О единственности существования совершенного фрагмента из 16 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе представлено доказательство единственности существования найденного и построенного автором ранее совершенного фрагмента из 16 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной се­мантикой.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

On the Uniqueness of Existence of Perfect Fragment from 16 Judgments in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection presents the proof of the uniqueness of the existence of the previously perfect fragment found and constructed by the author from 16 judgments in the traditional in­tegral syllogistic from 50 basic judgments with different semantics. In the research, the method of exhaustive search was used with a significant limitation of the number of options by taking into account the content and syllogistic completeness of judgments in perfect fragments, as well as the use of self-generating and mutually generating derivation rules that take into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the results.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпрета­

цией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием пра­вильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрез­вычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только дока­зать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсаль­ности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [6-8,11,12]. Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором се­мантическим методом вычисления результирующих отношений [15]. В инте­гральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста, У.

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [16] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [14] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [3]). Семантика указанных отношений представлена в таб­лице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 1

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют

свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее) A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)', A'II'^AA'I, AA'I'^AII', (A'II')'^(AA'I)', (AA'I')'^(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогисти­ческой полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логи­ческой структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (об­ратного включения между терминами), и наоборот.

Цель публикации

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из 16 суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множе­ством из 50 суждений с различной семантикой, представленным в таблице 3 [9], а именно: доказано существование единственного совершенного фрагмента. В таблице 3 интерпретация кванторных слов представлена в явном виде.

Таблица 3

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фраг­ментов из 16 суждений требуется проанализировать более 5*10 ¹² случаев (число сочетаний из 50 по 16). Попытаемся ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных сужде­ний в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в

таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлогистики из 50 суждений, 11 из которых, а именно: 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 17, 20, 25, являются силлогистически полными, в то время как остальные силло­гистически полны только в соответствующих парах: 4,5; 8,9; 13,14; 15,16; 18,19; 21,23; 22,24. Для построения всех совершенных фрагментов из 16 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те группы из 8 содержательно пол­ных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической пол­ноты. Можно показать, что их число равно 12289, при этом указанные группы делятся на 5 типов: 1) группы содержательно полных пар суждений с четырьмя силлогистически полными парами (их число равно С₇⁴ х C₁₁⁰= 35), 2) группы содержательно полных пар суждений с тремя силлогистически полными парами (их число равно С₇³ х C₁₁²= 1925), 3) группы с двумя силлогистически полными парами (их число равно C₇²х C₁₁⁴= 6930), 4) группы с одной силлогистически полной парой (их число равно С₇¹х С₁₁⁶ = 3234) и 5) группы без силлогистически полных пар суждений (их число равно С₇⁰ х С₁₁⁸ = 165). Для каждой из 12289 силлогистик из 16 суждений в общем случае необходимо произвести 256 вы­числений (каждый с каждым), что в целом составит 3145984. Однако это число можно значительно сократить, если предварительно исключить из этого числа те группы, которые заведомо не удовлетворяют свойству силлогистической плот­ности результатов. Для этого предлагается вначале отфильтровать 12289 случаев с помощью автопорождающих правил вывода, которые требуется вычислить для каждой из 25 перечисленных в таблице 4 пар суждений. Например, для пары №17 из таблицы 4 необходимо произвести следующие вычисления (правильные модусы выделены):

1) II(7,15), II(7,15)

15.15 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

2) 11(7,15), (II)'(6,9,11,13,14) (AA)'(6,7,11,13,14,15) - №3;

7.6 11; 7,9 7; 7,11 6,7,11,14,15; 7,13 7; 7,14 11;

15.6 15; 15,9 15; 15,11 11,14,15; 15,13 7,13,15; 15,14 11,14,15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

3) (II)'(6,9,11,13,14), II(7,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15) - №3;

6,7 13; 9,7 7; 11,7 7; 13,7 6,7,13,14,15; 14,7 13;

6.15 15; 9,15 15; 11,15 7,11,15; 13,15 13,14,15; 14,15 13,14,15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

4) (II)’(6,9,11,13,14), (II)’(6,9,11,13,14) —;

11,13 7,9,11,13,15; 11,14 6,7,11,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 17,17 3.

