О числе совершенных фрагментов из 2 и 4 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 суждений с различной семантикой

Аннотация. Найдены все совершенные фрагменты из двух и четырех базисных суж­дений в традиционной интегральной силлогистике из 50 суждений с различной семан­тикой и выявлены в них все правильные сильные модусы методом вычисления резуль­тирующих отношений, предложенным автором ранее.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

On the Number of Perfect Fragments from 2 and 4 Judgments in Traditional Integral Syllogistics from 50 Judgments with Different Semantics

Abstract. All perfect fragments from two and four basic judgments in the traditional integrated syllogistics from 50 judgments with different semantics were found and all the correct strong modes were found in them by the method of calculating the resulting relations proposed by the author earlier.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной же силлогистике сложилось представление, что имеют

право на существование силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с гораздо большим разнообразием правильных модусов из них [2]. Кроме того, в настоящее время разработан чрезвычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только доказать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть сил­логистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [3-6].

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [9] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [10] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [11]). Семантика указанных отношений представлена в табл. 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

Таблица 1

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

В табл.

свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой табл. 2 [12] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех их двухпосылочных законов, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P,что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в табл. 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [14].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)', A'II'^AA'I, AA'I'^AII', (A'II')'^(AA'I)', (AA'I')'^(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в

первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики всегда найдется его контрадикторное отрицание. Свойство сил­логистической полноты заключается в том, что при наличии в базисном мно­жестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (обратного включения между терминами), и наоборот.

Цель публикации

В данной публикации поставлена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из двух и четырех суждений, содержа­щихся в интегральной совершенной силлогистике из 50 суждений, рассмот­ренной в работе [5].

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для силло­гистик из 2 суждений требуется проанализировать 1225 случаев (число сочета­ний из 50 по 2), а для силлогистик из 4 суждений - 230300 случаев (число со­четаний из 50 по 4). Необходимо попытаться ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных сужде­ний в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в табл. 3 содержательно полных пар базисных суждений для указанной силлоги­стики из 50 суждений, 11 из которых являются силлогистически полными. Из них только две пары №3 и №12 являются совершенными силлогистиками с двумя базисными суждениями, что подтверждается вычислениями, примеры которых приведены ниже. Правильные модусы выделены. Для построения всех совершенных фрагментов из 4 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те, в которых соблюдается требование силлогистической полноты (их число равно 62) и лишь для этих последних производить вычисления с целью выяв­ления правильных модусов и фактов соблюдения остальных двух свойств. При этом необходимо отбирать только те пары содержательно полных пар суждений, которые либо силлогистически полны (их число равно С₁₁² = 55), либо обе не полны, но дополняют друг друга до силлогистической полноты (их число равно С7¹ = 7). В табл. 4 представлены все 62 случая. Вычисления для них аналогичны приведенным примерам.

Таблица 3

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной

силлогистике из 50 суждений

Таблица 4

Силлогистически полные пары содержательно полных пар суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Примеры вычислений для первой фигуры силлогизма

Силлогистика №1 (см. табл. 3).

AA' (6),AA'(6) — —

6.6 — 9;

P. O.: 9 - таких суждений нет в базисном множестве силлогистики № 1, следовательно, данная силлогистика не является совершенной.

Силлогистика №3 (см. табл. 3):

1) AA(9), AA(9) AA(9);

9.9 — 9;

P.O.: 9.

2) AA(9), (AA)'(6,7,11,13,14,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15);

9.6 — 6; 9,7 — 7; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

3) (AA)'(6,7,11,13,14,15), AA(9) (AA)'(6,7,11,13,14,15);

6.9 — 6; 7,9 — 7; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

4) (AA)'(6,7,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15) —

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Силлогистика №12 (см. табл. 3):

1) AAA '(6,9), AAA '(6,9) AAA '(6,9);

6.6 — 9; 6,9 — 6; 9,6 — 6; 9,9 — 9;

P.O.: 6,9.

2) AAA'(6,9), (AAA')'(7,11,13,14,15) (AAA')'(7,11,13,14,15);

6.7 — 13; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,14 — 11; 6,15 — 15;

9.7 — 7; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15;

P.O.: 7,11,13,14,15.

3) (AAA ')'(7,11,13,14,15), AAA '(6,9) (AAA ')'(7,11,13,14,15);

7.6 — 11; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15;

7.9 — 7; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 —15;

P.O.: 7,11,13,14,15.

