Два способа редукции размерности множества кривых

Совершенно различные множества кривых могут иметь одну и ту же размерность. Множество всех окружностей, к примеру, трехмерно, а множество всех окружностей, проходящих через данную точку, является двумерным множеством (подобно множеству прямых линий).

Размерность можно также редуцировать и другими методами, отличными от увеличения числа данных точек. Так, например, множество эллипсов с данным соотношением их осей является четырехмерным (как и множество парабол), и таким же является множество эллипсов с данным численным эксцентриситетом. Переход от эллипса к окружности, конечно, эквивалентен спецификации эксцентриситета (эксцентриситет в этом случае равен 0) или принятию особого соотношения осей (равного 1).

Поскольку мы заинтересованы в оценке степеней фальсифицируемости теорий, мы теперь поставим вопрос о том, эквивалентны ли для наших целей различные методы редукции размерности или нам следует более тщательно исследовать их относительные достоинства. Действительно, допущение о том, что кривая должна проходить через определенную сингулярную

точку (или некоторую очень маленькую область), часто будет связываться или ставиться в соответствие с при* нятием некоторого сингулярного высказывания, то есть начального условия. Вместе с тем переход, скажем, от гипотезы эллипса к гипотезе окружности, очевидно, будет соответствовать редукции размерности самой теории. Как же можно разграничить эти два метода редукции размерности? Мы можем назвать «материальной редукцией» метод редукции размерности, который не имеет дела с допущениями, касающимися «формы» или «вида» кривой, то есть, к примеру, редукции при помощи точного определения одной или более точек или при помощи какой-либо эквивалентной спецификации. Другой метод, при котором форма или вид кривой становятся более точно определенными, как, например, когда мы переходим от эллипса к окружности или от окружности к прямой линии и т. д., я назову методом «формальной редукции» размерности.

Однако это различение нелегко сделать достаточно точным. В этом можно убедиться следующим образом. Редукция размерности на языке алгебры означает замену некоторого параметра константой. Однако не очень ясно, каким образом мы можем различить разные методы замены параметра константой. Формальная редукция, заключающаяся в переходе от общего уравнения эллипса к уравнению окружности, может быть описана как приравнивание одного параметра к 0, а второго — к 1. Однако если второй параметр (абсолютный термин) приравнивается к 0, то это означало бы материальную редукцию, а именно спецификацию некоторой точки эллипса. Тем не менее я считаю, что это различение можно сделать ясным, если мы установим его связь с проблемой универсальных имен. Дело в том, что материальная редукция вводит индивидуальное имя, а формальная — универсальное имя в определение соответствующего множества кривых.

Давайте представим, что нам дана некоторая конкретная плоскость, возможно, при помощи «остенсив- ного определения». Множество всех эллипсов на этой плоскости можно определить при помощи общего уравнения эллипса, множество окружностей — при помощи общего уравнения окружности. Эти определения не зависят от того, в каком месте на плоскости мы проводим (декартовы) координаты, к которым              относятся эти

определения. Следовательно, они не зависят от выбора начала и ориентации координат. Конкретная система координат может быть определена только при помощи ипдувидуальных ямен, скажем при помощи остенсивно- го определения начала и ориентации              координат. Поскольку же определение множества              эллипсов (или

окружностей) одинаково для всех декартовых координат, оно независимо от спецификации этих индивидуальных имен, то есть инвариантно по отношению ко всем преобразованиям координат в евклидовой группе (преобразованиям переносов и подобия).

Если же возникает необходимость              определить множество эллипсов (или окружностей),              которые имеют

общую конкретную, индивидуальную точку на плоскости, то мы должны обратиться к уравнению, которое не является инвариантным по отношению к преобразованиям в евклидовой группе, а относится к сингулярной, то есть индивидуально «ли остенсивно определенной, системе координат. Следовательно, такая редукция связана с индивидуальными именами23.

Можно построить некоторую иерархию подобных преобразований. Определение, инвариантное но отношению к более общей группе преобразований, является также инвариантным и по отношению к б?gt;лее частным группам. Для каждого определения множества кривых существует одна наиболее общая группа преобразований, которая является характерной для этого множества. Теперь мы можем сказать:              определение

Di множества кривых называется «равным по общности» (или более общим по отношению к) определению D2 множества кривых, если оно инвариантно по отношению к той же самой группе преобразований, что и D2 (или по отношению к более общей группе).

