению дедуктивных следствий, вытекающих из сделанного индуктивного предположения.
Проверка корректности индуктивного рассуждения основывается на двух схемах рассуждений, одна из которых является доказательной и служит для опровержения индуктивного предположения, а другая — эвристической, подтверждающей правдоподобность сделанного индуктивного предположения.
Доказательная схема Эвристическая схема опровержения подтверждения
Т=gt; А А ложно
Т=gt;А А истинно
Т ложно
Т более правдоподобно
Различие между доказательной и эвристической схемами контроля за индуктивными рассуждениями заключается в степени логической достоверности операций опровержения и подтверждения. Если подтверждение А предположения Т оказывается в ходе проверки ложным, то следует ложность и опровержимость индуктивного предположения Т. Если же подтверждение А истинно, то данный факт влечет не истинность или доказанность предположения Т, а лишь его большую правдоподобность. (Ученые говорят, что Истина заявляет «нет» во весь голос, а «да» — только шепотом.) Чем больше дедуктивных следствий из индуктивного предположения оказались подтвержденными, тем более правдоподобным является само предположение.
Но достаточно хотя бы одного опровергнутого следствия, чтобы опровергнуть индуктивное предположение в целом. Эвристическая схема подтверждения называется основной схемой индуктивного вывода.
В зависимости от характера подтверждающих следствий из индуктивного предположения можно сформулировать производные схемы индуктивного вывода.
Рассмотрим пример. Допустим, надо выяснить личностные качества определенного человека, которые по предположению являются достаточно высокими (Т). Что мы в этом случае делаем? Обращаемся к его товарищам, хорошо знающим образ жизни этого человека. Каждая полученная от них положительная характеристика (Аг, ..., Ап) делает предположение Т все более и более правдоподобным. Индуктивная схема рассуждения в таком случае имеет следующий вид:
Т=gt;ЛХ, ..., T=gt;An, Т =gt; Ап+1
Aj, ..., An_t — ранее подтвержденные следствия
А истинно
Т несколько более правдоподобно
Теперь обратимся с тем же вопросом к коллеге, знающему интересующего нас человека по работе. Как его подтверждение (Ап+1) положительной характеристики личности будет влиять на степень достоверности индуктивного предположения Т? Очевидно, что подтверждение нового следствия Ап+1 имеет гораздо большее значение, чем сделанные ранее, так как оно отличается от однопорядковых подтверждений А , ..., Ап. Индуктивная схема рассуждения в этом случае выглядит следующим образом.
Т=gt; Aj, ..., Т=gt;Ап, Т=gt;Ап+1
At, ..., А — ранее подтвержденные однопорядковые следствия
А ,, отличается от А,, ..., А
п+1 I7 7 п
А _ истинно
П+1
Т значительно более правдоподобно.
Итак, в индуктивном рассуждении подтверждение нового следствия имеет большее или меньшее значение в зависимости от того, более или менее это новое следствие отличается от ранее подтвержденных следствий.
Другой пример. В квартирной краже подозревается приходящая домработница (Т), которая имела свои ключи от квартиры (Ах) и обычно занималась уборкой во время, совпадающее с моментом совершения кражи (А2).
Схема индуктивного рассуждения в этом случае имеет следующий вид.Т=»А1
Ах вполне вероятно
Ау истинно
Т правдоподобно
т=»а2
А2 маловероятно без Т
Т значительно более правдоподобно.
Итак, в индуктивном рассуждении подтверждение следствия имеет большее или меньшее значение в зависимости от того, более или менее само по себе вероятно данное следствие. Подтверждение наиболее неожиданного следствия является наиболее убедительным.
До сих пор мы рассматривали случаи индуктивных рассуждений, в которых индуктивные подтверждения являлись дедуктивными следствиями индуктивного предположения. Такого типа рассуждения характерны для операции и чктивного обобщения. Изменим несколько рассматрачаемую ситуацию.
Допустим, требуется опровергнуть предположение Т. Попытка его дедуктивного опровержения, то есть доказательства -іТ, не принесла успеха, но в процессе анализа выяснилось, что предположение Т является дедуктивным следствием из общего основания А, относительно которого можно сказать определенно, истинно оно или ложно. Тогда возможны две схемы логического контроля за рассуждением — дедуктивная и индуктивная.