Отметим, что автопорождающее правило определяет опосредованный вы­вод из двух одинаковых по логической структуре суждений (не путать с непо­средственным выводом из одного суждения!)

Таблица 4

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

Представленные выше вычисления означают, что если в группе содержа­тельно полных пар суждений имеется пара с номером 17, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должна со­держаться пара с номером 3 (см. таблицу 4). Аналогично можно показать, что из наличия пары №6 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №10 - наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №1 - наличие пары №3, из наличия пары №7 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №25 - наличие пары №12, из наличия пары №2 - наличие пар с номерами 8,9 и 10, из наличия пары №20 - наличие пары №3. Нетривиальные правила такого сокращения более компактно можно представить в виде следующих четырех правил [7]: 1) 1,17,20 3;

2) 2,11 8,9,10; 3) 6,10 8,9,11; 4) 7,25 12.

Для получения всех автопорождающих правил требуется произвести С₂₅^1х 4 = 100 вычислений результирующих отношений. Предложенный подход

позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев до 1060, однако оно все еще остается слишком большим. Для дальнейшего сокращения перебора приходится использовать взаимно порождающие правила, вычислен­ные для каждой возможной пары содержательно полных пар суждений из таб­лицы 4. Например, для пары 4,5 необходимо произвести следующие 8 вычис­лений (правильные модусы выделены):

1) IA(11), AI(13) — E'(7,9,11,13,15) - № 10;

11.13 — 7,9,11,13,15;

Р.О.: 7,9,11,13,15.

2) AI(13), IA(11) — (E*)'(9,11,13,14,15) -№11;

13.11 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

3) IA(11), (AI)'(6,7,9,11,14,15) — A '(6,7,11,14,15) - №8;

11.6 — 7; 11,7 — 7; 11,9 — 11; 11,11 — 11; 11,14 — 6,7,11,14,15; 11,15 — 7,11,15; P.O.: 6,7, 11, 14,15.

4) (AI)'(6,7,9,11,14,15), IA(11) — A '(6,7,11,14,15) - № 8;

6.11 —14; 7,11 — 6,7,11,14,15; 9,11 — 11; 11,11 — 11; 14,11 — 14;

15.11 — 11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

5) AI(13), (IA)'(6,7,9,13,14,15) — (A*) (6,7,13,14,15) - №9;

13.6 — 14; 13,7 — 6,7,13,14,15; 13,9 — 13; 13,13 — 13; 13,14 — 14; 13,15 — 13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

6) (IA)'(6,7,9,13,14,15), AI(13) — (A *) '(6,7,13,14,15) - №9;

6.13 — 7; 7,13 — 7; 9,13 — 13; 13,13 — 13; 14,13 — 6,7,13,14,15;

15.13 — 7,13,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

7) (IA)'(6,7,9,13,14,15), (AI)'(6,7,9,11,14,15) — -;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

8) (AI)'(6,7,9,11,14,15), (IA)'(6,7,9,13,14,15) — -;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 4,5 >8.9.10.11.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе со­держательно полных пар суждений имеется пара с номерами 4 и 5, то для удо­влетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности ре­зультатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суж­дений с номерами 8,9,10 и 11. Для получения всех взаимно порождающих пра­вил требуется произвести С₂₅² * 8 = 2400 вычислений результирующих отно­шений. Всего существует 252 нетривиальных правила указанного вида, пред­ставленных в таблице 5 без объединения правил с одинаковыми результатами. Обращаем внимание, что в таблице 5 в отличие от таблицы 2 содержаться но­мера содержательно полных пар суждений, а не номера отношений между тер­минами суждения. Фильтрацию вариантов перебора целесообразно проводить до нахождения первого же бракующего группу правила вывода, при этом пра­вило является бракующим группу, если из суждений группы с помощью данного правила можно получить отсутствующие в группе суждения. Группа суждений, для которой не находится ни одного бракующего автопорождающего или вза­имно порождающего правила, является результатом фильтрации.