Если мы сравним степени фальсифицируемости двух теорий при помощи рассмотрения их размерности, то нам наряду с размерностью, без сомнения, придется принимать в расчет и их общность, то есть их инвариантность по отношению к преобразованиям координат.

Такая процедура, конечно, должна считаться с тем, содержит ли фактически рассматриваемая теория геометрические высказывания о мире, как это имеет место, например, в теории Кеплера, или она «геометрична» только в том смысле, что ее можно представить при помощи графика, подобного тому, посредством которого выражается зависимость давления от температуры. Конечно, было бы неправильным требовать от теорий второго типа или от соответствующих множеств кривых, чтобы их определения были инвариантными по отношению, скажем, к вращениям системы координат, так как в таких случаях различные координаты могут представлять совершенно различные вещи (одна координатная ось, например, — давление, другая — температуру и т. п.).

На этом мы заканчиваем рассмотрение методов, при следует сравнивать степени фальсифи23 Об отношениях между группами преобразований и «индивидуализацией» см. [90, с. 73], где делается ссылка на эрлашенск\ю программу Клейна.

цируемости теорий. Я считаю, что эти методы могут помочь нам прояснить такие эпистемологические вопросы, как, например, проблема простоты, которой мы займемся в следующей главе. Имеются также и другие проблемы, которые наше исследование степеней фальсифицируемости, как это мы увидим далее, освещает по-новому. В особенности это относится к проблеме так называемой «вероятности гипотез» или проблеме подкрепления.

Добавление 1972 года

Одним из наиболее важных понятий в этой книге является понятие (эмпирического или информационного) содержания теории. («Не зря же мы называем законы природы «законами»: чем больше они запрещают, тем больше они говорят» — см.

В гл. VI я сделал акцент на двух положениях. (1) Содержание или проверяемость (или простота — см. гл. VII) теории могут иметь степени, которые позволяют нам говорить о релятивизации понятия фальсифицируемости (логическим основанием которого по-прежнему остается modus tollens). (2) Цель науки — рост знания — можно отождествить с ростом содержания наших теорий (см. также мою статью [68]).

В последнее время я развил далее эти идеи (см., в частности, [71, гл. 10]). К новым положениям относятся два следующих:              (3) Проведена дальнейшая релятиви

зация понятий содержания и проверяемости по отношению к рассматриваемой проблеме или множеству рассматриваемых проблем. (Уже в 1934 году я релятивизо- вал эти понятия по отношению к области применения — см. [58 и 70, прил. I].) (4) Введены понятия истинного содержания теории и аппроксимации, или приближения, теории к истине («правдоподобности»).

Вопрос о важности так называемой «проблемы простоты», по-видимому, до сих пор остается дискуссионным. Вейль совсем недавно утверждал, что «проблема простоты имеет решающее значение для эпистемологии естественных наук» [90, с. 155] (см. также разд. 42). Однако в последнее время интерес к этой проблеме пошел на убыль, и причина этого, возможно, заключается в том, что у нас, кажется, почти не осталось шансов найти ее решение, в особенности после проницательного анализа этой проблемы Вейлем.

До недавнего времени понятие простоты употреблялось по преимуществу некритически, как будто бы совершенно ясно, что представляет собой простота и почему это понятие должно быть для нас заслуживающим внимания. Немало философов науки отвели понятию простоты чрезвычайно важное место в своих теориях, даже не заметив при этом порождаемых им трудностей. К примеру, последователи Маха, Кирхгофа и Авенариуса попытались заменить понятие причинного объяснения понятием «простейшее описание». Без прилагательного «простейший» или другого сходного слова их учение было бы совершенно пустым. Поскольку же это учение было предназначено для того, чтобы объяснить, почему мы предпочитаем описание мира с помощью теорий описанию, осуществленному с помощью сингулярных высказываний, в ней, судя по всему, предполагается, что теории проще сингулярных высказываний. Однако вряд ли кто-либо вообще пытался объяснить, почему собственно теории проще сингулярных высказываний, или выяснить, какой более точный смысл можно придать понятию простоты.

Если же мы считаем, что теориями необходимо пользоваться в силу их простоты, то нам, очевидно, следует использовать простейшие теории. Именно таким образом Пуанкаре, для которого выбор теории является конвенциональным, приходит к формулировке своего принципа выбора теорий — он выбирает простейшую из возможных конвенций. Но какие из них простейшие?