Доказательная схема Эвристическая схема подтверждения опровержения
А=gt;Т А истинно Т истинно
Л=gt;Т А ложно Т менее правдоподобно
Итак, когда основание, подтверждающее индуктивное предположение, опровергается, степень правдоподобности данного предположения в индуктивном рассуждении уменьшается.
Исследуем два противоречивых предположения Тх и Т2, соперничающих между собой. С точки зрения классической логики ясно, что если истинно, то Т2 ложно, и наоборот. В научно-исследовательской практике этот ответ не столь однозначен, так как здесь принцип двузначности не всегда предполагается; поэтому конкурирующие гипотезы скорее несовместимы, то есть не могут быть совместно истинными, чем противоречивы. Если доказано, что одно из предположений, скажем, ТЦ истинно, то, конечно, гипотеза Т2 опровергается. Однако, если ложно, то Т2 может быть и истинным и ложным, но, скорее всего, истинным, так как данные два предположения конкурируют между собой. Таким образом, имеются две схемы рас- суждений.
Доказательная схема Эвристическая схема
выбора выбора
Т, несовместимо с Т2 несовместимо с Т2
Т, ИСТИННО Tj ложно
Т2 ложно Т2 более правдоподобно
Итак, если в индуктивном рассуждении опровергается конкурирующее данному индуктивное предположение, то степень правдоподобности данного предположения увеличивается.
«Мы знаем, что вероятность хорошо установленной индукции велика, но когда нас просят назвать ее степень, мы этого сделать не можем. Здравый смысл говорит нам, что некоторые индуктивные аргументы сильнее, чем другие, и что некоторые являются очень сильными. Но насколько сильнее или насколько сильными, выразить мы не можем» (Джон Кейнс).
Упражнения
- Определите, какие из приведенных ниже рассуждений являются дедуктивными, а какие индуктивными? Укажите схему рассуждения.
- Мыслю, следовательно, существую.
- Существую, следовательно, мыслю.
- Понять — значит — решить.
- Решить — значит — понять.
- Подтвердил, следовательно, доказал.
- Доказал, следовательно, подтвердил.
- 3 lt; 4, следовательно, 3 lt; 5.
- 3 lt; 4, следовательно, 5 lt; 6.
- Найдите индуктивное обобщение, то есть правило, которому подчиняются следующие последовательности .
- 1,4, 9,16, 25, 36...
- -1,1,3,5,7,9,11...
- -2,0,2,4,6,8,10...
- 2, 3,4, 6, 8,12,14...
- Два игрока поочередно покрывают круглый стол одинаковыми монетами по одной за каждый ход. Игрок, который кладет на стол последнюю монету, забирает все деньги. Какой игрок должен выиграть, если каждый играет наилучшим образом? Найдите решение задачи в случаях, когда стол имеет квадратную, прямоугольную, любую форму. Укажите типы индуктивных рассуждений, примененных в решении задачи. (Начните решение с крайнего частного случая, когда стол настолько мал, что покрывается монетой с первого хода.)
- Решите следующие анаграммы и определите недостающее слово. Укажите тип применяемого индуктивного рассуждения.
- КЕАР РЕОЗО РЕОМ ?
- ? ЯРМЯПА СПОЛЬСТОК.
- ЩИНЕЯХИ: ? БАРЖЕГ ЗАЙРОБ.
- Решите пример из раздела « Элиминативная индукция».
- Решите следующие анаграммы и распределите полученные слова по группам. Укажите
виды логических операций и типы рассуждений, используемых при решении задачи.
КИЛАОГ СТОРПОКУП КЕТАФИОН СПЕРУТПЕЛИНЕ КИРТАРИО
КАСТИССИН ШОНВАРЕНИРАПУ
ФОГИЛЯМОРО ТАКИЕКИДАЛ.
- (Д.Пойя) Подсудимый обвиняется во взрыве яхты отца своей приятельницы. Обвинение предъявляет суду документ, подтверждающий покупку обвиняемым накануне некоторого количества динамита. Постройте схему индуктивного рассуждения и определите степень достоверности подтверждения, предъявленного стороной обвинения.