Таблица 5

Взаимно порождающие правила в традиционной интегральной силлогистике

Рассмотрим характерные примеры применения автопорождающих и вза­имно порождающих правил при фильтрации групп суждений. Пусть, например, требуется отфильтровать группу из 16 суждений, в которой содержатся содер­жательно полные пары 1,2,4,5,8,9,11,12. Данную группу бракует автопорож­дающее правило №1: 1> 3, поскольку его посылка - пара №1, входит в состав группы, а заключение №3 не входит. Рассмотрим другой пример. Пусть дана

группа суждений 13,14,15,16,18,19,21,23. Поскольку в качестве посылок в ав­топорождающих правилах могут служить только пары с номерами 1,2,6,7,10,11,17,20 и 25, которые отсутствуют в данной группе, то никакие из автопорождающих правил к ней неприменимы. Из посылок 13,14 данной группы порождается отсутствующая в группе пара 10 по правилу №192: 13,14 10, все

посылки которого входят в группу, а заключение не входит, следовательно данная группа бракуется указанным взаимно порождающим правилом. Для группы 2,4,5,6,8,9,10,11 неприменимо ни одно из авто и взаимно порождающих правил. В самом деле, из автопорождающих правил 2) 2,11 8,9,10 и

3) 6,10 8,9,11 следуют только присутствующие в группе суждения. Пере­

числим теперь все возможные взаимно порождающие правила вывода из суж­дений группы: 21) 2,4 8,10,11; 22) 2,5 9,10,11; 23) 2,6 4,5; 25) 2,8 9,10;

26) 2,9 8,10; 27) 2,10 4,5; 28) 2,11 4,5,8,9,10; 43) 4,5 8,9,10,11;

44) 4,6 8,10,11; 46) 4,8 10,11; 47) 4,10 2,6,8; 48) 4,11 2,6,8;

63) 5,6 9,10,11; 65) 5,9 10,11; 66) 5,10 2,6,9; 67) 5,11 2,6,9;

83) 6,8 9,11; 84) 6,9 8,11; 85) 6,10 4,5,8,9,11; 86) 6,11 4,5;

118) 8,9 10,11; 119) 8,10 9,11; 120) 8,11 9,10; 135) 9,10 8,11;

136) 9,11 8,10; 151) 10,11 8,9. Перечисленные правила не порождают ни

одного суждения, не входящего в данную группу. Таким образом, фильтрация массива из 1060 силлогистик с помощью взаимно порождающих правил дает единственную группу суждений, для которой требуется произвести построение силлогистик, то есть выявить её двухпосылочные законы, что уже было проде­лано в работе автора [6] с помощью метода вычисления результирующих от­ношений. Результаты построения выявленного совершенного фрагмента в виде перечисления всех его 128 правильных модусов первой фигуры силлогизма представлены в таблице 6. Правильные модусы Аристотеля выделены.

Таблица 6

Правильные модусы традиционной интегральной совершенной силлогистики из 16 суждений (1 фигура силлогизма)

Выводы

В результате проведенных в статье исследований в традиционной инте­гральной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений выявлен един­ственный совершенный фрагмент из 8 содержательно полных пар суждений с номерами 2,4,5,6,8,9,10,11 (см. таблицу 4). В выявленном фрагменте использу­ются суждения Аристотеля A, Eс квантификацией субъекта и их контрадик­торные отрицания A', E'и суждения А. де Моргана A*, E*и их контрадикторные отрицания (A*),'(E*)'с интерпретацией кванторного слова «все» как «каждый», «всякий» и кванторного слова «некоторые» как «некоторые или все», а также суждения с квантификацией предиката A'I, IA, AI, AI'и их контрадикторные отрицания (A'I)', (IA)', (AI)', (AI')'с интерпретацией кванторного слова «все» в смысле всего класса, а кванторного слова «некоторые» как «только некоторые».

Заключение

Совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 50 ба­зисных суждений содержит единственный совершенный фрагмент из 16 суж­дений, что свидетельствует об исключительной уникальности совершенных силлогистических систем. Существуют ли другие подобные случаи, ещё пред­стоит выяснить в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Со­временное слово, 1998. 448 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

5. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

6. Сидоренко О.И. О расширении традиционной силлогистики Аристотеля до совершенной интегральной силлогистической системы из 16 суждений //Евразийский Союз Ученых (ЕСУ). №11(68), 8 часть, 2019. С. 65-71.

7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике // Lingvo-science. №22, 2019. С. 14-27.

8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

11. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Совре­менные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Моногра­фия. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

16. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

2.9.