4) (AAA')'(7,11,13,14,15), (AAA’)’(7,11,13,14,15) — —;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Фрагмент №2 (см. таблицы 4,5):

1) AA '(6), AA '(6) AA(9);

6.6 — 9;

P.O.: 9.

2) AA '(6), AA(9) AA '(6);

6.9 — 6;

P.O.: 6.

3) AA'(6), (AA')'(7,9,11,13,14,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15);

6.7 — 13; 6,13 — 7; 6,9 — 6; 6,14 — 11; 6,11 — 14; 6,15 — 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.

4) AA'(6), (AA)'(6,7,11,13,14,15) (AA')'(7,9,11,13,14,15);

6.6 — 9; 6,13 — 7; 6,7 — 13; 6,14 — 11; 6,11 — 14; 6,15 — 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.

5) AA(9), AA '(6) AA '(6);

9.6 — 6;

P.O.: 6.

6) AA(9), AA(9) AA(9);

9.9 — 9;

P.O.: 9.

7) AA(9), (AA')'(7,9,11,13,14,15) (AA')'(7,9,11,13,14,15);

9.7 — 7; 9,13 — 13; 9,9 — 9; 9,14 — 14; 9,11 — 11; 9,15 — 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.

8) AA(9), (AA)'(6,7,11,13,14,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15);

9.6 — 6; 9,13 — 13; 9,7 — 7; 9,14 — 14; 9,11 — 11; 9,15 — 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.

9) (AA')'(7,9,11,13,14,15), AA(9) (AA')'(7,9,11,13,14,15);

7.9 — 7; 13,9 — 13; 9,9 — 9; 14,9 — 14; 11,9 — 11; 15,9 — 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.

10) (AA')'(7,9,11,13,14,15), AA'(6) (AA)'(6,7,11,13,14,15);

7.6 — 11; 9,6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.

11) (AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) — —;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

12) (AA')’(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15)— —;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15.

13) (AA)'(6,7,11,13,14,15), AA'(6) (AA')'(7,9,11,13,14,15);

6.6 — 9; 7,6 — 11; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.

14) (AA)'(6,7,11,13,14,15), AA(9) (AA)'(6,7,11,13,14,15);

6.9 — 6; 7,9 — 7; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.

15) (AA)’(6,7,11,13,14,15), (AA’)’(7,9,11,13,14,15) — —;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

16) (AA)'(6,7,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15) — —;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результаты вычислений по выявлению правильных сильных модусов совер­шенных фрагментов в традиционной интегрированной силлогистике из 50 суждений сведены в таблицы 5 и 6. Правильные модусы представлены в общепринятой форме.

Таблица 5

Правильные сильные модусы совершенных фрагментов из 2 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 суждений

Таблица 6

Правильные сильные модусы совершенных фрагментов из 4 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 суждений

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная инте­гральная силлогистика традиционного типа из 50 суждений содержит всего 2 совершенных фрагмента из двух базисных суждений (см. табл. 5) и 6 совер­шенных силлогистических фрагментов из 4 базисных суждений (см. табл. 6), среди которых нет ни одного суждения Аристотеля и которые логически более эффективны, чем традиционная силлогистика Аристотеля. Однако большим преимуществом суждений Аристотеля является то, что они более широко ис­пользуются в естественном языке и человеческой практике и покрывают по степени неопределенности суждений несколько другую область дедуктивных выводов, чем более определенные атомарные суждения Дж. Венна. Поэтому развитие логики, по мнению автора, состоит не в замене традиционной силло­гистики Аристотеля на одну из выявленных в публикации совершенных сил­логистических систем с таким же числом базисных суждений, а на её расшире­ние до более мощной совершенной системы, например, до совершенной нега­тивной силлогистики из 8 суждений А. де Моргана, включающей в себя все суждения Аристотеля и позволяющей работать с отрицательными терминами [3], или до ещё более мощной интегральной системы из 42 суждений, включа­ющих в себя суждения У. Гамильтона с квантификацией предиката и акциден- тальные суждения Н.А. Васильева [4].

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Совре­менное слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Сидоренко О.И. О подтверждении и развитии силлогистических резуль­татов Аристотеля семантическим методом вычисления результирующих отно­шений // Архивариус. Выпуск 7 (23). Т. 2. Киев, 2017. С. 61-73.

4. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam”. №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

5. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силло­гистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.

6. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

7. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

8. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

9. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

10. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

11. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

12. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

13. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

14. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Изд. Центр «Наука», 2016. 230 с.

15. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов междунар. научн. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

2.2.