1.5. Исследование систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений.
Задача: определить: Совместна или нет данная система Если совместна, то сколько имеет решений а)единственное
б)беск.множество
Понятие ранга матрицы
А=(
) i=
j=
Возьмем в матрице К строк и К столбцов, тогда элементы матрицы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка К.
Определитель этой квадратной матрицы называется минором порядка К для матрицы А.Опр.1. Наибольший порядок минора матрицы, отличный от нуля называется рангом матрицы.
Опр.2. Число r(A)=k называется рангом матрицы А, если среди миноров порядка k есть по крайней мере один, отличный от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю.
М=
=0 М=
=-2
0 М=
=0 М=
=3 Ранг равен 3.
Совершенно очевидно, что нулевой ранг имеет только нулевая матрица. Если матрица не нулевая то её ранг
1. С другой стороны если матрица имеет порядок MxN, то r(A)
min(M,N).
Теоремы о ранге матриц
Т.1. Если матрица А эквивалентна матрице B, то ранг матрицы А равен рангу матрицы B (элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы).
Доказательство.
Для докозательства достаточно доказать, что каждое из преобразований не может изменить ранга матрицы.1) А~B B получена умножением строки(столбца) на отличное от нуля число.
А=
B=
Если i-я строка не входит в выделенный минор то миноры матриц А и B совпадают. Если i-я строка входит в выделенный минор 
В=
А(по св-ву определителей). Если минор А был отличен от нуля, то В будет отличен от нуля. Таким образом умножение на отличное от нуля число не изменяет ранг матрицы.
2) A~B B получена прибавлением строк
А=
В=
Если выбранные строки не содержат i-й строки, то соответствующие миноры матриц А и В полностью совпадают. Если минор матрицы А=0, то и минор матрицы В=0, если минор матрицы А0, то и минор матрицы В0.
Если выбранные миноры содержат i-ю и j-ю строки, тогда М(А)=А=
В=
минор В получен из А путем прибавления строки. Элементарные преобразования получаются с помощью конечного числа преобразований 1 и 2 типа и по уже доказанному на каждом из шагов ранг матрицы не меняется. Следовательно, он не изменится и за конечное число шагов. Ранг матрицы не меняется, если произведено конечное число элементарных преобразований.
Т.2. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.